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§• 51.

Da , der Voraussetzung gemäfs, die Gröfse m ganz willkür-lich ist, so werden wir dafür auch jede andere, z. B. n setzenkönnen, so dafs man daher auch eben so die Gleichung haben■wird :

d,(x n ') = /(n , x).dx.

Nimmt man von diesen beyden Ausdrücken x m und x n dasProduct, so hat man, nach §. 49 :

d.(x m .x n ) — x m .d(x n ) -j- x n .d(x m )-,

oder da

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ist, wenn man in der letzten Gleichung die vorhergehenden Wer-the von d.(x m ) und d. (•£") substituirt:

d.x m + n e= x m .f(n , x)dx -|- x n . f(m, x) d x . . . (a),

Substituirt man aber in der ersten der vorhergehenden Glei-chungen, da in ihr m willkürlich ist, statt m die Gröfse m-\-n,so hat man auch, derselben obigen Annahme gemäfs:d.x mJ r n = /(m-|-n, x)dx . . . (b).

Setzt man endlich die beyden Werthe Yon d.x m ~\~ n in denAusdrücken (a) und (b) einander gleich, so erhält man

/(m-j-n, x) = x m .f(n, x) x n . /(m, a) . . . (I),und diese Gleichung ist es, die uns zu der gewünschten Kennt-nifs der Function /(m, x) führen wird.

Nimmt man in dieser Gleichung (I), da m und n ganz will-kürliche Gröfsen bezeichnen, n~m an, so erhält man/( 2 m, x) = 2a'"./(m, x').

Ist aber rc = 2 m, so gibt die Gleichung (I)

/(3m, x) = x m .f( 2 m, x) -f a’ m ./(m, x ),oder da wir bereits /( 2 m, x) gefunden haben:

/(3m, x) = 3x* m ,f(m, x).

Setzt man diefs fort, so erhält manfür nz=m . . . /( 2 m, a:) = 2 x m .f(m,x),

» n = 2m , . . /(3m, x) = 3a’ m ./(m, x) ,

» n = 3ni . . . /(4m, x) = 4a 3 "'./(m, x ),

» n = 4m . . . /(5m, x) = 5a4'“./(m, x) u. f. ,

woraus sofort folgt, dafs man, wenn r irgend eine ganze, posi-