140 Von der Regel des Cardani.

Man kann gegen diese Regel einwenden, daß die,selbe sich nicht auf alle kubische Gleichungen erstrecke,weil darinnen nicht das Quadrat von x vorkommt, oderweil darin das zweite Glied fehlt. Es ist aber zu mer-ken, daß eine vollständige Gleichung allezeit in eine an-dere verwandelt werden kann, in welcher das zweite Gliedmangelt, und worauf folglich diese Regel angewandt wer-den kann. Um diese« zu zeigen, so sei) diese vollständigekubische Gleichung vorgegeben: x^— öxx-s^nx— 6 — 0.Da nehme man nun den dritten Theil des Eoefficienten6 im zweiten Glieds, mit dem vorstehenden Zeichen, undsetze x—2—/, so wird x—^-s-2, und die übrige Rech-nung wie folgt:

Da x — ^ 4- 2

so ist x^ — -s- 6^ -s- 12^ -j- 8— 6xx — — 6v/ — 24V — 24

-j- II X -2- -s- II> -si- 22

— 6 — — 6

x' — 6xx -s- rix — 6 — ^ ^

Daher erhalten wir diese Gleichung:deren Auflösung sogleich in die Augen falle: denn nachden Factoren hat man: st-1) . <>—r)

—oz setzt man nun einen jeden Factor gleich 0, so be-kommt man:

j. X — 2, !, X — I, ^ X 222 Z,welche« die drei schon oben gefundenen Wurzeln sind.

ES sey nun diese allgemeine kubische Gleichung ge-geben: x^-j-axx-si-dx-j-c—0, aus welcher das zweiteGlied weggebracht werden soll. Zu diesem Ende setzeman zu x den dritten Theil vom Eoefficienten de« zweitenGliedes, mit dem vorstehenden Zeichen, und schreibe da-für einen neuen Buchstaben z. E. x- Dieser Regel zu-folge werden wir haben: —und also x—/—-z», woraus folgende Rechnung entsteht: