248 Vierter Abschnitt. Erstes K

§• 15C.

Wir wollen jetzt za der in §. 154. entwickelten Formel

(1) U~ s =• 4 2/2f; cos iu , wo

(2) U = a 1 — 2 ad cos u + a ' 2 ist,zurückkehren und das Gesetz zu bestimmen suchen, nachwelchem die Coefficienlen 21 derselben von einander ab-hängen. Zu dem Ende werde, wenn s in s -f- 1 übergeht,23; statt 2t; gesetzt, so dass

(3) II— s — 1 4 2/23; cos iu.

Es folgt hieraus 1, 272t,- cos iu r= 4 1/2:23; cos iu= -j(« 2 + «' 2 — 2 ad cos w) 2/23; cos iu.

Nun ist cos w2/S8; cos iu = 2/23; cos («' + 1) w nachIII. «. des vorigen §.,

== 2/23; _ j cos *w nach I.,

und daher

4 2/21; cos iw = 4 2/ [(« 2 + al 2 ) 23; — 2«a'23; _ j] cos iw;folglich nach IV.

(4) 2t; = (« 2 + W 2 ) SB; - ««' (SB; _ t + SB; + j).

Man hat ferner durch Differentiation

(5) d . U-*= —sclU. U-*~ i,und wenn man (1) und (2) nach u differenliirt:

<l ' — sin iu, ^ = 2a« sin «; "

folglich 27z2t; sin iu = sin m 2’23; cos iu

= saaZIdi sin (i + 1) u nach III. c.

= saa'EISi _ j sin iu nach I.; folglich nach IV.(G) *21; = saa' (23; _ t — 23; + ;).

Durch Elimination von 2t; aus (4) und (6) erhält mannun eine Gleichung zwischen den Coefficienten SB allein:

(7) (* + s) cfl'S3;_ 1 + (* — *) ««'33; + t = i (a 2 + fl' 2 ) SB;,und weil 2t; auf dieselbe Weise von a, a\ i und s abhängt,wie 23; von a, a', i und s + 1:

(8) (* + s — 1) aa% _, + (* — s + 1) aa% + {

= *(« 2 + «' 2 ) 21 ;,