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§. 50. — 51.

welchen Ausdruck man auch auf folgende einfachere Weiseschreiben kann, indem man alle Glieder desselben durch das ge-gebene Product xx'x". . . dividirt:

d.xx'x"x'". . .xx'x'x'". . .

d x dx' d. r" d x" .

T + ~ + -r+'^ 7r + -

5o. (Differential eines Quotienten.) Ist von dem

Ausdrucke

x

~~ y

das Differential zu suchen, so kann man denselben auch so dar-stellen :

x = uy,

und von diesem Pi’oductc uy ist, nach 49 ., das Differential

woraus folgt

dx = u dy -j- y du,

, dx — udy

du = -

oder endlich, wenn man in dem letzten Ausdrucke den Werthvon u t= — wieder hcrstellt, du oder

y

x y d x — x dy

d . - = --—.

y y-

Das Differential eines Bruches ist daher gleich dem Producte desNenners in das Differential des Zählers j weniger dem Productedes Zählers in das Differential des Nenners, diese Differenz divi-dirt durch das Quadrat des Nenners,

§. 5i. (Differential einer Potenz.) Man suche nundas Differential irgend einer Potenz x m , wo x eine veränderliche,und m eine beständige, übrigens willkürliche (positive oder ne-gative, ganze oder gebrochene) Zahl bezeichnet (vergl. §. 48 , II.).

Obschon uns dieses Differential, seiner Form und seinemWerthe nach, noch ganz unbekannt ist, so werden wir doch an-nehmen können, dafs es die Gestalt

d . (a,’"*) = f (m , x~) . d x

haben müsse, wo f(tn , x) irgend eine Function der beyden Grös-sen m und x bezeichnet, die wir nun näher zu bestimmen suchenwollen.