der quadratischen Gleichungen. 135

hellet, daß beide Werthe imaginär, oder die Gleichungunmöglich werde, wenn g-dc größer ist als aa, oder wennin dieser Gleichung c.xx^ax-s-d^o, daö gfache Pro-dukt aus dem ersten und letzten Miede größer ist, alsdas Quadrat des zweiten Gliedes. Denn das 4facheProduct aus dem ersten und letzten Gliede ist gbexxzdas Quadrat aber des Mittlern Gliedes ist a-ixx: wennnun abcxx größer als aaxx, so ist auch qbo größer als

und also die Gleichung unmöglich. In allen übrigenFällen aber ist die Gleichung möglich, und die beidenWerthe für x können wirklich angegeben werden, wenndieselben gleich auch öfters irrational werden, in welchenFällen man immer näher zu ihrem wahren Werth ge-langen kann, wie oben bemerkt worden; dahingegen beiimaginären Ausdrücken, als —5, auch keine Nähe-rung statt findet, indem ioc> davon eben so weit entferntist als 1, oder irgend eine andere Zahl.

Hierbei ist noch zu erinnern, daß eine jegliche solcheFormel vom zweiten Grad: xx-Pax-s-d, nothwendig

allezeit in zwei solche Factoren: (x-j-^i) und (x-s-g)

aufgelöst werden kann. Denn wenn man drei solche Fac-toren nehmen wollte, so würde man zum dritten Gradkommen, und nur einer allein würde nicht zum zweitenGrad ansteigen. Daher es eine ausgemachte Sache ist,daß eine jede Gleichung vom zweiten Grad nothwendigzwei Werthe für x in sich enthalte, und daß derselbenweder mehr noch weniger sehn können.

Man hat schon gesehen, daß wenn diese beiden Fac-toreS gefunden worden, man daraus auch die beidenWerthe für x anzeigen kann, indem ein jeder Factor,wenn er gleich c> gesetzt wird, einen Werth für x angibt.Dieses findet auch umgekehrt statt, daß so bald maneinen Werth für x gefunden, daraus auch ein Factorder quadratischen Gleichung erkannt werde. Denn wennx —p ein Werth für x in einer quadratischen Gleichungist, so ist auch x—^ ein Factor derselben; oder dieGleichung, wenn alle Mieder auf eine Seite gebracht