n

§. 45.

Wenn man die bcyden vorhergehenden Gleichungenx = Logj>' und u = logjy

durch einander dividirt, so ei'liält man

Logy x

lo gy w

für das Yerhältnifs der Logarithmen derselben Zahl y in den bey-den Systemen, deren ßasis a und e ist.

Allein dieses Yerhältnifs der beyden Logarithmen Logjyund logy kann, wenn es sonst ein veränderliches Yerhältnifs ist,nur von der Gröfse j selbst abhängig, oder es kann blofs eineFunction (§.34-) vony seyn, die wir, da wir sie noch nicht ken-nen, allgemein durch f(y) bezeichnen wollen, so dafs man dem-nach hat:

Logy =/Cr) • lo sr-

Da aber in diesen Ausdrücken die Gröfsey ganz willkürlich ist,so wird man auch statt ihr irgend eine Potenz derselben, z. B.y re setzen können, so dafs man also auch die Gleichung habenwird:

Log (y n ) = /0' 2 ) • log (j n )-Allein nach §. 44 > IV. hat man für den Logarithmus einesjeden Systems

Log(y") = n Logy, und eben sologO'“) = n ] °g Yi

so dafs demnach die vorhergehende Gleichung in die folgendeübergeht:

Logy = f(j n ) • logy,und diese, mit der ersten Gleichung

Logy = f(j) • logy

verglichen , zeigt, dafs

/Cr") = /0')>

das heifst, dafs die gesuchte Function f(j') der Art ist, dafs sieihren Werth nicht ändert, wenn man auch in ihr statty irgendeine Potenz j n setzt, wo n eine ganz willkürliche Gröfse bezeich-net. Daraus folgt aber sofort, dafs /(y) von y selbst ganz undgar nicht abhängig seyn kann, dafs also jf(y) irgend eine constanteGröfse seyn mufs, die wir gleich m setzen wollen, so dafs mandaher hat;