DIE ELEMENTE DEIl WIK DES HIMMELS AUF NEUEM WEGE OHNE HÜLFE HÖHERER RECHNUNGSARTEN DARI,)'STELLT ;AUGUST FERDINAND MÖBIUS, tVöftOKESNOIt REH ASTRONOMIE ZU LEIPZIG, CORRESPOXRENTEN DER KÖS1GJ ^KADEMU-LER \V ISNESNCHAKTEN IN DEHLIN UNI) M1TGMEDE DER »'J* ‘ NAITRKORSfHKNDEN GESELLSCHAFT IN LEIPZIG. MECHANIK DES HIMMELS, AUF NEUEM WEGE OHNE HÜLFE HÖHERER RECHNUNGSARTEN DARGESTELLT VON* AUGUST FERDINAND MÖBIUS, PHOFESSOII I>EH ASTRONOMIE ZU LEIPZIG, COHRESPOXDENTEN DER KÖSIOL. AKADEMIE HER WISSENSCHAFTEN IN HEHLIN UND MITGLIEDS DER NATURFORSCHENDEN GESELLSCHAFT IN LEIPZIG. MIT 7AVEI FIGTUENTAFELN. LEIPZIG, um *T . V J %, •* j y Vorrede. Die vorliegende Schrill hat die fortschreitende Bewegung der Himmelskörper und die Kräfte, durch welche diese Bewegung erzeugt wird, zu ihrem Gegenstände, und behandelt somit den durch Newton begründeten und von den vorzüglichsten Mathematikern und Astronomen der spätem Zeit bis in das feinste Detail ausgebildeten Theil der Naturforschung. Gewiss war es jederzeit vielen Freunden der Astronomie und der Naturwissenschaften wünschenswert]], nicht bloss die höchst interessanten Resultate dieser Untersuchungen , sondern auch ihren innern Zusammenhang und ihre Entwickelung aus den ersten Principien, und diese Entwickelung nicht bloss durch eine übersichtliche Erläuterung, sondern streng mathematisch begründet, kennen zu lernen. Allein nur Wenigen unter ihnen war es möglich, diesen Wunsch zu befriedigen, weil das Studium der Werke, in denen die gedachten Forschungen niedergelegt sind, nicht wenig Zeit und beträchtliche Vorkenntnisse aus der höhern Analysis erfordert. Ich glaube daher Vielen einen angenehmen Dienst zu erweisen, wenn ich ihnen in dieser Schrift einen Weg zeige, auf welchem sie, ohne andere mathematische Kenntnisse, als die, welche schon auf den Schulen erlernt werden, zu besitzen, mit den Geheimnissen der planetarischen Bewegungen sich in Kurzem vertraut machen können. Die Schrift zerfällt in vier Abschnitte. IV Vorrede. Der erste enthält die zum Verständnisse des Folgenden erforderlichen Lehren der Dynamik, und dürfte sich von den bisherigen Darstellungsweisen dieser Wissenschaft besonders dadurch unterscheiden, dass ich mehr als gewöhnlich nach Veranschaulichung der Begriffe und Salze mit Hülfe einfacher geometrischer Betrachtungen gestrebt habe; und nächstdcin dadurch, dass ich die in der Dynamik unentbehrlichen Elemente der Differentialrechnung so weil, als es für den nächsten Bedarf nöthig war, aus dem Begriffe der Bewegung selbst erst entwickelt und sie demgemäss als eine Rechnung mit den Geschwindigkeiten hingestellt habe, mit denen sich von der Zeit abhängige Grössen ändern. Bei dieser Darstellung der Dynamik spielt besonders die gleich zu Anfänge behandelte Lehre von der Zusammensetzung gerader Linien eine wichtige Rolle. Weil Geschwindigkeiten und Kräfte ihrer Richtung und Grösse nach als gerade Linien sich darstellcn lassen, so ist mit der Zusammensetzung gerader Linien zugleich die von Geschwindigkeiten upd Kräften A erklärt; auch die Zusammensetzung irgend welcher Bewegungen von Punkten’ wird sehr einfach auf die von geraden Linien zurückgeführt;.späterhin wird auf dieselbe Lehre die Theorie des Schwerpunktes gegründet, und endlich wird eben daraus noch die Zusammensetzung ebener Flächen abgeleitet. — Somit erscheinen die Ilauptgegenslände der Dynamik durch den Begriff der geometrischen Zusammensetzung, wie durch einen Faden, mit einander verbunden, und ich glaube, dass die hier und da neuen Darstellungsweisen, zu denen ich durch diesen Faden geleitet worden, wegen ihrer Einfachheit und Anschaulichkeit einige Berücksichtigung verdienen. Mit Hülfe des Fourier’sch.en Satzes, dass jede Function einer veränderlichen Grösse in eine nach den Sinussen / Vorrede. V oder Cosinussen der Vielfachen der Veränderlichen fortlaufende Reihe entwickelt werden kann, lässt sich leicht zeigen, dass jede Bewegung eines Punktes durch Zusammensetzung gleichförmiger Kreisbewegungen so nahe, als man will, dargestellt werden kann. Insbesondere wird hiernach die nahe kreis - und gleichförmige Planetenbewegung ausgedrückt werden können durch Zusammensetzung einer gleichförmigen Kreisbewegung, welche die mittlere Bewegung des Planeten darstellt, mit andern Bewegungen derselben Art, nur dass bei letztem die Halbmesser der Kreise ungleich kleiner, als bei der erstem, sind. Als Vorbereitung zu der Lehre von der Planetenbewegung habe ich daher am Ende des ersten Abschnittes die — obwohl nur dem Scheine nach ■— in der Astronomie veraltete und chtele Theorie der Epicykeln wieder in’s Leben g n, und, wie ich glaube, nicht ohne guten Erfolg. Denn die ganz leicht sich ergebenden Formeln für die Kräfte, durch welche eine epicyklische Bewegung hervorgebracht wird, sind späterhin das Mittel, durch welches umgekehrt die von den störenden Kräften in den planetarischen Bewegungen bewirkten Ungleichheiten ohne Anwendung weiterer Kunstgriffe bestimmt werden. Im zweiten Abschnitte werden die im ersten entwickelten Grundlehren der Dynamik auf den nach Kepler’s Gesetzen geregelten Lauf der Planeten um die Sonne und der Nebenplaneten um ihre Ilauptplanelen angewendel und die Kräfte bestimmt, durch welche diese Bewegungen hervorgebracht werden. Das Newton’sche Gesetz der allgemeinen Anziehung ist das endliche Resultat dieser. Untersuchung. Es würde überflüssig sein, hier in das Einzelne näher einzugehen; nur auf die anderswo vielleicht noch nicht gemachte Bemerkung in §. 43. will ich noch hiuweisen, dass nämlich die elliptische Ungleichheit der Planetenbewegung VI Vorrede. von Ptolemäus sowohl, als von Copcrnikus, bis auf die erste Potenz 'der Excenlricität richtig dargestellt worden ist*). Den Beschluss dieses Abschnitts bilden die drei für jedes System sich anziehender oder abstossender Körper geltenden Principien der Erhaltung des Schwerpunktes, der Flächen und der lebendigen Kräfte, von denen ich die zwei ersten Principien, so wie auch die mit dem zweiten verbundene Theorie der unveränderlichen Ebene, ohne die sonst hierbei gewöhnliche Infinitesimalrechnung, durch geometrische Betrachtungen zu entwickeln gesucht habe. Die noch folgenden zwei Abschnitte enthalten den interessantesten Theil der physischen Astronomie, die Theorie der Störungen oder der kleinen von den Kepler’schen Gesetzen sich zeigenden und dadurch erklärbaren Abweichungen, dass jeder Planet nicht bloss von der Sonne und jeder Tra- ln Beziehung auf den genannten §. 43. erlaube ich mir hier nachträglich die Bemerkung hinzuzufügen, dass die daselbst erklärte Hypothese des Copernikus etwas einfacher ausfällt, wenn man die zwei von ihm angewendeten Kreisbewegungen mit einander vertauscht. Ist nämlich S (Fig. 22.) die Sonne, M der Mittelpunkt der Bahn und zugleich der Mittelpunkt von FS, so lasse man einen Punkt G gleichförmig in der halben Umlaufszeit des Planeten L und nach derselben Richtung, wie L, den Kreis beschreiben, dessen Durchmesser FM ist, und lasse G durch M gehen, wenn L im Perihel oder im Aphel ist. h selbst beschreibt alsdann gleichförmig um G, als Mittelpunkt, einen Kreis, dessen Halbmesser = der mittlern Entfernung des L von S ist. Die den Planeten treibende Kraft ist nach dieser Construction zusammengesetzt aus den zwei Kräften, welche die Kreisbewegungen von G und, h hervorbringen. Führt man diese Zusammensetzung wirklich aus, sei es mit Anwendung der Formeln ( A ) und (11) in §. 34., oder auf geometrischem Wege, so wird man finden, dass die Kraft, sehr nahe wenigstens, nach S gerichtet und dem Quadrate von SL umgekehrt proportional ist. Vorrede. VII baut nicht bloss von seinem Hauptplanelen, sondern zugleich von allen übrigen Körpern des Systems angezogen wird. Ich habe diese Theorie im dritten Abschnitte mit den Störungen des Mondes durch die Sonne eingeleitet, theils deshalb, weil hier, so lange man bei einer ersten Näherung stellen bleibt, fast gar keine Reihenentwickelung erfordert wird, und damit die ganze Rechnung sehr einfach ausfälll; theils, weil die wenigen Hauplstörungen des Mondes, sowohl die von dem jedesmaligen Stande desselben abhängigen (Variation, jährliche Gleichung und Evection), als die davon unabhängigen (die vorwärtsgehende Rewegung der Apsiden und die rückgängige der Knoten), als treue Vorbilder von eben so viel verschiedenen Arten von Störungen der Planeten angesehen werden können. Des Mittels, dessen ich mich zur Entwickelung der Störungen bedient habe, ist bereits Erwähnung geschehen. — Der Umstand, dass bei einem ersten Versuche die Rewegung der Mondsapsiden zu bestimmen, diese sich nur halb so gross als in der Wirklichkeit findet, wird Veranlassung, etwas Näheres über die Schärfung der Resultate durch Rerücksichtigung der anfangs vernachlässigten höheren Potenzen der störenden Masse hinzuzufügen. Die Anwendung hiervon auf den vorliegenden Fall giebt mir die Apsidenbewegung bis auf den 13ten Theil der wahren richtig. Im vierten Abschnitte werden die von den ersten Potenzen der störenden Masse, der Excentricilälen und der Neigung abhängigen Störungen, welche die Planeten auf einander ausüben, ganz auf dieselbe Art, wie die Störungen des Mondes durch die Sonne, entwickelt, nur dass ich hier nicht länger Anstand genommen habe, von der Differentialrechnung in ihrer gewöhnlichen Form Gebrauch zu machen. Die etwas grössere Mühe, die vielleicht deshalb und wegen VIII Vorrede. der nülhigen Keihenenlwiekelungen das Sludium dieses Ab- solinills dein weniger geiiblen Leser verursachen mag, wird in den Aufschlüssen, welche diese Beclmungen über die Stabilität unsers Planetensystems und seine pendelartigen Schwingungen im Laufe der Jahrhunderte geben, hinreichende Entschädigung finden. — Dass die Endresultate, sowohl hinsichtlich der periodischen als der seculareu Störungen, mit den bekannten Formeln im zweiten Buche der Mecanique celesle übereinslimmen, braucht nicht besonders bemerkt zu werden. In einem Anhänge sind zwei Aufsätze hinzugefügt worden, welche insofern mit einander in Verbindung stehen, als in ihnen die gestörte Bewegung eines Planeten, als eine vollkommen elliptische mit sich stetig ändernden Elementen, betrachtet wird. Mit Hülfe dieser Betrachtungsweise, deren sich, wie bekannt, zuerst Euler bedient hat, und mit Anwendung des von Lagrange erfundenen unter dem Namen der störenden Function bekannten Kunstgriffes wird im ersten Aufsatze das schöne Theorem Lag ran ge’s von der Un- veränderlichkeil der grossen Axen bewiesen. Der zweite Aufsatz sucht von der Berechnung der sogenannten speciellen Störungen, als wovon hauptsächlich bei den sehr excentrischen und unter allen Winkeln gegen die Ekliptik geneigten Kometenbahnen Gebrauch gemacht wird, t einen allgemeinen Begriff zu geben. Den damit zusammenhängenden am Schlüsse Eingestellten Satz, welcher die Verrückung des Mittelpunkts der Bahn und damit die Aenderung ihrer Elemente erkennen lässt, wenn der Planet einen fremdartigen kleinen Sloss erhält, diesen Salz fand ich, als ich bei Lesung der kleinen, aber inhaltsreichen und geistvollen Schrift Airy’s: Vorrede. i.t Gravitation *) die darin auf ganz populäre Weise be-* stimmten Aenderungen, welche die Elemente des gestörten Planeten, nach Verschiedenheit seines Bahnorts und der Richtung der störenden lvraft, erleiden, mit einander verglich und sie in Einem Resultate zusammenzufassen suchte. Wie ich bei dieser Gelegenheit noch bemerken möchte, scheint durch die Airy'sehe Schrift der Wunsch in Erfüllung gegangen zu sein, welchen der Freiherr von Linden au bereits im Jahre 1815 in der von ihm in Vereinigung mit B o Innen b e r g e r herausgegebenen Zeitschrift für Astronomie **) ausgesprochen hat, „dass nämlich, obschon das Detail der Störungs-Entwickelungen anders als analytisch-numerisch nicht geschehen könne, doch der Gang der Untersuchung, hervorspringende Resultate, und das Bezeichnen der Punkte, wo die Wirkungen ein Grösstes werden, Sache des Raisonne- inents und der Construction sein sollte, ... und dass es daher der Beurtheilung der Geometer anheim gegeben sein möchte, ob sich nicht für die möglichen Combinalionen der Lage zweier Planeten Constructionen ersinnen Hessen, welche eine Uebersicht der Ilauptmoinenle ihrer gegenseitigen Störungen gewährten.“ In der That hat Airy in der genannten Schrift die Störungen ohne allen Calcul, bloss durch einfache auf das Priucip der Variation der Elemente gegründete Betrachtungen, erklärt und damit seinen Lesern eine Einsicht in den Mechanismus des Ganzen verschafft, welche der in anderer Be- *) Der vollständigere Titel ist: Gravitation, an elemenlary expla- nalion of the principal peiiurbalions in the solar System ... London 1831. Durch K. L. v. Littrow ist hiervon eine deutsche Ueberselzung besorgt worden: Airy’s populäre physische Astronomie ... Stuttgart 1839. **) I. Band, Seite 33 und 34. ( Vorrede. x Ziehung allerdings bei Weitem überlegenere Calcul nicht zu gewähren vermag. Auch im vorliegenden Buche habe ich in einigen besonders einfachen Fällen von vorher durch Rechnung gefundenen Störungen die Nothwendigkeit ihres Vorhandenseins und ihre allgemeine Beschaffenheit durch blosse Betrachtung der Natur der störenden Kraft darzuthun gesucht; auch ist dahin noch die am Schlüsse des Ganzen mit Hülfe des vorhin gedachten Salzes untersuchte Bewegung eines Planeten in einem widerstehenden Mittel zu rechnen. Mehreres dieser Art hinzuzufügen war gegen den Plan des Buchs. Inhalt Erster Abschnitt. Die Grundlehren der Dynamik. Erstes Kapitel. Von der Bewegung der Punkte. §. 1. Siilze, die gegenseitige Lage von Punkten betreffend. — §.2. Zusammensetzung gerader Linien. — §. 3. Zerlegung einer geraden Linie in zwei oder mehrere; bestimmte hierbei mögliche Aufgaben.— §. 4. Erklärungen, und Sätze, die gegenseitige Bewegung von Punkten betreffend. — §. 5. Zusammensetzung von zwei und — §. 6. mehrern Bewegungen. — §. 7. Zerlegung einer Bewegung in zwei oder mehrere. Von der Geschwindigkeit, §§. 8. 9. Bestimmung der Geschwindigkeit bei sich gleichförmig und geradlinig bewegenden Punkten; — §. 10. bei einer ungleichförmigen Bewegung. Von der gleichförmig beschleunigten Bewegung.— §. 11. Bestimmung der Geschwindigkeit bei einer mit der Zeit sich ändernden Grösse überhaupt. Erste Sätze der Fluxionen- oder Differentialrechnung. — §. 12. Die Geschwindigkeit betreffende Sätze bei Zusammensetzung, Zerlegung und Projeclion von Bewegungen. — §.13. Wie von der Geschwindigkeit eines sich bewegenden Punktes auf seine Bewegung selbst geschlossen werden kann. — §. 14. Projection einer gleichförmigen Kreisbewegung auf einen Durchmesser des Kreises. Zweites Kapitel. Von den Wirkungen der Kräfte. §. 15. Heber die Natur der nun folgenden Untersuchungen. Gesetz der Trägheit. — §. 16. Aus der Statik entlehnte Definitionen und Sätze.— §. 17. Dynamischer Grundsatz. — §§. 18. 19. Folgerungen aus demselben bei stossweise wirkenden Kräften. — §§. 20. 21. Von beschleunigenden Kräften, insbesondere bei der geradlinigen Bewegung; — §. 22. bei der krummlinigen. Ausdruck der beschleunigenden Kraft durch die Geschwindigkeit, mit welcher sich die Geschwindigkeit des sich bewegenden Körpers ändert. — §. 23. Kraft bei einer gleichförmigen XII Inhalt. Kreisbewegung; bei einer gleichförmigen Bewegung überhaupt; Normal- kral't, Tangentialkraft; allgemeiner Satz. — §. 24. Die Kraft betreffende Sätze bei Zusammensetzung, Zerlegung und Projection von Bewegungen. Beispiel einer elliptischen Bewegung, bei welcher der vom Mittelpunkte der Ellipse ausgehende Badius der Zeit proportionale Flächen überstreicht. — §. 25. Wie aus der einen Körper beschleunigenden Kraft rückwärts seine Bewegung bestimmt werden kann. Anwendung hiervon auf den Fall, wenn die Kraft dem Abstande des Körpers von einem festen Punkte proportional ist. -- §. 20. Hieraus abgeleitete Theorie des einfachen Pendels. — §. 27. Parabolische Bewegung eines Körpers, wenn die ihn beschleunigende Kraft ihre Richtung und Grösse nicht ändert. Merkwürdige dabei staltfindende Relationen. Drittes Kapitel. Theorie der e p i c y k 1 i s c h e n Bewegung. §§. 28—30. Begriff der cpicyklischen Bewegung. Formeln für die rechtwinkligen Coordinaten eines sich epicvkliscTi in einer Ebene bewegenden Körpers und für die Kräfte, welche diese Bewegung hervorbringen. — §§. 31. 32. Transformation dieser Formeln bei Anwendung von Polarcoordinaten. — §§. 33. 34. Näherungsformeln für den Fall, wenn die Bewegung sehr nabe kreis- und gleichförmig ist. Geometrische Erörterungen. — §. 35. Formeln für die Geschwindigkeiten, mit denen sich die Polarcoordinaten ändern, für die Flächengeschwindigkeit des Radius und für die Geschwindigkeit des sich bewegenden Körpers selbst. — §. 36. Streng richtige Formeln für die Kräfte, durch welche eine durch Polarcoordinaten gegebene Bewegung in einer Eibene hervorgebracht wird. — §. 37. Einfache Relation zwischen der aut dem Radius perpendikulären Kraft und der Geschwindigkeit der Flächengeschwindigkeit. Betrachtung des Falles, w r enn die Flächengeschwindigkeit null ist, und folglich der Radius der Zeit proportionale Flächen beschreibt. Geometrischer Beweis der Formeln in §. 36. — §. 38. Bestimmung der Kräfte bei einem sich nicht in einer Ebene bewegenden Körper. Zweiter Abschnitt. Von den Kräften, durch welche die Bewegungen der Himmelskörper hervorgebracht werden. Erstes Kapitel. Von der elliptischen Bewegung der Planeten. §. 39. Die drei Kepler’schen Gesetze. — §§. 40. 41. Erklärung von Kunstausdrücken. — §. 42. Geringe Excentricität der Planetenbahnen. — §§.43 — 45. Polarcoordinaten eines Planeten in seiner Bahn- Inhalf. ebene, wenn bloss die erste Potenz der Excentricilät berücksichtigt wird. Mit dieser Genauigkeit ist die Planetenbewegung bereits von P t o I e m aus und Copcrnikus dargestellt worden. Heialion zwischen der mittlern Entfernung und der miltlern Bewegung. — §. 46. Kleinheit der gegenseitigen Neigung der Bahnebenen. — §§. 47. 48. Formeln zur Berechnung der drei Polarcoordinaten eines Planeten im Baume: Länge, Breite und Badius Vector. Hierzu bat man sechs Stücke, die Elemente der Bewegung, zu wissen nütl)ig. Beduction der Länge eines Planeten in seiner Bahn auf die Grundebene. §. 49. Die vollkommene elliptische Bewegung betreffende Formeln und Sätze. Polargleichung der Ellipse. — §. 50. Aus der wahren Anomalie die mittlere zu linden. — §.51. Das umgekehrte Probien*; Lösung desselben durch Reihen. — §. 52. Bestimipung der Geschwindigkeiten der veränderlichen Grössen, welche bei der Bewegung eines Planeten in Betracht kommen. — §. 53. Die sechs Elemente der Bewegung eines Planeten zu linden, wenn für einen gewissen Zeitpunkt sein Ort und seine Geschwindigkeit gegeben sind. Zweites Kapitel. Bestimmung der Kräfte, durch welche die elliptische Bewegung der Planeten erzeugt wird. §. 54. Bestimmung dieser Kräfte unter der Voraussetzung, dass die Planetenbahnen Kreise sind, in deren Mitte sich die Sonne befindet. — §. 55. Bestimmung der Kräfte bei der elliptischen Bewegung und bei der Bewegung in einem Kegelschnitte überhaupt. Umgekehrte Folgerung." — §. 56. Einige Planeten werden von Trabanten begleitet, welche in ihren, Bewegungen um erstere gleichfalls die Keplcr’schen Gesetze befolgen. — §. 57. Bestimmung der auf .die Trabanten wirkenden Kräfte. Brittes Kapitel. Von der allgemeinen Anziehungskraft. §; 58. Anziehende Kraft der Sonne und der von Trabanten begleiteten Planeten, geschlossen aus den Bewegungen der uni sie laufenden Körper. — §. 59. Bei zwei Körpern kann nie eine bloss einseitige Anziehung statt linden, sondern sie ist immer gegenseitig. — §. 60. Nicht je zwei Körper, werden durch Kräfte, welche nach der Definition in der Statik einander gleich sind, auch |n gleiche Geschwindigkeiten versetzt. — §. 61. Entstehung des Begriffs der Masse. Unterschied zwischen beschleunigender und bewegender Kraft; Anwendung hiervon auf einander anziehende Körper. — §. 62. Je zwei Himmelskörper ziehen einander an; Gesetz, nach welchem dipses geschieht. — §. 63. Die Kraft, mit welcher ein Himmelskörper den andern anzieht, erstreckt sich auf alle einzelnen Thcilchen her Körper. Auch je zwei Theilchen desselben Körpers ziehen einander XIV Inhalt. an. — §. 64. Von Newton entdecktes Gesetz der allgemeinen Anziehung. Viertes Kapitel. N ä c li s t e Folgen aus dem Gesetze der allgemeinen Anziehung. §. 65. Proportion zwischen mittlern Entfernungen, Umlaufszeiten und Massen von verschiedenen Paaren sich um einander bewegender Körper: — §. 66. Anwendung dieser Proportion, um für diejenigen Körper des Planetensystems, welche Begleiter haben, das Verhältniss zwischen ihren Massen zu linden. Berechnung der Massen der Erde und des Jupiter im Verhältnisse zur Sonnenmasse. Angabe der übrigen Planetenmassen. — §. 67. Von der Dichtigkeit. — §. 68. Dichtigkeiten der Sonne und der Planeten im Verhältnisse zur Dichtigkeit der Erde. Neueste Bestimmung der Masse und der Dichtigkeit des Merkur. §. 69. Anziehung einer materiellen gleichförmig dichten Kugel- Bäche auf einen ausser ihr gelegenen materiellen Punkt. — §. 70. Zusätze. Die Anziehung der Kugelfläche auf einen irgendwo innerhalb derselben befindlichen Punkt ist null. — §. 71. Anziehung einer Kugel, welche in gleicher Entfernung von ihrem Mittelpunkte gleiche Dichtigkeit hat, auf einen ausserhalb derselben gelegenen Punkt. Gegenseitige Anziehung zweier solcher Kugeln. Anwendung hiervon auf die Himmelskörper. — §. 72. Berechnung des Fallraums eines Körpers auf der Oberfläche der Erde aus der Bewegung des Mondes. Uebereinstimmung des Resultats mit dem unmittelbar beobachteten Fallraume. Allgemeine Schwere. Fallräume und Gewichte von Körpern auf den Oberflächen des Mondes und der Sonne. Fünftes Kapitel. Allgemeine Gesetze der Bewegung bei einem System sich anziehender Körper. §.73. Einleitung. — I. Das Princip der Erhaltung des Schwerpunktes. §. 74. Vom Mittelpunkte eines Systems von Punkten. Haupteigenschaflen desselben. — §. 75. Methoden den Mittelpunkt zu bestimmen; Eigenschaft desselben in Bezug auf Projectionen. — §. 76. Bewegung des Mittelpunktes bei einem System sich bewegender Punkte; Abhängigkeit der Geschwindigkeit des erstem und der ihn beschleunigenden Kraft von den Geschwindigkeiten der letztem und den sie beschleunigenden Kräften. — §. 77. Zusätze von Vervielfachung der Bewegungen; von einander ähnlichen Bewegungen. .Wie auf den Begriff der Bewegung die vier Species der Rechenkunst angewendet werden können. — §. 78. Uebergang vom Mittelpunkte zum Schwerpunkte. Schwerpunkt eines einzelnen Körpers. Methoden den Schwerpunkt eines Systems von Körpern zu finden. — §. 79. Bewegung des Schwerpunktes bei einem System sich bewegender Körper, und insonderheit bei einem Inhalt. xv System, auf dessen Körper bloss ihre gegenseitigen Anziehungen wirken; allgemeines Princip. Anwendung auf das Planetensystem. — §§.80.81. Erläuterung des Princips vom Schwerpunkte an einem System von nur zwei Körpern; hieraus gefolgerte Grundeigenschaften des hyperbolischen Paraboloids. II. Das Princip der Erhaltung der Flächen. §§. 82. 83. Entwickelung des Princips bei einem System von zwei und — §. 84. mehrern sich in einer Ebene bewegenden und einander anziehenden Körpern; — §. 85. bei einem System sich anziehender Körper im Kaume überhaupt. — §. 86. Kurzer Ausdruck des Princips durch Einführung des Begriifs des Moments. Wie das Moment eines Systems sich bewegender Körper sich ändert, wenn der Punkt, oder — §. 87. die Ebene, worauf man das System bezieht, geändert wird. Zusammensetzung von Flächen. — §. 88. Unveränderliche Ebene des Systems, wenn der Schwerpunkt desselben ruht; — §. 89. wenn ersieh bewegt. Lage der unveränderlichen Ebene des Planetensystems. — §. 90. Bestimmung der unveränderlichen Ebene eines Systems aus den relativen Bewegungen seiner Körper. * III. Das Princip der Erhaltung der lebendigen Kräfte. §. 91. Erklärung des Princips; Beweis desselben bei einem System von nur zwei sich anziehenden Körpern. Zusatz, die Ausdehnung des Princips ~ auf ein System von mehrern Körpern betreffend Dritter Abschnitt. Von den Störungen des Mondes durch die Sonne. Erstes Kapitel. Das Problem der drei Körper. §. 92. Von Störungen im Allgemeinen. — §. 93. Bei jeder die Störungen betreffenden Aufgabe kommen zum wenigsten drei einander anziehende Körper in Betracht. — §. 94. Bestimmung der Kräfte, durch welche die Bewegung des einen der drei Körper in Bezug auf einen der beiden übrigen erzeugt wird. — §§. 95. 96. Beduction dieser Kräfte auf drei rechtwinklig coordinirte Kräfte. — §. 97. Uebergang zur Mondstheorie. Zweites Kapitel. Von den Kräften, durch welche die Bewegung des Mondes um die Erde gestört wird. §. 98. Die Störungen des Mondes werden fast ausschliesslich durch die Sonne hervorgebracht. Warum dieselben, ungeachtet der sehr grossen Masse der Sonne, doch nicht allzubedeutend sein können. — §. 99. Entwickelung der Ausdrücke für die drei rechtwinklig coordinirlen XVI Tnliall. den Mond störenden Kräfte. — §. 100. Upbcr die verschiedenen Ordnungen der in diesen Ausdrücken verkommenden Zahlen. — §. 101. (irüsse und Iliclilung der den Mond in seiner Bahnebene störenden Kraft, nach Massgabe seines Standes gegen die Sonne. — §. 102. Wie durch die Störung die imitiere Entfernung und die mittlere Bewegung des Mondes geändert wird. -- §. 103. Ilerleilung der in §. J01- erhaltenen Resultate-aus geometrischen Betrachtungen. Krittes Kapitel. Von den vorzüglichsten Störungen des M o n d s 1 a u f s und insbesondere von der Variation. §. 104- Ungefähre Angabe der Methode, nach welcher die Störungen im Eolgenden entwickelt werden sollen. — '§§. 105. 106. Entwickelung der Störungen des Radius Vector und der Länge des Mondes, wenn die Excentricitälen der Monds- .und der Sonnenbahn unberücksichtigt gelassen werden. — §. 107. Nähere Betrachtung der erhaltenen Störungen. — §. 108. Wie man sich von diesen Resultaten im Allgemeinen auch ohne Rechnung überzeugen kann. — §.109. Slörungsgleichungen; Coeflicient, Argument und Periode einer Gleichung. Die jetzt gefundene Gleichung der Länge heisst die Variation — §. 110. Aus der Gleichung des Radius Vector abgeleitete Gleichung der Horizonlal- parallaxe. — §. 111. Angabe der von den Excenlriciläten unabhängigen Gleichungen nach Damoiseau. Die parallaktische Gleichung. Viertes Kapitel. Von der jährlichen Gleichung. §. 112. Allgemeine Formeln um aus den in der Bahnebene störenden Kräften die gestörte Bewegung selbst zu linden. — §§. 113. 114. Anwendung dieser Formeln auf Entwickelung der von der Excentricität der Sonnenbahn herrührenden Störungen. — §. 115. Die beträchtlichste unter ihnen heisst die jährliche Gleichung. Wie diese Gleichung sich in der Bewegung des Mondes zu erkennen giebt. — §. 116. Erklärung dieser Erscheinung im Allgemeinen. Fünftes Kapitel. Von der E v e c t i o n. §. 117. Einleitende Bemerkungen. — §§. 118—121. Entwickelung der periodischen Störungen, welche in der Excentricität der Mondsbahn ihren Grund haben. Hierbei kann man nicht mehr von den Nähemngs- formeln in §. 112. Gebrauch machen, sondern muss zu den streng gültigen in §. 36. zurückgehen. — §. 122. Die grösste unter den erhaltenen Störungen wird die Evection genannt; Wirkungsart derselben; ihre Entdeckung durch Ptolemäus. — §. 123. Die Evecljon lässt sich als eine zweite Mittelpunktsgleichung ansehen und hiernach — §. 124. Inhalt. XVII durch eine kreisförmige Bewegung _des Mittelpunkts der Mondsbaiin erklären. Sechstes Kapitel. Von dem Vorwärtsgehen der Apsiden der Mondsbahn. §. 125. Zu Folge der im vorigen Kapitel erhaltenen Störungsglieder, welche die mittlere Anomalie des Mondes zum Argumente haben, müssen der Radius Vector und die Länge des Mondes mit verschiedenen Ex- eentricitäten berechnet werden. Eine in denselben Gliedern noch vorkommende Constante lässt auf ein Vorwärtsgehen der Apsiden schlies- sen. — 126. Eigentümliche Art, auf welche sich diese zwei Ergebnisse vereinigt darstellen lassen. — §. 127. Newton’s Verfahren die Apsidenbewegung zu bestimmen. §. 128. Die jetzt gefundene Apsidenbewegung ist nur halb so gross, als in der Wirklichkeit; Geschichtliches. — §. 129. Wie die Störungsglieder höherer Ordnungen aus den schon entwickelten der vorhergehenden niederem Ordnungen gefunden werden können.— §§. 130. 131. Anwendung hiervon, um die Grösse der Apsidenbewegung durch Rücksichtnahme auf die Evection zu verbessern. Nahe Uebereinstimmung des Resultats mit der Natur. Siebentes Kapitel. Von der Seculargleichung des Mondes. §. 132. Sie besteht in einer Beschleunigung der mittlern Bewegung des Mondes und hat in der sich vermindernden Excentricität der Erdbahn ihren Grund. — §. 133. Analytische und numerische Entwickelung dieser Gleichung. — §. 134. Veranschaulichung ihrer Wirkung. Die jetzige Beschleunigung wird einst in eine Verzögerung übergehen. Aehnliche Seculargleichungen in Bezug- auf die Bewegung der Apsiden und der Knoten des Mondes. Achtes Kapitel. Von den Störungen der Breite des Mondes. §. 135. Wirkungsart der auf der Bahnebene perpendikulären Krall. — §. 136. Bestimmung der auf der mittlern Ebene der Mondsbahn perpendikulären Kraft. — §. 137. Untersuchung der dadurch bewirkten Breite oder Ablenkung des Mondes von der mittlern Ebene. — §§. 138.139. Periodische Aenderung dieser Breite, während die Knotenlinie der mittlern Ebene mit der Ekliptik, bei unveränderter Neigung beider Ebenen, sich in der Ekliptik gleichförmig rückwärts dreht. — §. 140. Breite des Mondes in Bezug auf die Ekliptik. — §. 141. Die Ursache der Knotenbewegung erklärt sich am einfachsten, wenn man die Bewegung des Mondes auf die Ekliptik unmittelbar bezieht. — §. 142. Wie die periodische Breitenstörung durch periodische Aenderungen der Neigung b XVIII Inhalt. und der Knotenlänge erklärt, und diese Aenderungen durch eine kreis- lörmige Bewegung der Pole der Mondsbahn dargestellt werden können. Neuntes Kapitel. Von der Bestimmung der Elemente der Mondsbewegung. §. 143. Einleitung. — §. 144. Zusammenstellung der Gründe für die Richtigkeit der im Bisherigen für die gestörte Mondsbewegung entwickelten Formeln. — §. 145. Methode, nach welcher die Elemente der gestörten Bewegung bestimmt werden können. — §. 146. Hinzuzufügende Bemerkungen. — §. 147. Die Länge des Perihels und die Länge der Knoten ausgenommen, sind alle übrigen Elemente constant.— §. 148. Kurze Uebersicht der vorzüglichsten bisher erschienenen Tafeln und Theorieen des Mondes. — §. 149. Angabe der Elemente und der vorzüglichem Gleichungen der Mondsbewegung nach Damoiseau. Anmerkung über die Gleichungen, welche von der abgeplatteten Gestalt der Erde herrühren. Vierter Abschnitt. Von den gegenseitigen Störungen der Planeten. Erstes Kapitel. Von den Störungen, welche von denExcentricitäten und der Neigung unabhängig sind. §. 150. Das Verfahren, um die Planetenstörungen zu berechnen, wird dasselbe sein, welches im Vorhergehenden beim Monde angewendet wurde. — §§. 151. 152. Formeln für die auf den gestörten Planeten wirkenden Kräfte. — §. 153. Gestaltung dieser Formeln, wenn die Excentricitäten unberücksichtigt gelassen werden. — §. 154. Entwickelung einer negativen Potenz der gegenseitigen Entfernung zweier Planeten in eine Reihe, welche nach den Cosinussen der Vielfachen des Längenunterschiedes beider Planeten fortgeht. — §. 155. Einzuschaltende goniomelrische Formeln und Sätze. — §. 156. Gesetz, nach \velchem die Coeflicienten jener Reihe im Allgemeinen und — §. 157. in den speciellen hier zu beachtenden Fällen von einander abhängen. Bestimmung der Dilferentialquotienten der Coefficienten. — §. 158. Darstellung der störenden Kräfte mit Hülfe der entwickelten Reihen; die von den Excentricitäten unabhängigen Störungen des Radius Vector und der Länge,aus diesen Reihen mitAnwendung derFormeln in §. 112. abgeleitet. Zweites Kapitel. Entwickelung der von denExcentricitäten und der Neigung abhängigen Störungen. §. 159. — §.161. Die von denExcentricitäten des gestörten und des störenden Planeten abhängigen periodischen Störungen, mittelst der Inhalt. XIX Formeln in §. 36. entwickelt. — §. 162. Entwickelung der periodischen Breitenstörungen. — §. 163. Wie die auf einen Planeten von zwei oder meinem andern, gleichzeitig ausgeübte Störung zu berechnen ist. Drittes Kapitel. Theorie der Secularstürungen. §§. 164. 165. Unbestimmbarkeit der Coefficienten der Anfangsglieder in den für die Coordinaten des Planeten vorhin erhaltenen Reihen. Diese Unbestimmbarkeit wird beim Radius Vector und der Länge aufgehoben, wenn man die Länge des Perihels und die Excentricität veränderlich annimmt.. Geschwindigkeit dieser Aenderungen. — §. 166. Unterschied zwischen den Excentricitäten und den Längen des Perihels, mit denen das einemal der Radius Vector, das anderemal die Länge des Planeten zu berechnen ist. — §. 167. Zur Bestimmung des Anfangsgliedes für die Breite wird angenommen, dass sich die Bahnebene des gestörten Planeten an der des störenden unter constanter Neigung gleichförmig l'orlbewegt. Geschwindigkeit dieser Bewegung. — §. 168. Geschwindigkeiten, mit denen sich die Neigung und die Knotenlänge in Bezug auf eine beliebig angenommene feste Ebene ändern. — §. 169. Seculare Störungen im Gegensätze zu den periodischen. Die Secular- störung der mittlern Entfernung ist null. Inwiefern der mittlern Länge in der Epoche eine seculare Aenderung beigelegt werden kann. — §§. 170. 171. Seculare Bewegung der Pole der Bahnen zweier sich störenden Planeten, aus einer geometrischen Betrachtung hergeleitet. -* §. 172. Analytische Entwickelung dieser Bewegung. — §. 173. Anwendung der Formeln auf Jupiter und Saturn. — §. 174. Die Secular- änderungen der Excentricitäten und der Perihelien zweier sich störenden Planeten, durch eine ähnliche Analysis entwickelt. — §. 175. Anwendung auf Jupiter und Saturn. Bewegung der Mittelpunkte ihrer Bahnen. — §. 176. Merkwürdige Relation zwischen den Quadraten der Excentricitäten aller Planeten. — §. 177. Aehnliche Relation zwischen den Quadraten der Neigungen; hierin ist zugleich der Satz von der unveränderlichen Ebene begriffen. i Viertes Kapitel. Von der Stabilität des Planetensystems. §. 178. Sie beruht auf der Unveränderlichkeit der mittlern Entfernungen und auf der fortwährenden Kleinheit der Excentricitäten und der Neigungen der Bahnen gegen die unveränderliche Ebene. Die Fortdauer dieser Kleinheit hat darin ihren Grund, dass alle Planeten sich nach einerlei Richtung um die Sonne bewegen. — §. 179 Warum keine periodische Störung einen allzugrossen Werth erreichen kann. — §. 180. Die grossen Gleichungen Jupiters und Saturns nach Bouvard. — §. 181. Beweis, dass durch die Wechselwirkung zweier Planeten die mittlere Bewegung des einen sich verringert, wenn die des andern XX Inhalt. grösser wird, und umgekehrt. Näherungsweise ausgedrücktes Verhält— niss zwischen den Coelficienten der grossen Gleichungen Jupiters und Saturns. — §. 182. Störungen von langer Periode bei andern Planetenpaaren. — §. 183. Bestimmung der Elemente eines gestörten Planeten. Anhang. I. Beweis der Unveränderlichkeit der mitllern Entfernungen, nach L AGR AN GE. Aenderung der Elemente der elliptischen Bewegung eines Planeten, wenn seine Geschwindigkeit durch einen Stoss geändert wird. — Die gestörte Bewegung kann man sich als eine elliptische vorstellen, deren Elemente sich fortwährend ändern. — Lagrange’s Verfahren, um die nach einer beliebigen Richtung geschätzte störende Kraft zu linden. Die störende Function; Entwickelung derselben. Die hieraus gefolgerte Geschwindigkeit, mit welcher sich die mittlere Entfernung ändert, ist aus bloss periodischen Gliedern zusammengesetzt, weshalb die mittlere Entfernung selbst bloss periodische Störungen erleidet. II. Ueber die Methode der speciellen Störungen. Allgemeiner Begriff dieser Methode; sie geht zunächst auf die Berechnung der Geschwindigkeiten aus, mit denen sich die Elemente ändern; die Geschwindigkeit der Aenderung des Parameters als Beispiel. — Neuer Satz, durch welchen man von den Aenderungen, welche die Elemente durch einen kleinen Stoss erleiden, eine anschauliche Uebersicht gewinnt. Erläuterung dieses Satzes durch die Bewegung eines Planeten in einem widerstehenden Mittel. Erster Abschnitt, Die Grundlehren der Dynamik. Moebius, Mech. (I. nimm. 1 Erstes Kapitel. Von der Bewegung der Punkte. §• 1. Die Lage eines Punktes B (Fig. 1.) gegen einen andern A ist gegeben, wenn sein Abstand von A und die Richtung der Abstandslinie AB gegeben sind. Ein dritter Punkt 7/ bat demnach gegen einen vierten Ä dieselbe Lage, welche B gegen A hat, wenn die zwei geraden Linien AB und .17/ gleich lang sind und einerlei Richtung haben. Dass zwei gerade Linien AB und ÄB' gleiche Länge und einerlei (nicht entgegengesetzte) Richtung haben, werde hier kurz durch AB = ÄB' ausgedrückt. Mit dieser Bezeichnung können wir sogleich folgende aus den ersten Elementen der Geometrie messende Sätze aufstellen: I. Ist AB = A'B', so ist auch AÄ = BB'. II. Ist AA = BB' und Bll' = CC , so ist auch AA'= CC. III. Ist AB = A'F und 7?C — B'C', so ist auch AC=A’C ; und eben so AD = A'D', wenn noch CD = CD’ ist; u. s. w. Versteht man analoger Weise unter der Formel AB = •m. A'B', dass die Linien AB und ÄB’ einerlei Richtung haben, und dass die Länge der erstem das in fache der Länge der letztem ist, wo in jede ganze oder gebrochene positive Zahl sein kann, so kann man den Satz III. folgendergestalt verallgemeinern: IV. Ist AB~m.A'F, BC= in . B’C, CD = m . CD', etc,, so ist auch AC = m . A'C, AD = m . A'D’, etc. (Siehe Fig. 2., wo m = 3 ist.) Alsdann nämlich sind die Figuren ABCD.. und A’B’CD' . . einander blos ähnlich, in dem Verhältnisse in : 1, während sie in III. einander gleich und ähnlich 1 * 4 Erster Abschnitt. Erstes Kapitel. waren. In beiden Fällen aber haben sie eine direct ähnliche Lage. — Wir können noch hinzuselzen: V. Ist All = m . B i A,, BC = m . C L B s , CD=m. 1), C,, etc., so ist auch AC = m . C L A L , AD = m . D, A t , etc. Auch hier sind die Figuren ABC... und A , ß L C i ... in dem Verhältnisse m : 1 einander ähnlich, haben aber eine verkehrt ähnliche Lage. §- 2 . Sind mehrere gerade Linien AB, CD, EF (Fig.3.) ihrer Grösse und Kielt lang nach gegeben, und trägt man dieselben, von einem beliebigen Punkte 0 ausgehend, parallel mit ihren Richtungen an einander, macht man also OB=AB, BQ = CD, QB = EF, so heisst die gerade Linie OB, welche den Anfangspunkt mit dem Endpunkte der dadurch entstandenen gebrochenen Linie OBQB verbindet, aus den Linien AB, CD, AT*’zusammengesetzt, — oder auch die Lage von B gegen 0 zusammengesetzt aus den Lagen von B gegen A, von D gegen C und von F gegen E. Folgerungen, a. Die Linie OB bleibt dieselbe, wenn statt der Linien AB, CD, EF irgend andere ihnen gleiche und parallele genommen werden ((§. 1. II.). Man kann daher OB auch zusammengesetzt aus OB, BQ, QB selbst, und überhaupt jede Seite eines Vielecks als zusammengesetzt aus den jedesmal übrigen ansehen, dafern man nur jede der letztem nach der Richtung nimmt, nach welcher sie von einem den Perimeter des Vielecks beschreibenden Punkte durchlaufen wird, die Richtung der erstem aber die entgegengesetzte sein lässt. — So ist z. B. von den drei Seiten BC, CA, AB eines Dreiecks, CB aus CA und AB- AC aus AB und BC-, BA aus BC und CA zusammengesetzt. b. Wenn man, statt von 0 , von irgend einem andern Punkte 0' ausgehend, die gegebenen Linien AB, CD, EF parallel mit ihren Richtungen an einander trägt und damit die gebrochene Linie O'B'Q'B' bildet, so ist O’U = OB (§. 1. III.). c. Hat man, von 0 ausgehend, OB= AB, BQ = CD, QB = EF gemacht , so wird man zu demselben Punkte J{ auch gelangen, wenn man z. B. von B aus parallel mit sich a Von der Bewegung der Punkte. zuerst EF und sodann CI) trägt. Denn macht man P(f=EF, so ist auch PQ = QU und daher (§. 1.1.) (/ 1! = PQ = CD. Je zwei nächstfolgende der zusammenzusetzenden Linien können daher mit einander vertauscht werden. Da sich nun aus einer gegebenen Folge mehrerer Elemente durch succes- sive Vertauschung je zweier nächstfolgenden alle andern Folgen ableiten lassen, — aus der Folge abc z. B. die Folgen ach, cab, eba, etc. ■— so 'kann die Ordnung, in welcher man die gegebenen Linien nach und nach zusammensetzt, jede beliebige sein. Weil endlich nach b. eine veränderte Annahme des Ausgangspunktes 0 keinen Einfluss auf die Grösse und Richtung der zusammengesetzten Linie hat, so schliessen wir: Die aus mehrern geraden Linien zusammengesetzte Linie bleibt ihrer Grösse und Richtung nach dieselbe, welches auch der Ausgangspunkt und welches die Ordnung ist, in welcher die erstem Linien an einander gesetzt werden. d. Ist AB aus CD und EF zusammengesetzt, so ist es CD aus AB und FE ; EF aus AB und PC; BA aus DC und FE] u. s. w. Die Richtigkeit hiervon erhellet durch Ansicht von Fig. 3*., und man sieht von selbst, wie Analoges auch bei Systemen von noch mehrern Linien statt finden muss. e. Noch können wir aus §. 1 . IV. folgern: Ist eine Linie aus mehrern andern (A'IX aus AB’, B’C, CIL) zusammengesetzt, so ist auch das m fache der erstem aus den m fachen der letztem (AD aus AB, BC, CD) zusammengesetzt. §. 3. Eine gerade Linie in zwei oder mehrere gerade Linien zerlegen, heisst Linien angeben, durch deren Zusammensetzung die erstere Linie wieder erhallen wird. Oflenbar gehört diese Aufgabe zu den unbestimmten und kann nur durch Hinzufiiguiig gewisser Bedingungen eine bestimmte werden. Die einfachsten unter dergleichen bestimmten Aufgaben sind folgende drei: I. Eine Linie AB (Fig. 4.) in zwei andere zu zerlegen, welche parallel mit zwei Geraden a und b sind, die ♦i Erster Abschnitt. Erstes Kapitel. in einer mit AB parallelen Ebene liegen und sich darin schneiden. Auflösung. Man ziehe durch A eine Parallele AK mit a und durch Ii eine Parallele BF mit b , welche die AE schneiden wird. Geschehe dieses in C, so sind AC und CB die gesuchten Linien. Es kann aber AB nicht noch in zwei andere mit a und b parallele, aber von AC und CB der Länge nach verschiedene Linien zerlegt werden, indem es sonst ausser C noch einen Punkt geben müsste, der so läge, dass die von ihm nach A und B gezogenen Linien resp. mit a und b parallel wären. II. Eine Linie AI) in zwei zu zerlegen, von denen die eine parallel mit einer Ebene e und die andere parallel mit einer die e schneidenden Geraden c ist. Auflösung. Man lege durch A eine mit e parallele Ebene und durch 1) eine mit c parallele Gerade, welche jene Ebene in B treffe, so sind AB und BI) die gesuchten Linien. — Dass auch hier die Zerlegung nicht noch auf andere Art möglich ist, erhellet aus ähnlichem Grunde wie vorhin. III. Eine Linie AD in drei zu zerlegen, welche parallel mit drei sich in einem Punkte schneidenden und nicht in derselben Ebene enthaltenen Geraden a, b, c sind. Auflösung. Man zerlege nach II. die Linie AD in zwei andere AB und BD, welche resp. mit der durch die Geraden a und b bestimmten Ebene und mit der Geraden c parallel sind. Man zerlege hierauf nach I. die Linie AB in zwei mit a und b parallele Linien AC und CB, und es werden AC, CB und BD die verlangten sein. — Da jede dieser zw r ei Zerlegungen nur auf eine Weise möglich ist, so können auch hier statt der drei erhaltenen Linien nicht noch andere von denselben Richtungen aber andern Längen gefunden werden. Zusatz. Liegt die Linie AB in der durch die Geraden a und b bestimmten Ebene selbst, so kann man sie nach a und b auch dadurch zerlegen, dass man ihre Endpunkte A, B durch Parallellinien mit b und mit a auf a und .auf b projicirt (Fig. 5.). Denn die somit sich ergebenden Pro- jeclionen .17/ und A"B" von AB auf a und b sind, wie die Von der Bewegung der Punkte. 7 Figur zeigt, resp. = den vorigen AC und CB, und daher die gesuchten Linien. Aehnlicherweise wird eine Linie nach der Ebene s und der Geraden c dadurch zerlegt, dass man ihre Endpunkte durch Parallellinien mit c auf die Ebene e und durch Parallelebenen mit £ auf die Gerade c projicirt. — Ehen so wird man endlich eine Linie nach den drei Geraden a, b, c zerlegen, wenn man ihre Endpunkte auf jede der drei Geraden (z. B. auf c) durch Ebenen projicirt, welche mit der durch die jedesmal zwei übrigen Geraden (a und b) bestimmten Ebene parallel sind. §. 4 . Die Bewegung eines Punktes ist gegeben, wenn für jeden Zeitpunkt sein Ort im Raume gegeben ist. — Im Folgenden werden wir durch T n , 1\, 1\, ... in unbestimmten Intervallen auf einander folgende Zeitpunkte, und durch A 0 , A y , A,, B 0 , , B ,, ...; etc. die Oerter bezeichnen, welche die sich bewegenden Punkte A, B, etc. in jenen Zeitpunkten einnehmen. Die Bewegung eines Punktes gegen einen andern ist gegeben, wenn für jeden Zeitpunkt die Lage des einen gegen den andern (§. 1.) gegeben ist. Von zwei Punkten A und B sagt man, dass sie einander gleiche Beweguugen haben, wenn die Lage des einen gegen den andern unverändert bleibt, — also wenn A 0 /i () = A, B t = A, B, = etc. (Fig. 0.). Es folgt hieraus A n A, = B t) B u AyA.,=B,B.,, etc., und man kann daher die Gleichheit der Bewegungen von A und B auch dadurch definiren, dass immer die Lage des Ortes A (l , welchen der Punkt A in irgend einem Zeitpunkte T {) einnimmt, zu seinem Orte Ay in irgend einem andern Zeitpunkte 1\ dieselbe ist, welche der Ort B () des Punktes B im erstem Zeitpunkte zu seinem Orte B t im letztem hat. Man sagt, dass ein Punkt D gegen einen andern C dieselbe Bewegung habe, welche ein dritter B gegen einen vierten A hat, wenn stets D gegen C dieselbe Lage, wie B gegen A, hat, also wenn C U D U = A () B„, C\ Dy = A L B ,, etc. 8 Erster Abschnitt. Erstes Kapitel. (Fig. 7.) und überhaupt CD = AB ist. Es folgt hieraus ' CA = DB ; mithin hat dann auch D gegen B dieselbe Bewegung, wie C gegen A. Die vier Punkte A, B , D, C bilden dann immer ein Parallelogramm. Folgerungen, a. Haben zwei Punkte einander gleiche Bewegungen und fallen sie in irgend einem Zeitpunkte zusammen, so thuen sie dies auch in jedem andern. b. Hat D gegen C dieselbe Bewegung, wie B gegen A, und sind A und C ruhende Punkte, oder ihre Bewegungen einander gleich, so sind auch die Bewegungen von B und D einander gleich. Denn alsdann ist BD ~ AC = einer Linie, deren Grösse und Richtung sich nicht ändert. §• 5. Die Bewegung eines Punktes P (Fig. 8.) heisst aus denen zweier anderer Punkte A und B zusammengesetzt, wenn die Lage von P gegen einen beliebig wo angenommenen festen Punkt F stets aus den Lagen von A und B gegen F zusammengesetzt ist, oder — was auf dasselbe hinauskommt — wenn der vierte Punkt F, mit welchem die sich bewegenden A, P, B in dieser Folge ein Parallelogramm bilden, ein ruhender ist. Denn weil FP aus FA und FB zusammengesetzt sein soll, und es FP immer aus FA und AP ist, so muss AP = FB , und folglich APBF ein Parallelogramm sein. Sind hiernach für verschiedene Zeitpunkte T () , J 1 , T 2 ,... die Oerter von A und B, und für einen derselben, 7’ 0 , der Ort P () von P gegeben, so findet man die Oerter von P für die übrigen, wenn man zuerst B () F=P n A ()) und, nachdem somit F bestimmt worden, A l P l =Fß i , A 2 P 2 =FB 2 , etc. macht. Ohne zu F zurückzugellen, kann man aus P 0 jeden der übrigen Oerter von P, wie I \, anch dadurch finden, dass man P n X = A () A L und XP 1 ~B l) B 1 macht, dass man also P^P-i aus A () A t und B t) B 1 zusammensetzt. In der That ist nach dieser Construction A L X = A () P t) ~ Fß () , zugleich aber XP t = B I) B I , folglich (§. 1. III.) A l P 1 =FB l , wie vorhin. Auf gleiche Weise lässt sich P 2 finden, indem man P 0 P 2 9 Von der Bewegung der Punkte. aus A„A 2 und B 0 B 2 , oder auch I\ P 2 aus A L A, und B l B 2 zusammensetzl; u. s. w. Die Lage von P gegen P () ist hiernach aus den gleichzeitigen Lagen von A gegen A 0 und von B gegen B tl stets vollkommen bestimmt, und es müssen daher alle Bewegungen von P, die man für verschiedene Annahmen von P () , mithin auch von F, erhält, also alle aus den Bewegungen von A und B zusammengesetzten Bewegungen, einander gleich sein. Zusätze, a. Nach der Formel AP = FB kann man die aus den Bewegungen von A und B zusammengesetzte Bewegung von P auch als diejenige erklären, bei welcher die Bewegung von P gegen den einen (A) der beiden Punkte A und B dieselbe ist, welche der andere ( B ) gegen einen festen Punkt F hat. Um sich dieses noch anschaulicher zu machen, stelle man sich vor, dass, während B seine Bewegung gegen F unverändert behält, dem F die Bewegung von A ertheilt wird; oder auch dass, während B in seiner ursprünglichen Bahn fortgeht, diese Bahn selbst in paralleler Lage so fort- geführt wird, dass einer ihrer Punkte, und damit auch alle übrigen, eine der Bewegung von A gleiche Bewegung erhalten. Denn dadurch wird B in eine aus seiner ursprünglichen und aus der Bewegung von A zusammengesetzte Bewegung gebracht. b. Sind die Bewegungen von A und P gegeben, so kann man daraus umgekehrt die Bewegung von B gegen einen beliebig wo angenommenen festen Punkt construiren. Yon beliebigen Bewegungen zweier Punkte A und P kann man daher immer die Bewegung des einen P als zusammengesetzt betrachten aus der des andern A und aus der von P gegen A, d. i. aus der Bewegung (von B ), welche P haben würde, wenn bei seiner Bewegung gegen A letzterer Punkt in Ruhe wäre. So ist z. B. die Bewegung des Mondes zusammengesetzt aus der Bewegung der Erde und aus seiner Bewegung gegen die Erde. §. 6 . Eben so, wie von zwei, können die Bewegungen auch von drei und mehrern Punkten A , B, C,... (Fig. 9.) zu- 10 Erster Abschnitt. Erstes Kapitel. sammengesetzt werden. Man beziehe nämlich den zweiten und die folgenden auf willkührliche feste Punkte F , G,... und lasse hierauf die Punkte P, Q,... sich so bewegen, dass P gegen A dieselbe Bewegung, wie B gegen F\ Q gegen P dieselbe, wie C gegen ff; u. s. w. hat. Denn damit ist die Bewegung von P aus denen von A und B, die Bewegung von Q aus denen von P und C, d. i. aus denen von A, B und C, u. s. w. zusammengesetzt. Dabei ist, wie vorhin, für je zwei Zeitpunkte T () und 7j die Linie P l) P l aus A n A , und B n B y , und so auch OoOi aus P t) P t und C„C X d. i. aus A 0 A 1} ß l) ß L und C () C, zusammengesetzt, u. s. w. Letztere Eigenschaft der zusammengesetzten Bewegung kann man auch geradezu als Definition derselben gebrauchen, und hiernach die Bewegung von X aus denen von A, B, C, ... zusammengesetzt nennen, wenn für je zwei Zeitpunkte die Lage des Orts des Punktes X in dem einen gegen seinen Ort in dem andern Zeitpunkte zusammengesetzt ist aus den Lagen, welche die Oerter der Punkte A, B, C, ... im erstem Zeitpunkte resp. gegen die Oerter derselben im letztem haben. Will man nach dieser Definition die Bewegung von X construiren, so bleibt der Ort von X für einen gewissen Zeitpunkt der Willkühr überlassen; die Oerter von X für alle andern Zeitpunkte sind damit vollkommen bestimmt, und alle bei verschiedener Annahme jenes willkührlichen Orts sich ergebenden Bewegungen sind einander gleich. Auch giebt diese Definition noch zu erkennen, dass eben so, wie bei mehrern geraden Linien (§. 2.), so auch bei mehreru Bewegungen die Ordnung, in welcher man sie nach und nach zusammensetzt, ganz willkührlich ist, Da endlich nach §. 5. b. die Bewegung von P aus der von A und aus der von P gegen A, und eben so die von Q aus der von P und aus der von Q gegen P zusammengesetzt ist, so ist es auch die Bewegung von Q aus der von A und aus denen von P gegen A und von Q gegen P, und ähnlicherweise bei noch mehrern Bewegungen, welches auch dieselben sein mögen. 11 Von der Bewegung der Punkte. §. 7. Die Bewegung eines Punktes P in zwei oder mehrere Bewegungen zerlegen, heisst Bewegungen von Punkten A, ß, C, ... finden, durch deren Zusammensetzung die Bewegung von P wieder hervorgeht, Aus den Oertern ß„, ..., welche A, ß, ... in irgend einem Zeitpunkte T (j einnehmen, müssen hiernach die Oerler A n B,,... für irgend einen andern Zeitpunkt 7j so bestimmt werden, dass die Linien B 0 B n ..., zusammengesetzt, die Linie P () /- , 1 geben (vor. §.), d. h. man muss P () P L in A 0 A l} B (> B t , ... zerlegen (§. 3.). Die Aufgabe der Zerlegung einer gegebenen Bewegung wird daher eben so, wie die Aufgabe für die Zerlegung einer geraden Linie, im Allgemeinen unbestimmt sein, und durch Beifügung derselben Bedingungen, unter denen die letztere Aufgabe in eine bestimmte überging, wird auch die erstere eine solche werden. Hiernach kann erstens eine in einer Ebene enthaltene Bewegung des Punktes P immer und nur auf eiue Weise in zwei geradlinige Bewegungen zerlegt werden, deren Bichtungen a und b in derselben Ebene enthalten und nicht mit einander parallel sind. — In der That, sind A und B die Projectionen von P auf a und b durch Parallelen mit b und «, so sind mit der Bewegung von P auch die von A und B gegeben; und da hierbei für je zwei Zeitpunkte 7|,, 7^ die Linie aus A () A l und B 0 B L zusammengesetzt ist (§. 3. Zus.), so sind die Bewegungen von A und B die gesuchten. Eben so wird ferner die Bewegung eines Punktes im Raume überhaupt in zwei zerlegt, von denen die eine in einer Ebene e, die andere in einer mit s nicht parallelen Geraden c geschieht, oder in drei Bewegungen, welche in drei sich in einem Punkte schneidenden und nicht in einer Ebene liegenden Geraden a, b, c vor sich gehen, wenn man den Punkt auf die in §. 3. Zus. besagte Art im erstem Falle auf e und c , im letztem auf a, b und c projicirt. Denn wie vorhin werden auch liier diese Projectionen die gesuchten und nur auf eine Weise bestimmbaren Bewegungen haben. 13 Erster Abschnitt. Erstes Kapitel. Von der Geschwindigkeit. §• 8 . Die Bewegung eines Punktes wird gleichförmig genannt, wenn je zwei Theile des von ihm beschriebenen Weges sich wie die Zeiten verhalten, in denen sie beschrieben worden. Wenn zwei sich gleichförmig bewegende Punkte A und B in derselben Zeit gleich lange Wege durchlaufen, so sagt man, dass sie sich mit gleicher Geschwindigkeit bewegen. Ist aber der von A durchlaufene Weg das m fache des Wegs, den B in derselben Zeit zurücklegt, so sagt man, dass A eine »mal so grosse Geschwindigkeit, als B, habe, und versteht hiernach unter dem Verhältnisse der Geschwindigkeiten der beiden Punkte das Verhältniss der von ihnen in derselben Zeit beschriebenen Wege. Indem man daher einer gewissen gleichförmigen Bewegung eine Geschwindigkeit = 1 beilegt, kann man die Geschwindigkeit jeder andern gleichförmigen Bewegung durch eine Zahl ausdrücken. Man pflegt aber, nach Festsetzung der Maasseinheiten für Zeit und Baum, diejenige Geschwindigkeit = 1 zu setzen, mit welcher in jeder Zeillänge = 1 ein Weg = 1 beschrieben wird. Ein Punkt, der in jeder Zeiteinheit einen Weg == c beschreibt, hat hiernach eine Geschwindigkeit = c, und legt in jeder Zeit = t einen Weg s = ct zurück; woraus noch folgt, dass die Geschwindigkeit c eines sich gleichförmig bewegenden Punktes erhalten wird, wenn man die Zahl s, welche irgend einen vom Punkte beschriebenen Weg ausdrückt, durch die Zahl t dividirt, welche die Zeit ausdrückt, in der dieser Raum beschrieben worden. Da die Geschwindigkeit und der in der Zeiteinheit beschriebene Weg durch einerlei Zahl ausgedrückt werden, so pflegt man die Geschwindigkeit auch geradezu durch die Länge dieses Wegs, also durch eine benannte Zahl, anzugeben, z. B. eine Geschwindigkeit von 30 Fuss, von 4 Meilen, u. s. w. 13 Von der Bewegung der Punkte. §. 9. Die einfachste unter allen Bewegungen ist die gleichförmige und geradlinige. Sind die Oerter A„ und A 1 gegeben, -welche ein sich auf solche Weise bewegender Punkt A in den Zeitpunkten 7J, und 1\ cinnimmt, so kann man damit seinen Ort A 2 für jeden dritten Zeitpunkt T 2 finden. Denn es liegt A 2 mit A„ und A L in gerader Linie, und es verhält sich A n A L : A, A 2 —■ T () 1\ : 7j 7' 2 (wo 7J, 7j die von den Zeitpunkten 7’ 0 und 7) begrenzte Zeitlänge bedeutet). Beides zugleich wird durch die Formel T l T 2 ,A () A 1 = T () T 1 .A l A 2 dargestellt, welche daher der charakteristische Ausdruck für die geradlinige und gleichförmige Bewegung des Punktes A ist, so bald darin die 3 Zeitpunkte T () , 1\ und T 2 ganz beliebig angenommen werden können. Im Folgenden wollen wir in den Begriff der Geschwindigkeit eines sich geradlinig und gleichförmig bewegenden Punktes, ausser ihrer Grösse, stets noch die Richtung mit aufnehmen, nach welcher sich der Punkt bewegt, und daher die Geschwindigkeit durch eine gerade Linie ausdrücken, welche die Richtung der Bewegung hat, und deren Länge dem in der Zeiteinheit beschriebenen Wege gleich ist. Hiernach werden wir eine Geschwindigkeit aus zwei oder mehrern andern Geschwindigkeiten zusammengesetzt nennen, wenn die Linie, welche die erstere ausdrückt, aus den die letztem ausdrückenden Linien zusammengesetzt ist. §• 10 . Ist die Bewegung eines Punktes A nicht gleichförmig, oder nicht geradlinig, oder keines von beiden, so kann man doch immer die Zeit in so kleine Theile getheilt annehmen, dass die Bewegung während jedes dieser Theilchen oder Zeitelemente, wie man sie nennt, einzeln als geradlinig und gleichförmig betrachtet werden kann; und man wird daher unter der Geschwindigkeit des Punktes A zur Zeit T () diejenige zu verstehen haben, mit welcher er in dem auf T„ nächstfolgenden oder in dem nächstvorhergehenden Zeit- 14 Erster Abschnitt. Erstes Kapitel. elemente geradlinig und gleichförmig fortgeht. Ist also l' (l T L solch ein Zeitelement, so ist A 0 A ± die Richtung der Geschwindigkeit von A zur Zeit T () , und ihre Grösse = ’fj’ (§. 8.), oder auch = m.. A„A t , wenn m die (unendlich grosse) Anzahl der in der Zeiteinheit enthaltenen und dem T () 7j gleichen Elemente bedeutet. Mil andern Worten und schärfer: Je näher einem bestimmten Zeitpunkte T n ein anderer 7 X genommen wird, und je näher damit der Ort A l dem A () zu liegen kommt, desto mehr und über alle Grenzen hinaus nähert sich der Quo- lient tAit einem bestimmten Werlhe und die Gerade A ( >A, i () ii w 1 einer bestimmten Richtung. Es sind dies die Grösse und die Richtung der Geschwindigkeit des Punktes A zur Zeit T„. — Zugleich sieht man daraus, dass die Richtung der Geschwindigkeit einerlei mit der Richtung der in A„ an die Bahn von A gelegten geradlinigen Tangente ist. Um die Bestimmung der Grösse der Geschwindigkeit durch ein Beispiel zu erläutern, wollen wir eine geradlinige Bewegung betrachten, bei welcher der yon einem gewissen Zeitpnnkle 0 bis zu irgend einem andern 7' (J zurückgelegle Weg s stets dem Quadrate der seil 0 verflossenen Zeit 0T n , welche t heisse, proportional ist, also s = at 2 , wo daher a den Weg bezeichnet, der in der ersten auf 0 folgenden Zeiteinheit beschrieben wird. Setzen wir nun zur Abkürzung den Zeitraum 7 0 7j =^r, so ist der während 01\ oder t + t beschriebene Weg = a (t + t) 2 , folglich der während T u ’l\ oder r beschriebene A 0 A J = ß(/ + r) 2 — nt 2 = 2atr + «r 3 . Die Division desselben durch t giebt 2at + «r, als die Geschwindigkeit des Punktes, wenn er den Weg A (> A t während r gleichförmig beschrieben hätte. Ihr Werth nähert sich desto mehr dem 2 at, je kleiner der Zeittheil % genommen wird, und geht für ein unendlich kleines oder verschwindendes r in 2 at selbst über, welches daher die Geschwindigkeit im Zeitpunkte 7|, ist. Sie ist hiernach der seit 0 verflossenen Zeit proportional, also in 0 selbst = 0, und am Ende der ersten Zeiteinheit 15 Von «lcr Bewegung der Punkte. nach &, = 2a, d. h. doppelt so gross, als der während derselben beschriebene Weg. Man nennt eine solche Bewegung, bei welcher die Geschwindigkeit im Verhältnisse der Zeit, also in gleichen Zeiten um gleichviel (in jeder Zeiteinheit um 2a) zunimml, eine gleichförmig beschleunigte Bewegung. Jeder frei fallende Körper zeigt eine solche. Seine Geschwindigkeit am Ende der ersten Secunde nach dem Anfänge des Falls ist =-- 30 paris. Fuss (nahe wenigstens*)), am Ende der zweiten =- 60 Fuss, am Ende der dritten = 90 Fuss, etc. Der Fallraum aber in der ersten Secunde beträgt ^ . 30 ^ 15 Fuss, der Fallraum in den zwei ersten Secunden 2.2.15 - 60 Fass, in den drei ersten 3.3.15 — 135 Fuss, u. s. w. Zusatz. Auf ganz ähnliche Weise, nach welcher wir bei der durch die Formel s -- at 3 dargestellten Bewegung verfuhren, lässt sich auch in jedem andern Falle die Geschwindigkeit finden, wenn das Stück s der von einem Punkte A beschriebenen Bahn, welches sich von einem beliebig darin gewählten Anfangspunkte bis zu dem Orte erstreckt, wo sich A am Ende der Zeit t befindet, als eine analytische Function von t gegeben ist. Die einfachste Function von t ist a -f bt. Setzen wir s — a + bt, so wächst s um br, wenn tumr zunimmt, Die Geschwindigkeit ist daher ---= b , also constant; die andere (konstante a ist der Werth von s für t = 0. Bei der zusammengesetzteren, durch s a -f bt -f ct 2 ausgedrückten, Bewegung ist das Wachslhum von s während des auf t folgenden r, = bt + 2c/r -f cr 2 = (b + 2c£-f er) r, mithin die Geschwindigkeit = dem Grenzwerthe von b-\-2ct + er für ein verschwindendes r, d. i. = b -f- 2 ct. Hier nimmt also die Geschwindigkeit der Zeit proportional zu, in jeder *) Genauer ist diese Geschwindigkeit im luftleeren Raume unter dem Aequator = 30,108, unter den Polen = 30,264 paris. Fuss. Allgemeine Uebersicht des Sonnensystems in Scliu- macher’s Jahrbuch für 1837, Seite 97. Aus diesem Aufsatze Hansen’s sind auch die meisten der später folgenden numerischen Angaben genommen. 16 Erster Abschnitt. Erstes Kapitel. Zeiteinheit um 2c, wie oben; ihr Werth für t = 0 ist — ft, und die Constante a ist der Werth von s zu derselben Zeit. Eben so findet sich für s = a -f- bt -f- ct 2 -f- dt 3 die Geschwindigkeit = ft -f- 2ct + 3 dt 2 ; u. s. w. Anmerkung. Wie man leicht im Voraus übersieht, muss sich die Form s = a 4- bt + ct 2 auf die einfachere s l = d i 2 reduciren lassen, wo ^ und t l gleichfalls den Raum und die Zeit, nur von andern Punkten angefangen, bedeuten; t L nämlich von dem Zeitpunkte, wo die Geschwindigkeit, = ft + 2ct, null ist, und von dem Punkte des Raums, wo sich der bewegende Punkt für l L = 0 befindet. In der That gellt die erstere Form in die letztere über, wenn man s — s . + a — und t - t. — setzt. 1 4c 1 2c §. 11 . Nicht bloss bei der Rewegung eines Punktes, sondern überhaupt bei jeder mit der Zeit sich ändernden und daher als Function von t darstellbaren Grösse x kann nach der Geschwindigkeit ihrer Aenderung gefragt werden. Aendert sich x gleichförmig, d. h. in gleichen Zeiten um gleichviel, so wird man unter der Geschwindigkeit von x die Aenderung in der Zeiteinheit zu verstehen haben und ihren constanten Werth finden, wenn man die irgend einem Zeiträume 7' 0 T { , = dt, zugehörige Aenderung von x, = dx, durch dt di- vidirt. Aendert sich x ungleichförmig, so hat dieser Quotient nach verschiedener Annahme der Zeitpunkte T„ und 1\ verschiedene Werthe. Er wird sich aber, wenn man T 0 unverändert behält und I L dem T () immer näher, also dt immer kleiner annimmt, immer mehr einem von dt unabhängigen Grenzwerlhe nähern, und dieser als die Geschwindigkeit zur Zeit r 0 zu betrachten seyn. Redeuten x, y, z, ... die Werthe mehrerer veränderlichen Grössen zur Zeit t, und x', y, z, . .. die gleichzeitigen Werthe ihrer Geschwindigkeiten. Sind nun x, y, z, . . . durch eine für jeden Werth von t bestehende algebraische Gleichung mit einander verbunden, so kann daraus stets ohne 17 Von iler Bewegung der Punkte. Schwierigkeit eine Gleichung zwischen x', y', z',... hergeleitet werden. Seyen zu dem Ende Ax, Ay, ... die Incremente von x, y, .. . wenn t um At wächst. Die gegebene Gleichung wird daher noch bestehen, wenn man darin für x, y, ... resp. x + Ax, y + Ay , ... setzt und damit von der Zeit t zur Zeit t + At übergeht. Von der solchergestalt geänderten Gleichung ziehe man die ursprüngliche ab und dividire die restirende durch At. Indem man nun das Incremenl At über alle Grenzen klein werdend annimmt und deshalb alle mit dieser Annahme verschwindenden Glieder weglässt und für ... resp. x', ij, ... schreibt, hat man die Gleichung zwischen den Geschwindigkeiten gefunden. Beispiele. Sei zwischen x,y,z,... die Gleichung (1) z = a + bx + cy + ... gegeben. Hieraus lolgen der Reihe nach die Gleichungen z + Az = a + b (x + Ax) + c(y + Ay) -f ..., Az = bAx + cAy + •••, also zuletzt (1*) ... z == bx + cy + ... Eben so findet sich aus der Gleichung (2) z = xy, nachdem man die gedachten Operationen vorgenommen hat: — 4-— Av dt ^ Jt ' y Al 'dt Lässt man nun At unendlich klein werden, so verschwindet das letzte Glied gegen die übrigen, und es kommt: (2*) z = xy' + yx; oder, wie wir dieses Resultat noch ausdrücken können: Sind x' und y die Geschwindigkeiten, mit denen sich x und y ändern, oder kurz die Geschwindigkeiten von x und ?/, so ist xy' + yx die Geschwindigkeit des Products xy. Setzt man in (2) y = x, so wird z = x 2 und (2*) geht über in z' = 2xx, d. h. 2xx ist die Geschwindigkeit von x' 1 . Ist i=-xy die vorgegebene Gleichung, also das vorige z constant, =1, so wird z'■= 0, mithin xy' + yx = 0 Moebius, Blech, d. lliimn. 2 !8 Erster Abschnitt. Erstes Kapitel. und y — — — == — ^, wegen y = -; d. h. — % ist die Geschwindigkeil von Die weitere Entwickelung dieses Gegenstandes gehört, wie die meisten meiner Leser schon wissen werden, in das Gebiet der Differentialrechnung. Newton, welcher diese Wissenschaft ähulichcrweise, wie liier, auf die Begriffe von Zeit und Bewegung gründete, nannte die Function von /, welche die Geschwindigkeit einer andern Function von t ausdrückt, die Fluxion der andern; die neueren Geometer nennen sie schlechthin die ans der andern abgeleitete Function. §• 12 . Lehrsatz. Ist die Bewegung eines Punktes P aus den Bewegungen mehrerer anderer Punkte A, B, ... zusammengesetzt, so ist auch in jedem Zeitpunkte T n die Geschwindigkeit von P aus den Geschwindigkeiten von A, B, ... zusammengesetzt. Beweis. Nach §. 6. ist die gerade Linie P^Py aus den geraden A () A 1 , B t) B L , ..., folglich auch m . P () P L aus 7 ii.A ll A 1 , ni.B l) B l , ... (§. 2. e.) zusammengesetzt. Es ist aber, wenn T () T L als Zeilelement genommen wird, und m, wie in §. 10., die Anzahl der in der Zeiteinheit enthaltenen Elemente bedeutet, m.A l) A 1 = der Geschwindigkeit von A zur Zeit T ln m.B„B 1 = der Geschwindigkeit von B zu derselben Zeit, etc.; folglich u. s. w. Folgerungen, a. Wenn die Geschwindigkeiten von A, B, ... im Verlauf der Zeit weder ihre Richtung noch ihre Grösse ändern, so wird auch die Geschwindigkeit von P eine constante Richtung und Grösse haben, d. h.: Bewegen sich mehrere Punkte geradlinig und gleichförmig , so ist auch die aus ihnen zusammengesetzte Bewegung geradlinig und gleichförmig. b. Wird eine in einer Ebene vor sich gehende Bewegung nach zw r ei in der Ebene sich schneidenden Geraden a und b zerlegt, so finden sich die Geschwindigkeiten der Bewegungen in a und b, w r enn man die Geschwindigkeit der erstem Be- 19 Von der Bewegung der Punkte. wegung nach denselben Geraden zerlegt. — Denn nach dem obigen Satze müssen die Geschwindigkeiten der zwei durch Zerlegung erhaltenen Bewegungen, wenn sie zusammengesetzt werden, die Geschwindigkeit der ursprünglichen Bewegung wieder geben. Letztere Geschwindigkeit muss folglich in die zwei erstem zerlegt werden können. Eine gerade Linie in der Ebene, und folglich auch die durch sie ausgedrückte Geschwindigkeit, kann aber nach den zwei Geraden a und b der Ebene nur auf eine Weise zerlegt werden (§. 3.). Eben so zeigt sich, dass auch bei Zerlegung einer Bewegung nach einer Ebene und einer sie schneidenden Geraden, oder nach drei sich in einem Punkte schneidenden und nicht in einer Ebene liegenden Geraden, die Geschwindigkeiten der somit entstehenden Bewegungen gefunden werden, wenn man die Geschwindigkeit der gegebenen Bewegung nach derselben Ebene und Geraden, oder nach denselben drei Geraden zerlegt. c. Da die Zerlegung einer Bewegung sowohl, als einer geraden Linie, in jedem der gedachten drei Falle durch Pro- jection bewerkstelligt werden kann (§§. 3 und 7.), so lässt sich die eben gemachte Folgerung auch also aussprechen: Wird eine Bewegung auf eine Gerade oder eine Ebene pro- jicirt, so findet sich die Geschwindigkeit der projicirten Bewegung, wenn man die Geschwindigkeit der ursprünglichen Bewegung auf dieselbe Gerade oder Ebene projicirt; oder kurz: die Geschwindigkeit der projicirten Bewegung ist der Projec- tion der Geschwindigkeit der ursprünglichen Bewegung gleich. Dasselbe erhellet unmittelbar und noch einfacher folgendergestalt: Ist der Punkt A die Projection des Punktes P, so ist auch für je zwei Zeitpunkte 7 1 ,, und T n A„A 1 von P () P l und m . A () A l von m . P U P 1 die Projection. Es sind aber letztere Linien, wenn T (t T L als Zeitelemcnl und m in der obigen Bedeutung genommen wird, = den Geschwindigkeiten von A und P zur Zeit folglich u. s. w. §• 13. Lehrsatz. Wenn von zwei sich bewegenden Punkten A und B die Geschwindigkeiten (sowohl der Richtung } 2 * SO Erster Abschnitt. Erstes Kapitel. als der Grösse nach (§. 9 .)) stets einander gleich sind, so sind die Bewegungen selbst einander gleich. Beweis. Seien T L T 21 ... mehrere auf einander folgende Zeiteleinenle, so sind die Geschwindigkeiten von A und B während des ersten = ^£1 nn( j Da diese J O l l I () -*1 einander gleich und gleichgerichtet sein sollen, so müssen A t) A 1 und B 0 B 1 selbst einander gleich sein und einerlei Richtung haben, also A 0 A L = B t) B L , folglich A tj B () ~ A 1 B 1 . Eben so wird bewiesen, dass A 1 B 1 =A,ß., J u. s. w. Die Linie AB bleibt sich daher stets gleich und parallel, und die Bewegungen von A und B sind folglich einander gleich (§.4.). Folgerung. Haben zwei Punkte stets einander gleiche Geschwindigkeiten und fallen sie in irgend einem Zeitpunkte zusammen, so werden sie dies auch in jedem andern (ebds.). Beispiel. Bewege sich A in einer Geraden nach dem Gesetz, dass (1) ... s — a + bt + et 2 . Der Punkt B bewege sich in derselben Geraden und sei für f = 0 vom Anfangspunkte der Geraden um a entfernt; seine Geschwindigkeit in demselben Zeitpunkte sei = b und wachse in jeder Zeiteinheit um 2c. Nach dem, was über die durch (1) ausgedrückte Bewegung in §. 10. gesagt worden, fallen daher A und B für t = 0 zusammen, haben für t ~ 0 gleiche Geschwindigkeiten, und so auch zu jeder andern Zeit, weil auch die Geschwindigkeit von A in jeder Zeiteinheit um 2c wächst. Die Bewegungen von A und B sind mithin identisch, und wir folgern hieraus umgekehrt: Bewegt sich ein Punkt in einer Geraden so, dass er für t = 0 vom Anfangspunkte der Geraden um a entfernt ist und eine Geschwindigkeit — b hat, und dass letztere in jeder Zeiteinheit um 2c wächst, so ist seine Entfernung vom Anfangspunkte zur Zeit t, = a + bt + ct 2 . §. 14. Nach der geradlinigen und gleichförmigen Bewegung sind die einfachsten Bewegungen die geradlinige, bei welcher sich die Grösse der Geschwindigkeit proportional der Zeit ändert, und die gleichförmige, bei welcher sich die Richtung 21 Von der Bewegung der Punkte. der Geschwindigkeit proportional der Zeit, in gleichen Zeilen um gleiche Winkel, ändert. Erslere Bewegung haben wir bereits in §§. 10. und 13. betrachtet; letztere, oder die gleichförmige Kreisbewegung, soll uns zur Erläuterung dessen, was in §. 12. über die Projection einer Bewegung gesagt worden, dienen. Bewege sich demnach P (Fig. 10.) um den festen Punkt 0 in einem Kreise, dessen Halbmesser OP=a, von der Rechten nach der Linken mit der constanten Geschwindigkeit c. Ist die Umlaufszeit im Kreise, =217, gegeben, so findet sich c — wo n die Ludolph’sche Zahl bezeichnet. Man projicire nun diese Bewegung rechtwinklig auf einen Durchmesser MN des Kreises und nenne A den Punkt, welcher die projicirte Bewegung hat. A ist hiernach der Fusspunkt des von P auf MN gefällten Perpendikels, bewegt sich zwischen M und IV hin und her und gebrauciit zu jedem Hin- oder Hergange die halbe Umlaufszeit U. Die Richtung, nach welcher sich P bewegt, ist die Richtung der an den Kreis in P nach der Linken hin gezogenen (auf OP perpendikulären) Tangente. Setzt man daher nach derselben Seile hin eine Linie OII—c perpendikulär auf OP und fällt von H auf MN das Perpendikel HF, so wird durch OH die Geschwindigkeit von P ihrer Grösse und Richtung nach dargestellt, durch ÖFaber, als die Projection von OH auf MN, die Geschwindigkeit von A. Weil die Dreiecke OPA und IWF gleichwinklig sind, so verhält sich AP : OF = OP :OII—a:c. Die Geschwindigkeit von A ist hiernach = AP.c:a, also dem Perpendikel AP proportional, und daher null, wenn A in M oder in N ist, am grössten aber, = c, wenn A auf der Mitte 0 seines Wegs ist. Die Bewegung und die Geschwindigkeit von A lassen sich auch leicht durch trigonometrische Functionen aus- drücken. Zu dem Ende W'erde die Zahl c -, = jj, kurz mit n bezeichnet. Sie ist der in Theilen des Halbmessers ausgedrückte Bogen, um welchen P in der Zeiteinheit fortgeht. Nimmt man daher den Winkel (= 57° 17' 44", 8 = 206264", 8), 22 Erster Abschnitt. Erstes Kapitel. der von einem dem Halbmesser gleichen Bogen gemessen wird, zur Maasseinheit der Winkel, so bedeutet dieselbe Zahl n auch den Winkel, um welchen sich der Halbmesser OP in der Zeiteinheit dreht, und wird deshalb die Winkelgeschwindigkeit von V genannt. Indem man nun alle Winkel von der Rechten nach der Linken rechnet, sei « der Winkel, den der sich drehende Halbmesser OP mit dem festen OM zur Zeit t = 0 macht; am Ende von t ist daher dieser Winkel = a + nt, und zu eben der Zeit OA= OP. cos MOP = a cos (a + nt) und OF = Oll cos 31011, oder, weil OH — c = na und 31011 = 3lOP-\- POII — a + nt-\- 90° ist, OF = — na sin (« 4- nt). Wenn man daher für die Zeit t den Werth von OA — x und die Geschwindigkeit von A, = x setzt und die Richtung von N nach 31 für die positive nimmt, so hat man die Formeln: I. x = a cos ( a + nt) und x — — na sin (a -f- nt), wodurch sich für jeden Zeitpunkt der Ort des Punktes A und seine Geschwindigkeit bestimmen lassen. Je nachdem sich dabei die Werthe von x und x positiv oder negativ linden, sind die Richtung OA und die der Geschwindigkeit von A mit der Richtung NM einerlei oder ihr entgegengesetzt. Projicirt man gleicherweise die Bewegung von P auf den Durchmesser IIS, welcher den vorigen 31N rechtwinklig schneidet, und fällt deshalb vou P und II auf RS die Perpendikel PB und HG, so ist B der Punkt, welcher die pro- jicirte Bewegung hat, und OG seine Geschwindigkeit. Nimmt man ferner diejenige Richtung des neuen Durchmessers, welche mit N31 einen Winkel von 90", nicht von 270", macht, also die Richtung SB, für die positive, so ist OB - OP cos POB und OG - OH cos BOII, oder, weil POII 90" — MOP und BOII = 3I0P ■■■— « + nt ist, und wenn man, auf analoge Weise mit dem Vorigen, OB = y und OG - y setzt: II. y = a sin (a + nt) und y — na cos (a + nt), Formeln, welche in die vorigen übergehen, wenn man y und y in x und x verwandelt und « um 90" wachsen lässt.- Von der Bewegung der Punkte. 33 Man bemerke nur noch, dass durch die zwei rechtwinkligen Projeclionen der Bewegung von P auf zwei sich rechtwinklig schneidende Gerade sie zugleich nach diesen zwei Geraden zerlegt worden ist. Zusatz. Ganz ähnliche Formeln finden statt, wenn P sicli im Kreise nicht gleichförmig bewegt. Ist überhaupt l die Function von t , welche den Werth des Winkels MOP am Ende der Zeit t angiebt, und ( die Geschwindigkeit dieser Function (§. 11.), so ist zu eben der Zeit der Bogen MP — al , also die Geschwindigkeit, mit der er sich ändert, oder die Geschwindigkeit von P, — at, und die in P an den Kreis gezogene Tangente ist ihre Richtung. Macht man daher, wie vorhin, 011 parallel mit dieser Richtung und = al ', und projicirt P sowohl als H rechtwinklig auf MN und US, so sind OF und OG die Geschwindigkeiten von Ä und B, und man erhält für die Bewegung dieser Punkte, wenn man wiederum OA = x und OB = y und ihre Geschwindigkeiten = x und y' setzt: x = a cos l, x' = — aX sin l , y = a sin l, y = at cos l. Ziehen wir hieraus noch den Schluss, dass überhaupt, wenn l eine veränderliche Zahl und t ihre Geschwindigkeit bezeichnet, die Geschwindigkeiten der trigonometrischen Functionen cos l und sin l resp. = — t sin l und ( cos l sind, — zwei Resultate, von denen das eine in das andere übergeht, wenn man l in 90° — l und damit t in — t verwandelt. 24 Erster Abschnitt. Zweites Kapitel. Zweites Kapitel. Von den Wirkungen der Kräfte. §• 15 . Unsere bisher rein mathematischen Untersuchungen über die Bewegung wollen wir jetzt auf die uns umgebende Körperwelt anwenden und statt der sich bewegenden mathematischen Punkte die Bewegung physischer Körper in Betrachtung ziehen, die wir aber, vor der Hand wenigstens, gleichfalls nur als Punkte, oder doch so klein annehmen wollen, dass ihre Dimensionen ganz ausser Acht gelassen werden können. Hier tritt uns nun sogleich die der reinen Mathematik fremde Relation zwischen Ursache und Wirkung entgegen. Es ist nämlich nicht möglich, dass ein physischer Körper, welcher in Ruhe ist, ohne äussere Ursache sich zu bewegen anfängt, und eben so wenig, dass ein sich bewegender Körper ohne äussere Ursache die Richtung und Geschwindigkeit seiner Bewegung ändert. Ohne eine fremde Einwirkung wird ein ruhender Körper fortwährend in Ruhe bleiben, und ein sich bewegender ohne Aufhören in gerader Linie mit unveränderter Geschwindigkeit fortgehen. Diese allgemeine Eigenschaft der Körper, der zufolge sie ihren Zustand, er bestehe in Ruhe oder Bewegung, nicht selbstlhätig zu ändern im Stande sind, wird die Trägheit der Körper genannt. Welches die den Zustand der Körper ändernden Ursachen sind, untersuchen wir hier nicht näher, sondern ziehen bloss die Wirkungen derselben in Betracht und legen uns daher Fragen von etwa folgender Art zur Beantwortung vor: Es sind zwei oder mehrere Bewegungen gegeben; welches wird die Bewegung eines Körpers sein, wenn die Ursachen, welche einzeln ihm die gegebenen Bewegungen miltheilen, gleichzeitig auf ihn einwirken? — Oder: ein Körper, der sich bisher geradlinig und gleichförmig bewegte, ändert nirit^hvh .«Aino Richtung und seine Geschwindigkeit; Von den Wirkungen der Kräfte. 23 mich welcher Richtung und mit welcher Geschwindigkeit wird er sich bewegen, wenn die Ursache, welche jene Aen- derung hervorbrachte, auf denselben in Ruhe sich befindenden, oder sich irgendwie anders bewegenden, Körper wirkt? Es leuchtet ein, dass die Lösung dieser und ähnliche^ Aufgaben olme die Zuhiilfenahme eines neuen Grundsatzes nicht möglich ist, eines Grundsatzes, der aus der Erfahrung geschöpft ist und die Lösung der einfachsten unter diesen Aufgaben in sich scbliesst. Die Entwickelung dieses Grundsatzes und seiner unmittelbaren Folgen wird der Gegenstand der nächsten §§. sein. §. 10 . Die Ursache, welche einen ruhenden Körper in Re- wegung setzt und die Richtung und Geschwindigkeit eines sich bewegenden zu ändern vermag, nennt man Kraft. Die Richtung, nacli welcher ein vorher ruhender Körper, durch eine Kraft getrieben, sich zu bewegen anfängt, heisst die Richtung der Kraft. Zwei Kräfte heissen einander gleich, wenn sie, nach entgegengesetzten Richtungen auf einen Körper wirkend, mit einander im Gleichgewichte sind. Von zwei Kräften nennt man die eine das «fache der andern, wenn « der andern gleiche und nach einerlei Richtung auf einen Körper wirkende Kräfte der erstem Kraft, wenn diese nach entgegengesetzter Richtung am Körper angebracht wird, das Gleichgewicht halten. Hiernach kann man das Yerhällniss zwischen Kräften immer durch Zahlen, so nahe als man will, ausdrücken; denn man wird von zwei Kräften sagen, dass sie sich wie die Zahlen in und « verhalten, wenn es eine dritte Kraft giebt, von welcher die eine jener beiden das »«fache, die andere das «fache ist. Kräfte können daher sehr passend auch durch gerade Linien ausgedrückt werden, welche die Richtungen der Kräfte haben, und deren Längen den Zahlen- werthen der Kräfte proportional sind. Eine Kraft wird man hiernach aus zwei oder mehrern andern Kräften zusammengesetzt nennen, wenn die Linie, welche die erstere aus- 2(> Erster Abschnitt. Zweites Kapitel. drückt, aus den die letztem darstellenden Linien zusammengesetzt ist. Dieses vorausgeschickt, zeigt nun die Statik, dass, wenn Kräfte in beliebiger Anzahl sich an einem Körper A das Gleichgewicht halten, man, ohne das Gleichgewicht aufzuheben, statt zweier oder mehrerer derselben die aus ihnen zusammengesetzte substiluiren kann; — also statt zweier Kräfte, welche nach einerlei, oder entgegengesetzter Richtung wirken, eine Kraft, welche im erstem Falle der Summe, im letztem der Differenz jener zwei Kräfte gleich ist und die Richtung der grösseren hat. Machen aber zwei der auf A wirkenden Kräfte, AB und AC (Fig. 11.), einen Winkel mit einander, so ergänze man denselben zu einem Parallelogramm BACD , und es wird die aus A zu ziehende Diagonale AD des letztem die statt AB und AC zu setzende Kraft darstellen. Denn es ist AD aus AB und BD, folglich auch, weil BD = AC, aus AB und AC zusammengesetzt. — Noch folgt hieraus, dass eine Kraft AE, welche mit AB und AC das Gleichgewicht halten soll, der AD gleich und entgegengesetzt sein muss; und überhaupt: Sollen mehrere auf einen Körper wirkende Kräfte sich das Gleichgewicht halten, so muss jede derselben der aus den jedesmal übrigen zusammengesetzten gleich und entgegengesetzt sein, oder, was dasselbe ist, die Zusammensetzung aller Kräfte muss Null geben. Sind mehrere auf einen Körper A wirkende Kräfte nicht im Gleichgewichte, sondern bewegen sie ihn, und sind AB, AC irgend zwei derselben, so füge man noch die aus letztem zwei zusammengesetzte Kraft AD und die dieser gleiche und entgegengesetzte AE hinzu. Weil AD und AE für sich im Gleichgewichte sind, so wird durch diese Hinzufügung die Bewegung von A nicht geändert. Eben so wenig aber wird dieses geschehen, wenn man AB, AC und AE, als drei für sich im Gleichgewichte stehende Kräfte, entfernt, so dass AD anstatt der anfänglichen AB und AC zurückbleibt. Sowie vorhin das Gleichgewicht, bleibt daher auch die von mehrern Kräften hervorgebrachte Bewegung eines Körpers ungeändert, wenn man statt zweier, oder statt dreier, etc. Von den Wirkungen der Kräfte. 27 oder auch statt aller, die aus ihnen zusammengesetzte Kraft substituirt. S- 17- Jede Kraft wirkt auf einen Körper längere oder kürzere Zeit ununterbrochen fort. Zur Erleichterung der Untersuchung wollen wir uns aber fürs Erste jede Kraft nur augenblicklich oder stossweise wirkend denken. Ein vorher ruhender Körper wird daher von dem Zeitpunkte an, in welchem er einen solchen Stoss empfängt, nach der Richtung desselben mit einer von dessen Stärke abhängenden constanten Geschwindigkeit forlgehen, und dieses so lange, bis ein anderer Stoss seine Bewegung ändert, oder ganz aufhebt. Ob nun die einem Körper durch einen Stoss ertheilte Geschwindigkeit dem Stosse geradezu proportional ist, so dass z. B. ein Stoss, doppelt so gross als ein anderer, oder zwei dem andern gleiche und nach einerlei Richtung erfolgende Stösse, eine doppelt so grosse Geschwindigkeit als der andere hervorbringen, oder ob die Geschwindigkeit nach irgend einem andern weniger einfachen Gesetze von der Stärke des Stosses abhängt, darüber können wir nicht a priori, sondern erst durch Erfahrung entscheiden. Diese aber stimmt in der That mit allen Resultaten überein, welche sich theoretisch unter Annahme jenes einfachsten Verhältnisses zwischen Stoss und Geschwindigkeit ergeben. Wir stellen daher, als wahres Naturgesetz, und zugleich als das nach §. 15. noch nöthige Axiom, den Salz auf: Die von verschiedenen Kräften einem Körper ertheilten Geschwindigkeiten sind den Kräften selbst proportional. §■ 18. Folgerungen, a. Empfängt ein ruhender Körper gleichzeitig mehrere Stösse a , b, c, ..., sei es nach einerlei oder verschiedenen Richtungen, so ist die Geschwindigkeit, mit welcher er sich zu bewegen anfängt, aus den Geschwindigkeiten, welche ihm die Stösse einzeln ertheilen, 28 Erster Abschnitt. Zweites Kapitel. zusammengesetzt. Denn die Stösse a, b , c, ... sind (§. 10. zu Ende) gleichwirkend mit einem einzigen aus ihnen zusammengesetzten Stosse x , und dem Grundsätze zufolge sind die von a, b, c, ... und x erzeugten Geschwindigkeiten den a, b, c, ... und x selbst proportional; folglich u. s. w. b. Empfängt ein anfangs ruhender Körper nicht gleichzeitig, sondern in auf einander folgenden Zeitpunkten 7), 7), 7), ... Stösse, welche einzeln dem ruhenden die (ihrer Grösse und Richtung nach gegebenen) Geschwindigkeiten c„, Cj, c .,, ... resp. ertheilen würden, so wird er sich während des Zeitraumes T () 7) mit der Geschwindigkeit c„ bewegen. Für seine fernere Bewegung ist es nun offenbar gleichgültig, wie lange vor 7) er die Geschwindigkeit c„ gehabt hat, und man kann daher in dieser Hinsicht auch annehmen, dass er erst zur Zeit 7) diese Geschwindigkeit erhält. Hiermit verbindet sich die ihm zu derselben Zeit mil- getheilte Geschwindigkeit c,, und er bewegt sich daher während 7j 7) mit der aus c 0 und c 2 zusammengesetzten Geschwindigkeit. Eben so ist seine Geschwindigkeit während T 2 T 3 aus c„, Cj, c 2 zusammengesetzt, u. s. w. Die Balm, die der Körper somit beschreibt, ist im Allgemeinen eine gebrochene gerade Linie, und nur dann eine einfache Gerade, wenn die Stösse nach einerlei Richtung, oder auch zum Theil nach entgegengesetzter Richtung, geschehen. Die Geschwindigkeiten während 7)7j, 7)7), 7)7), etc. sind in diesem Falle c„, c () + c s , c„ + c 2 + c 2 , ..., wo diejenigen c, welche von entgegengesetzten Slössen hervorgebracht werden, mit negativen Zeichen zu nehmen sind. — Haben alle Stösse nicht nur einerlei Richtung, sondern auch einerlei Stärke, so ist c„ — c 2 = c 2 = etc., und die successiven Geschwindigkeiten sind = c 0 , 2c (J , 3c 0 , 4e 0 , etc. §• 19- Suchen wir jetzt die umgekehrte Aufgabe zu lösen und den Stoss zu bestimmen, welcher erfolgen muss, wenn ein anfänglich in der Geraden MB (Fig. 12.) mit einer Geschwindigkeit = AB sich bewegender Körper von B aus in der Von den Wirkungen der Kräfte. 20 Richtung BN mit einer Geschwindigkeit --= BC fortgehl. Nacli dem Vorigen muss der gesuchte Stoss dem Körper, wenn er in B ist, eine Geschwindigkeit beibringen, welche, mit der Geschwindigkeit AB zusammengesetzt, die BC giebt. Man mache deshalb in der Verlängerung von MB das Stück BD — AB, und es wird die Linie DC , weil sie, mit AB, ~BD, zusammengesetzt, die BC giebt, die von dem Stoss zü erzeugende Geschwindigkeit ihrer Grösse und Richtung nach darslellen; oder: man mache AE = BC, so ist BC aus AB und BIi zusammengesetzt, und daher BE (= DC) die gesuchte Geschwindigkeit. Die letztere Construction lässt sich auch durch die Vorstellung begründen, der Körper erhalte, in B angelangl, einen Stoss BA, welcher die anfängliche Geschwindigkeit aufhebt, und einen Stoss BC, welcher ihm die nachherige erlheilt. Der gesuchte Stoss wird folglich aus diesen zweien zusammengesetzt und mithin die Diagonale BE des zu einem Parallelogramm ergänzten Winkels ABC sein. In dem besondern Falle, wenn MB und BN eine Gerade ausmachen, liegen auch D und E in dieser Geraden, und es ist die Geschwindigkeit, welche der Stoss in B dem Körper beibringt, = DC = BE — BC — Aß, und nach N oder M gerichtet, jenachdem BC oder AB die grössere Geschwindigkeit ist. §. 20 . Bei den in der Folge zu betrachtenden Bewegungen ändern sich die Richtung und die Geschwindigkeit nicht, wie vorhin, mit einem Male, sondern stetig. Wie aber schon bemerkt worden, kann man auch die Aenderungen einer stetigen Bewegung als plötzlich eintrelend sich vorstellen, wenn man nur die Zeitpunkte ihres Eintritts unendlich nahe auf einander folgend annimmt. Wir denken uns demnach die Zeit in einander gleiche Elemente T {) J\, T l T i , T 2 T 3 , ... gelheilt, deren stets eine und dieselbe Anzahl, =m, auf die Zeiteinheit gehen, und substituiren für die wirkliche Bewegung eines Körpers A eine andere, bei welcher A in den Zeitpunkten T 0 , T L , T, , ... dieselben Oerter A„, A l} A.,, ... 30 Erster Abschnitt. Zweites Kapitel. (Fig. 13.), wie bei der wirklichen, einnimmt, von jedem derselben aber zum nächstfolgenden sich geradlinig und gleichförmig bewegt. Hiernach sind die Geschwindigkeiten von A während T () T L , 7) 7), ... — m . A n A 1 , m . A i A 2 , ... Man mache A () ß L = A L A .,, A l B 2 = A s A 3 , A 2 ß 3 = A z A 4 , etc. so ist (vor. §.) tn . A, B 1 die Geschwindigkeit, die dem Körper in A l , also zur Zeit 7j, durch einen Stoss ertheilt werden muss, damit sich seine vorhergehende Geschwindigkeit m. A U A 3 in die nachfolgende m.A l A 2 umwandelt. Eben so muss der Körper in A 2 , A 31 ... Stösse erhalten, die ihm die Geschwindigkeiten m.A 2 B 2 , m . A, B z , ... beibringen. Nehmen wir nun zuförderst an, dass alle diese Geschwindigkeiten, und folglich auch die zu Anfang jedes der einander gleichen Zeitelemente erfolgenden Stösse, einander gleich und gleichgerichtet sind. Man sagt alsdann, dass auf den Körper nach derselben Richtung eine constante beschleunigende Kraft wirke. Der Körper wird dann, wenn er anfangs in Ruhe war, nach der Richtung der Kraft geradlinig fortgehen, und seine Geschwindigkeit während des zweiten, dritten ... ?«ten Zeitelements wird = 2y, 3y, ... my sein, wenn y die Geschwindigkeit während des ersten Elements oder diejenige bedeutet, welche ein einzelner Stoss ertheilt (§. 18.) Die Geschwindigkeit wird mithin der Zeit proportional, in jeder Zeiteinheit um my, wachsen, und die Bewegung des Körpers wird eine gleichförmig beschleunigte sein (§. 10.). Zwei constante beschleunigende Kräfte haben wir einander gleich zu nennen, wenn jeder Stoss der einen jedem Stösse der andern gleich ist. Der anfangs ruhende Körper wird hiernach unter dem Einflüsse der einen dieselbe gleichförmig beschleunigte Bewegung, wie unter dem Einflüsse der andern, annehmen, d. h. seine Geschwindigkeit wird in jeder Zeiteinheit das einemal um eben so viel, als das anderemal, wachsen. Eine constante beschleunigende Kraft P ist nach §. IG. das p fache einer andern Kraft Q derselben Art zu nennen, ■wenn p der andern gleiche und nach einerlei Richtung wirkende Kräfte dieselbe Bewegung, wie P allein, hervorbringen. 31 Von den Wirkungen des Kräfte. Wirken aber die p Kräfte zusammen, so empfängt der Körper zu Anfang jedes Zeitelements p Stösse, welche in Vereinigung ihm eine pmal so grosse Geschwindigkeit, als jeder Stoss einzeln, beibriugen. Es wird daher unter der Wirkung der Kraft P , wenn sie das p fache von Q ist, und wenn der Körper, wie vorhin, jedesmal ruhend vorausgesetzt wird, die constante Zunahme der Geschwindigkeit in jeder Zeiteinheit jpmal so gross sein, als wenn die Kraft Q wirkt. Constante beschleunigende Kräfte verhalten sich hiernach, wie die von ihnen in der Zeiteinheit (oder überhaupt in gleicher Zeit) erzeugten Incremente der Geschwindigkeit; und wenn man daher, wie es gewöhnlich ist, und auch hier geschehen soll, diejenige constante Kraft = 1 setzt, unter deren Wirkung das Increment der Geschwindigkeit in jeder Zeiteinheit — i ist, so wird man jede andere constante Kraft durch dieselbe Zahl auszudrücken haben, welche das von der Kraft in jeder Zeiteinheit bewirkte Increment der Geschwindigkeit ausdrückt, — also durch my , wenn y die von einem einzelnen Stosse erzeugte Geschwindigkeit ist, — oder durch mm . A l B i , wo A l B 1 den Weg vorstellt, den der von einem einzelnen Stosse getriebene Körper (mit der Geschwindigk. y=m.A 1 B 1 ) in jedem Zeilelemente zurücklegt. So ist z. B. beim freien Falle der Körper, als einer geradlinigen nach unten gerichteten Bewegung, deren Geschwindigkeit in jeder Secunde um 30 Fuss wächst, eine nach unten gerichtete constante Kraft, =30, thätig, wenn die Secunde zur Zeiteinheit und der Fuss zur Linieneinheit genommen wird. Man nennt diese Kraft die Schwerkraft. §. 21 . Im Allgemeinen sind bei einer gegebenen Bewegung A 1l A l A.,... die Geschwindigkeiten m.A l B 1 , m.A 2 B 2 , ..., und mithin auch die in gleichen Zeitelementen auf einander folgenden Stösse, welche zur Erzeugung jener Bewegung dem Körper erlheilt werden müssen, von einem Elemente zum andern entweder ihrer Richtung, oder ihrer Grösse nach, oder in beiderlei Hinsicht, verschieden. Man sagt alsdann, dass der Körper von einer veränderlichen be- 32 Erster Abschnitt. Zweites Kapitel. schleunigenden Kraft getrieben werde, und bestimmt deren Richtung und Grösse zu einer gewissen Zeit aus dem gleichzeitig statt findenden Stosse eben so, als wie die Richtung und Grösse einer constanten Kraft aus einem der einander dann gleichen und gleichgerichteten Stösse bestimmt wird. Die den Körper A treibende veränderliche Kraft hat hiernach in den Zeitpunkten T ± , T 2 , ... die Richtungen A x B L , A 2 B 2> ... und die Werlhe mm . A t B t , mm . A 2 B 2 , _ In dem Falle, wenn die Bewegung von A geradlinig ist, liegen A () , A 1; A 2 , ..., mithin auch ff,, B 2 , ... in derselben Geraden, und es ist A 1 B 1 = A 1 A 2 — A {) A L . Die beschleunigende Kraft hat dann folglich dieselbe Linie, in welcher sich der Körper bewegt, zu ihrer Richtung, und ihre Grösse zur Zeit J\ ist = mm . A L B L = m (m . /t,— m . AqAJ = dem »«fachen des Wachsthums von m . A n A 1 während des Elements T 0 7’ , = der Geschwindigkeit, mit welcher m. A 0 A L wächst (§. 11.), d. h. Bei der Bewegung eines Körpers in gerader Linie ist die beschleunigende Kraft stets der Geschwindigkeit gleich , mit welcher sich die Geschwindigkeit des Körpers ändert. Ist daher die Entfernung x des Körpers zur Zeit t von einem beliebig gewählten Anfangspunkte der Linie, als eine Function von t, gegeben, und heisst x , wie in §. 11., die daraus abzuleitende Geschwindigkeit von x, und x" die Geschwindigkeit von x, so ist x die Geschwindigkeit des Körpers zur Zeit f, und x" die ihn zu derselben Zeit beschleunigende Kraft. Beispiele. 1) Sei x = a 4- bl 4- et 2 , so ist x = b + 2 ct und x" — 2c, also die Kraft conslant und der Zunahme von x' in der Zeiteinheit gleich, wie uns schon bekannt w r ar. 2) Bew r egt sich ein Körper A (Fig. 10.) zwischen den Punkten M und N nach dem in §. 14. geometrisch dargestellten und durch die Formel x = a cos (a + nt) ausgedrückten Gesetze hin und zurück, so ist x = —na sin ( a-\-nt ), und da nach den Formeln II. ebds. von a sin («+ nt) die Geschwindigkeit = na cos (a -f nt) ist, so wird x" — nna cos (« + nt) — — nnx = — nn . OA = nn . AO. Von den Wirkungen der Kriifte. 33 Die Kraft treibt daher den Körper A stets nach dem Mittelpunkte 0 hin und ist dem Abstande des A von 0 proportional. Dasselbe folgt aus der Formel y — a sin (a + nt) für den zwischen R und S sich bewegenden Körper 11. Denn seine Geschwindigkeit ist =- y na cos (a + nt), und mithin die ihn beschleunigende Kraft ^ y" — — nna sin (« + nt) = — nny = nn . BO. §. 22 . Ein Resultat, welches dem im vorigen §. für die geradlinige Bewegung erhaltenen ganz analog ist, ergiebt sich auch für die krummlinige. Zu dem Ende lasse man einen Punkt H (Fig. 13.) sich so bewegen, dass sein Abstand OH von einem festen Punkte 0 stets gleich und gleichgerichtet der Linie ist, welche die Geschwindigkeit des Körpers A ausdrückt, dass also OH () = m . A () A 1 , OII l = m . A L A,, = m . A i) R l , etc. Fis folgt hieraus (§. 1. IV.) = m . A L ß l und m . 7/„ 1I L = mm . A, , d. h. die einen beliebig sich bewegenden Körper beschleunigende Kraft wird ihrer Grösse und Richtung nach durch die Geschwindigkeit eines Punktes (II) ausgedrückt, der sich so bewegt , dass sein Abstand von einem festen Punkte (0) stets gleich und gleichgerichtet der Geschwindigkeit des Körpers ist. So hatten wir in §. 14. bei dem sich gleichförmig um 0 (Fig. 10) in einem Kreise nach der Linken bewegenden Körper P die Linie OH = der constanten Geschwindigkeit von P gemacht, also den Winkel POH — 90° und OH - - c. Bei der gleichförmigen Kreisbewegung von P wird sich daher der Punkt PI in derselben Zeit, wie P, gleichförmig um 0 nach der Linken in einem Kreise bewegen, dessen Halbmesser c ist. Da sich bei gleichen Umlaufszeiten die Geschwindigkeiten gleichförmiger Kreisbewegungen (von P und H) offenbar wie die Halbmesser der Kreise (a und c) verhalten, und da die Geschwindigkeit von P, — c ist, so ist die von PI, — cc :a\ die Richtung derselben ist perpendikulär auf OH nach der Linken zu, also parallel mit PO. Nach dem vorigen Satze wird daher die Bewegung Moebiiis, Mech. d. Hiinm. 3 34 Erster Abschnitt. Zweites Kapitel. eines Körpers mit der constanten Geschwindigkeit c in einem Kreise, dessen Halbmesser a ist, durch eine Kraft = « = vU a = nna < § - 14 ‘> hei'Yorgebracht, welche den Körper stets nach dem Mittelpunkte des Kreises treibt. Anmerkung. Wie aus §§. 10. und 11. hervorgeht, ist die Geschwindigkeit einer sich mit der Zeit ändernden Grösse x das m fache der Aenderung von x während eines Zeilelements. Ist nun das sich Aendernde eine gerade Linie OH, die nicht bloss ihre Grösse, sondern auch ihre Richtung ändert, zur Zeit T () ^OH {) , und zur Zeit T i = OH l ist, so wird man unter ihrer Aenderung während des Elements T 0 T y , wenn man dabei die Grösse und Richtung zugleich berücksichtigt, nicht den bloss arithmetisch zu bestimmenden Ueberschuss von OH s über 0-H" 0 , sondern die Linie H {) H, zu verstehen haben, als welche, mit OH„ geometrisch zusammengesetzt, OH L giebt. Die Geschwindigkeit, mit der sich die Linie OH (zur Zeit T () oder T y ) ändert, wird folglich = m . H t) H, , also eine Linie sein, die wiederum nicht bloss ihrer Grösse, sondern auch ihrer Richtung nach, im Allgemeinen sich ändert. Es ist aber OH = der Geschwindigkeit von A, und m . //„ ll L = der auf A wirkenden Kraft; mithin können wir in dem erklärten Sinne, wie bei jeder geradlinigen, so auch bei jeder krummlinigen Bewegung sagen, dass die beschleunigende Iirafl , welche sie hervorbringl, gleich und gleichgerichtet der Geschwindigkeit ist, mit welcher sich die , Geschwindigkeit des Körpers ändert. §• 23. Zu Stütze, a. Der vorhin erhaltene und für die ganze Folge sehr wichtige Salz, dass bei einer gleichförmigen Kreisbewegung die beschleunigende Kraft stets nach dem Mittelpunkte des Kreises gerichtet und dem Quadrate der Geschwindigkeit c, dividirt durch den Halbmesser a des Kreises, gleich ist, lässt sich folgendergestalt noch etwas anschaulicher darthun. — Wegen der Gleichförmigkeit der Bewegung sind A l) A l , A t A.,, ... von gleicher Länge, und es lässt sich daher die Bahn A 0 A 1 A 2 ... als ein in den Kreis (Fig. 14.) beschriebenes reguläres Vieleck betrachten; die Linie A y 0 nach dem Mittelpunkte 0 des Kreises halbirt folglich den Winkel A 0 A 1 A 2 . Ferner ist hier das Parallelo- Von »len Wirkungen der Kräfte. '.ib gramm A 0 A 1 A 2 B 1 ein Rhombus; die Diagonale A s B v , oder die Riclitung der Kraft, halbirt mithin gleichfalls den Winkel A 0 A jl A 2 und ist daher nach dem Mittelpunkte 0 gerichtet. Dabei sind die Dreiecke A 1 A 0 B J und A lt OA, einander ähnlich, weil sie gleichschenklig sind und den Winkel A 0 A 1 B 1 gemein haben. Es verhält sich daher OA 0 : A 0 A 1 =A 0 A 1 :A 1 B 1 , mithin auch OA n : m . A„A l — m . A n A, : mm . Ä L B l , folglich etc. b. Ganz durch dieselben Schlüsse zeigt sich, dass auch bei jeder andern krummlinigen Rewegung, wenn sie gleichförmig, und daher A I) A 1 = A 1 A 2 - etc. ist, die Kraft in A L nach dem Mittelpunkte 0 des durch A 0 , A i , A 2 zu beschrei- bendeu Kreises gerichtet und - mm . A () A, 2 : OA 0 ist; d. h. bei einer gleichförmigen krummlinigen Bewegung ist die beschleunigende Kraft nach dem Mittelpunkte des an die Bahn durch den jedesmaligen Ort des Körpers beschriebenen Krümmungskreises gerichtet, also in der Krümmungsebene enthalten und darin, normal auf der Bahn, von der erhabenen nach der hohlen Seite gerichtet; ihre Stärke aber ist dem Quadrate der Geschwindigkeit, dividirt durch den Krümmungshalbmesser, gleich, und daher der Krümmung selbst proportional. c. Ist die krummlinige Bewegung ungleichförmig, so muss, ausser der eben so wie vorhin im Punkte A s bestimmten Kraft, noch eine zweite tliätig sein. Denn erstere würde zwar bewirken, dass der Körper in dem nächstfolgenden Zeilelemente nach der veränderten Richtung A t A 2 fortginge; allein die Grösse der Geschwindigkeit würde unverändert = m . /1 0 A l geblieben sein. Mithin muss noch in der Richtung A t A. 2 , d. h. in tangentieller Richtung, eine Kraft wirken, welche die Veränderung der Grösse der Geschwindigkeit in m . A 1 A 2 hervorbringt, also eine Kraft = mm (A ± A 2 — A t) A,). Dies führt uns zu folgendem Resultate: „Die beschleunigende Kraft, durch welche eine sich stetig „ändernde Bewegung hervorgebracht wird, ist stets in der „Krümmungsebene der Bahn enthalten. Zerlegt man diese ,.Kraft, wie sie zu einer gewissen Zeit 1\ statt hat, in zwei 3 * 30 Erster Abschnitt. Zweites Kapitel. „Kräfte, von denen die eine normal auf der Balm ist und „daher Normalkraft heisst, die andere in tangentieller „Richtung wirkt und daher Tangentialkraft genannt „wird, so ist die Normalkraft eben so gross, als wenn yon ,,7' t an sich nicht mehr die Geschwindigkeit, sondern bloss „die Richtung änderte, also eben so gross, als bei einer „Bewegung mit derselben Geschwindigkeit in einem Kreise, „der dieselbe Krümmung, wie die Bahn zur Zeit 7’,, hat; „die Tangentialkraft aber ist eben so gross, als wenn von „7) an sich nicht mehr die Richtung, sondern bloss die Geschwindigkeit änderte, also eben so gross, als bei einer „geradlinigen Bewegung, deren Geschwindigkeit sich nach „demselben Gesetze, wie bei der krummlinigen, ändert.“ §• 24. Lehrsatz. Ist eine Bewegung (von A) aus zwei oder mehrern Bewegungen (von C, D, ...) zusammengesetzt, so ist auch in jedem Zeitpunkte die Kraft , durch welche die erstere Bewegung hervorgebracht ivird, zusammengesetzt aus den Kräften, welche die letztem hervorbringen. Bew r eis. Die auf A zur Zeit T t wirkende Kraft ist = mm. A 1 B l = dem mm fachen eiher Linie, sie heisse a, welche aus A l A u und A 0 B t oder A, A, zusammengesetzt ist (§. 21.); und eben so sind die gleichzeitig auf C , D, ... wirkenden Kräfte = den mm fachen von Linien c, d, ..., Yon denen c aus C, C 0 und C] C ,, d aus 77, 77 0 und I), 77, zusammengesetzt ist. Es ist daher nur zu beweisen, dass die aus A,A () und A, A., zusammengesetzte Linie a durch Zusammensetzung von c, d, ... d. i. von C, C (l , C,C,, 77, 77,,, D l D 2 etc. gefunden wird. Dies folgt aber sogleich daraus, dass nach der Voraussetzung A i A 0 aus C,C 0 , 77, 77„, ... und AjA, aus C, C,, D l I). i , ... zusammengesetzt ist (§. G.). Anderer Beweis. Weil die Bewegung von A aus denen von C, D, ... zusammengesetzt ist, so ist es auch die Geschwindigkeit von A aus den Geschwindigkeiten von C, I), ... (§. 12.). Lässt man daher die Punkte 77, K, L, ... sich so bew’egen, dass ihre Abstände von einem festen Punkte 0 resp. den Geschwindigkeiten von A, C, D, ... 37 Von den Wirkungen der lvräfte. stets gleich und gleichgerichtet sind, so ist stets 011 aus OK, OL, ..., folglich die Bewegung von II aus denen von K, L, ..., folglich auch stets die Geschwindigkeit von II aus denen von K, L, ... (§. 12.), d. i. (§. 22.) die auf A wirkende Kraft aus denen, welche auf C, D, ... wirken, zusammengesetzt. Folgerungen, a. Hat B (Fig. 8.) gegen einen festen Funkt F dieselbe Bewegung, welche P gegen A hat, so ist (§. 5.) die Bewegung von P aus denen von A und B, folglich auch p aus a und b zusammengesetzt, 'wenn a, b, p die Kräfte bezeichnen, welche die Bewegungen von A, B, P hervorbringen; folglich b aus p und der nach entgegengesetzter Richtung genommenen Kraft a zusammengesetzt (§.2. d.), Aus den Kräften a und p , durch welche die Bewegungen zweier Körper A und P erzeugt werden, wird demnach, wenn man, die Bewegung von P gegen A unverändert lassend, A ruhend anniminl, die Kraft, welche dann auf P wirken muss, gefunden, wenn man p mit der nach entgegengesetzter Richtung genommenen Kraft a zusammensetzt. b. Wird eine Bewegung auf eine der drei in §. 12. b. gedachten Arten in zwei oder drei zerlegt, so ergeben sich die Kräfte, welche die letztem Bewegungen hervorbringen, wenn man die zur erstem nöthige Kraft auf dieselbe Art zerlegt. — Der Beweis hiervon wird mittelst des obigen Lehrsatzes ähnlicher Weise geführt, wie in §. 12. der entsprechende Satz von der Zerlegung der Geschwindigkeit dargelhan wurde. Eben so können wir mit Anwendung des Begriffs der Frojection schliessen: die Kraft bei einer auf eine Gerade oder eine Ebene projicirlen Bewegung ist der auf dieselbe Gerade oder Ebene projicirlen Kraft bei der ursprünglichen Betregung gleich. Beispiele. 1) Ein sich gleichförmig in einem Kreise bewegender Körper P (Fig. 10.) wird von der ihn beschleunigenden Kraft stets nach dem Mittelpunkte 0 des Kreises getrieben. Drücken wir daher diese Kraft geradezu durch PO aus, so ist AO, als die rechtwinklige Frojection von PO auf den Durchmesser MN, die Kraft, von welcher der % 38 Erster Abschnitt. Zweites Kapitel. Körper A bei seiner in §. 14. betrachteten Bewegung zwischen M und N getrieben wird. Es war aber die erstere Kraft = nn . PO (§. 22.); mithin ist die letztere = nn . AO, wie schon in §. 21. 2. auf andere Weise gefunden worden. 2) Projiciren wir dieselbe gleichförmige Kreisbewegung von P rechtwinklig, statt auf MN, auf eine durch MN gelegte und mit der Ebene des Kreises einen schiefen Winkel — i machende Ebene, so bewegt sich die Projection von P, die wiederum A heisse, in einer Ellipse, deren Mittelpunkt 0, deren grosse Axe MN — 2a, und deren kleine =2 a cos i ist. Die auf A wirkende Kraft ist, wie vorhin, — nn . AO — nn . AO : UU. Das Gesetz, nach welchem A in der Ellipse forlgeht, lässt sich hier auf eine eigenthiiinliche Weise bestimmen. Weil nämlich P im Kreise sich gleichförmig bewegt, so werden auch die vom Halbmesser OP in gleichen Zeiten über- strichenen Theile der Kreisfläche einander gleich sein. Da ferner, wenn irgend zwei einander gleiche Theile einer Ebene auf eine andere Ebene projicirt werden, auch die Theile in der Projection einander gleich sind, so wird von A die Ellipse dergestalt beschrieben werden, dass die Gerade OA in gleichen Zeiten gleiche Flächen überstreicht. — Hiernach, und weil sich jede Ellipse als die rechtwinklige Projection eines Kreises betrachten lässt, können wir folgenden Satz aufstellen: „Bewegt sich ein Körper A in einer Ellipse dergestalt, „dass die vom Mittelpunkte 0 der Ellipse bis zu ihm gezogene Gerade OA in gleichen Zeiten gleiche Flächen über- „streicht, so ist die auf den Körper wirkende Kraft stets „nach 0 gerichtet und seinem Abstande von 0 proportional, „nämlich = snr . AO : UU, wo U die halbe Umlaufszeit (im „Kreise und daher auch) in der Ellipse bedeutet.“ §. 25. Lehrsatz. Ist für einen gewissen Zeitpunkt T n der Ort A„ eines sich bewegenden Körpers A und seine Geschwindigkeit gegeben, für jeden Zeitpunkt aber die ihn beschleunigende Kraft ihrer Stärke und Richtung nach, sei 39 Von den Wirkungen der Kräfte. es als eine unmittelbar von der Zeit, oder als eine von seinem jedesmaligen Orte, oder seiner Geschwindigkeit abhängige Grösse, gegeben, so ist die Bewegung des Körpers vollkommen bestimmt. Beweis. Mit dem Orte A 0 und der Geschwindigkeit des Körpers zur Zeit T 0 ist sein Weg A„A i während des Elements T 0 1 \, also auch sein Ort A L zur Zeit '1 \, vollkommen bestimmt. Der Voraussetzung zufolge ist ferner für die Zeit 7) die Grösse und Richtung der Kraft, also auch der Diagonale A t B s des Parallelogramms A t) A i A,B L (Fig. 13.), gegeben. Man kann daher dasselbe conslruiren und damit den Weg A, A 2 während T ± T z finden. Gleicherweise lässt sich hieraus und aus der dann gegebenen Kraft zur Zeit I, der Weg während T 2 T 3 , u. s. w. bestimmen. Folgerung. Hat man aus der gegebenen Bewegung eines Körpers das Gesetz bestimmt, nach welchem die ihn beschleunigende Kraft wirkt, so kann man umgekehrt schlies- sen, dass, wenn den Körper eine Kraft nach dem gefundenen Gesetze treibt, und er zu irgend einer Zeit T 0 die Geschwindigkeit hat, welche ihm der gegebenen Bewegung gemäss zukommt, seine jetzige Bewegung der gegebenen gleich ist. Beispiele. 1) Aus der Theorie der gleichförmigen Kreisbewegung, wo die beschleunigende Kraft p = ec : a und stets nach dem Mittelpunkte gerichtet war (§. 22.), folgern wir: Wirkt auf einen Körper eine nach einem festen Punkte 0 gerichtete Kraft von constanler Grösse — p, und ist die Richtung der anfänglichen Geschwindigkeit perpendikulär auf der Geraden, welche den anfänglichen Ort A 0 des Körpers mit 0 verbindet, die Geschwindigkeit selbst aber = Xv • OA o > so beschreibt der Körper mit sich gleich bleibender Geschwindigkeit um 0 als Mittelpunkt einen Kreis. Weil der Körper von 0 stets in derselben Entfernung bleibt, so kann man hierbei, statt die Kraft constant zu setzen, auch annehmen, dass sie einen von der Entfernung des Körpers von 0 beliebig abhängigen Werth habe, d. i. irgend eine Function dieser Entfernung sei. 40 Erster Abschnitt. Zweites Kapitel. 2) Die in §. 14. und §. 24. 1. betrachtete Projection einer gleichförmigen Kreisbewegung auf einen Durchmesser des Kreises führt uns zu folgendem Satze: „Wird ein Körper A von einer Kraft getrieben, welche „stets nach einem festen Punkte 0 (Fig. 10.) gerichtet und „dem Abstande des A von 0 proportional ist, also = nn . AO „gesetzt werden kann, wo n (--%•. U ) eine conslante Zahl „bedeutet, so bewegt sich der Körper, wenn er anfangs in „M in Ruhe war, in gerader Linie nach 0 zu, sodann eben „so weit über 0 hinaus bis N, hierauf durch 0 wieder zurück „bis M, und fährt auf diese Weise fort zwischen M und N „hin und her zu schwingen. Die Schwingungsdauer, d. i. die „Dauer eines solchen Hin- oder Herganges, ist „und daher unabhängig von der Schwingungsweite MN. „Dabei ist die Geschwindigkeit von A ( — n . AP) - „nT (OM -— OA r ) , also null, wenn A in M oder N selbst „sich befindet, am grössten aber, = n . OM, wenn A in 0 ist.“ 3) Ist der Körper A, auf welchen die nach 0 gerichtete Kraft nn . AO wirkt, anfangs in A nicht in Ruhe, sondern hat er eine Geschwindigkeit = AC, so wird er, wenn die Richtung derselben durch 0 gellt, nach demselben Gesetze, wie vorhin, geradlinige Schwingungen, jede in einer Zeit — n : n , machen, und sich dabei von 0 zu beiden Seilen um eine Weite y [OA 2 + (AC 2 : nn)) entfernen. Trifft aber die Richtung der anfänglichen Geschwindigkeit AC den Punkt 0 nicht, so wird der Körper, wie sich aus §. 24. 2. folgern lässt, nach dem dort angegebenen Gesetze sich in einer Ellipse bewegen, welche 0 zum Mittelpunkte hat und, durch A gehend, von AC daselbst berührt wird *). Die Um- laufszeil in der Ellipse ist = 2%: n. *) Es lässt sich diese elliptische Bewegung, wie in §. 24., als die Projection einer gleichförmigen Kreisbewegung betrachten. Der Kreis selbst hat 0 zum Mittelpunkte, schneidet das in A auf der Ebene OAC errichtete Perpendikel, es geschehe in Z, und berührt daselbst die auf OAC perpendikuläre Ebene XAC. Die zur Conslruction dieses Kreises, und damit auch der Ellipse, noch zu wissen nölhige Linie A7, findet sich durch die Gleichung: n 2 c a (s a + r 2 ) = e 2 (s 2 + r 2 cos f< 2 ), 41 Von den Wirkungen der Kräfte. §• 26. Die im vorigen §. hinzugefügten Beispiele enthalten die ersten Gründe der für die Naturlehre so wichtigen Theorie der Pendelbewegung. — Denkt man sich einen schweren Körper durch eine nicht schwere gerade Linie von unveränderlicher Länge mit einem festen Punkte F (Fig. 15.) verbunden, so dass sich der Körper auf der Oberfläche einer Kugel, welche F zum Mittelpunkte und die Länge der Linie, welche l heisse, zum Halbmesser hat, frei bewegen kann, so erhält man den Begriff eines mathematischen oder einfachen Pendels. Vermöge der auf den Körper wirkenden Schwerkraft wird derselbe nur dann in stabiler Ruhe sein, wenn er sich in dem vertical unter F gelegenen Punkte 0 der Kugelfläche befindet. Ist er aber in irgend einem andern Punkte M der Fläche, so wird er durch die Schwerkraft in dem aus F zu beschreibenden Bogen MO nach 0 zurückgetrieben. Es giebt nämlich diese constante Kraft, sie heisse g, wenn man sie nach der Richtung FM und nach der in M an den Bogen MO zu ziehenden Tangente zerlegt, die Kräfte g — g cos MFO und g" = g sin MFO. Da nun der Körper nach ersterer Richtung gar nicht, und nach letzterer vollkommen frei beweglich ist, so ist g ganz unwirksam; dagegen wirkt die Kraft g" in ihrer vollen Stärke auf die Bewegung des Körpers. Nehmen wir jetzt noch den Winkel MFO so klein an, dass der Bogen MO als eine gerade Linie betrachtet werden kann, so wird sin MFO — MO : l, und es wirkt daher auf den Körper, wenn er in M ist, nach der Richtung MO eine Kraft — g. MO : l, also eine seinem Abstande von 0 proportionale Kraft, und dasselbe geschieht auch in jedem andern Orte, den er in der Nähe von 0 einnehmen kann. Der worin s = AZ, r=OA, c — AC und a— OAC. Diese Gleichung hat, nach z 2 aufgelöst, zwei reelle Wurzeln, von denen die eine positiv, die andere aber negativ ist und daher keinen reellen Werth für z selbst giebt. Die zwei einander gleichen und entgegengesetzten Werthe von 3, welche aus dem positiven z 2 entspringen, führen aber ersichtlich zu einer und derselben Ellipse. ■\2 Erster Abschnitt. Zweites Kapitel. Körper wird folglich, wenn er nach M gebracht und hierauf sich selbst überlassen wird, nach dem vorhin beschriebenen Gesetze Schwingungen zu machen anfangen, deren Weite = 2 OM —NM, und deren Dauer U= 3 cY r -, ' a’ indem das vorige nn hier g : l ist. Wegen des Widerstandes der Luft und, wenn wir an die Stelle der mathematischen Linie etwa einen feinen Faden setzen, wegen der Steifheit desselben, welche sich seiner Biegung am Aufhängepunkte F fortwährend entgegensetzt, wird die Weite dieser Schwingungen immer kleiner werden und der Körper zuletzt in 0 zur Ruhe kommen. Die Dauer der Schwingungen aber wird bis zuletzt unverändert bleiben, weil diese von der Weite unabhängig ist. Man sieht hieraus, wie man mit Hülfe eines solchen Pendels die Grösse der Schwerkraft g mit ausserordentlicher Schärfe bestimmen kann. Hat man nämlich seine Länge l gemessen und die Dauer U einer seiner Schwingungen durch Beobachtung der Zeit, welche über einer sehr grossen Anzahl auf einander folgender Schwingungen verstreicht, bestimmt, so findet sich 7T7ll 9 ~ TW' So ist z. B. nach Bessel’s Messungen die Länge des Secundenpendels, d. h. eines Pendels, dessen Schwingungsdauer 1 Secunde beträgt, auf der Königsberger Sternwarte 440,8147 par. Linien*) = 3,0G12 Fuss. Nimmt man daher die Secunde zur Zeiteinheit, so wird <7=1 und es findet sich damit für Königsberg: g = (3,14159.) 2 . 3,0G12 = 30,213 Fuss. Man kann noch bemerken, dass der in F aufgehängte Körper, wenn man ihn nach einer kleinen Ablenkung von 0 nicht sich selbst überlässt, sondern ihm einen kleinen horizontalen Seitensloss giebt, in der horizontalen Fläche, in welcher er um 0 herum frei beweglich ist, um 0 als *) Bessel, Untersuchungen über die Länge des einfachen Secundenpendels, Seite 55. 43 Von »Ion Wirkungen der Kräfte. Mi Help unkl eine Ellipse, oder auch einen Kreis, nach dem im vorigen §. erklärten Gesetze zu beschreiben anfangen wird. Die Umlaufszeit in der Ellipse wird doppelt so gross als die Dauer einer einfachen Schwingung sein, so dass z. 13. ein Secundenpendel zur Beschreibung seiner Ellipse zweier Secunden bedarf. §• 27. Der Satz des §. 25., dass die Bewegung eines Körpers A vollkommen bestimmt ist, wenn es für jeden Zeitpunkt 0 die beschleunigende Kraft, und für einen gewissen Zeitpunkt T () die Geschwindigkeit und der Ort von A ist, dies lässt sich, wenn die Kraft unmittelbar als Function der Zeit gegeben ist und daher schon im Voraus für jeden Zeitpunkt bestimmt werden kann, geradezu mittelst des entsprechenden Satzes in §. 13. darthun. Denn denkt man sich, wie in §. 22., einen Punkt II (Fig. 13.) hinzu, der sich dergestalt bewegt, dass sein Abstand von einem festen Punkte 0 der Geschwindigkeit von A gleich ist, so ist die Geschwindigkeit von II = der auf A wirkenden Kraft, und daher nach der Voraussetzung für jeden Zeitpunkt gegeben. Ferner ist die Linie OH {) = der Geschwindigkeit von A zur Zeit ZJ,, und daher ebenfalls gegeben. Nach §. 13. ist folglich die Bewegung von H gegen 0, oder die Grösse und Richtung von Ölf für jeden Zeitpunkt, vollkommen bestimmt; mithin ist es auch die Geschwindigkeit von A. Und da noch der Ort von A zur Zeit T 0 als gegeben vorausgesetzt wird, so ist nach dem nämlichen Satze die Bewegung von A selbst vollkommen bestimmt. Nehmen wir z. B. an, dass die Kraft, also auch die Geschwindigkeit von H, ihrer Richtung und Grösse nach constant sei, und dass sich daher 11 gleichförmig in einer Geraden h (Fig. 16.) bewege. Sind alsdann //„ und II t , als die Oerter von H in zwei beliebigen Zeitpunkten T 0 und T 1} und ausserdem noch die Oerter von 0 und A n gegeben, so ist damit die Bewegung von A vollkommen bestimmt. Liege nämlich, um hier nur den allgemeinem Fall in Betracht zu ziehen, 0 ausserhalb h. Man ziehe durch A„ mit h und 44 Erster Abschnitt. Zweites Kapitel. mit OH,, die Parallelen x und y, so bewegt sich A in der Ebene xy, weil OII, = der Geschwindigkeit von A, in der damit parallelen Ebene OII„, h liegt. Man denke sich nun A durch Parallelen mit y und x auf x und y projicirt und nenne B und C diese Projectionen, so sind die Geschwindigkeiten von B und C = der auf x und y projicirten Geschwindigkeit OH von A, also = H„H und OH„. Weil II,,11 sich der Zeit proportional ändert, so wird, wenn man die Zeit t von T„ an rechnet und T,,'^ zur Zeiteinheit nimmt, II,,11 oder die Geschwindigkeit von B, = H„H L .t\ und weil für t — 0 diese Geschwindigkeit null wird und B mit A 0 zusammenfällt, so kommt (§. 13.) (1) A, ) B---' i H, ) II i .l\ Die Geschwindigkeit von C ist constant, = OH 0 , und weil auch C für £ = 0 mit A„ zusammenfällt, so hat man (2) A 0 C -- OH„ . t. Durch diese zwei Gleichungen sind aber die Bewegungen von B und C, und damit auch die von A, bestimmt. Eli— minirt man aus ihnen t, so findet sich: ( 3 ) Ao H- = 2 ^.A 0 B, als die Gleichung zwischen den Coordinaten A„B und A„C der von A beschriebenen Curve. „Ein Körper, auf den eine „conslanle beschleunigende Kraft = //„//,, z. B. die Schwerkraft, wirkt, und dessen anfängliche Geschwindigkeit, = OH 0 , „mit der Kraft nicht parallel ist, bewegt sich demnach in „einer Parabel, welche eine mit der Richtung der Kraft „parallele Axe und im Anfangspunkte der Bewegung die „Richtung der anfänglichen Geschwindigkeit zur Tangente „hat, und deren Parameter für den Anfangspunkt, als Scheitel, = 20K?;k : ist“ Zusätze, a. Da der Anfangspunkt der Zeit willkühr- licli genommen werden kann, so erhellet, dass, wenn man für A„ irgend einen andern Punkt der von A beschriebenen Curve wählt, durch ihn eine Gerade x, parallel mit h, und eine die Curve daselbst berührende Gerade y zieht und die Bewegung von A nach diesen x und y in die Bewegungen 4b Von den Wirkungen der Kräfte. von B und C zerlegt, auch in diesem neuem Systeme die Linie A () B dem Quadrate der seit dem Durchgänge des Körpers durch A 0 verflossenen Zeit und die Linie A 0 C dieser Zeit selbst, folglich wie vorhin die Abscisse A 0 ß dem Quadrate der Ordinate A 0 C proportional sein wird, — eine bekannte Eigenschaft der Parabel, die somit sehr einfach sich dargethan findet. b. Man ziehe in A an die Parabel eine Tangente, welche A 0 B in D und A t) C in E schneide. Weil die Geschwindigkeit in 4 = OH ist, so ist T)A parallel mit OH , und daher die Seiten der Dreiecke ABD und OH„H parallel mit einander ; mithin verhält sich DB : BA = il„ II: OII (] — II (I II { . t : OH () = 2 A () B : A 0 C (zufolge (1) und (2)) = 2 A„B : BA, und daher DB = 2A t) B, was ebenfalls eine bekannte Eigenschaft der Parabel ist. ■— Es folgt hieraus weiter, dass, so wie DB in A (i , auch DA in E und A„ C in E halbirt wird. c. Die Geschwindigkeiten in 4L,, und 4t verhalten sich wie OII ( , : OH = BA : DA --- A 0 E: DE = A () E : EA, also wie die Theile der in A () und A gezogenen Tangenten zwischen diesen Punkten und dem gemeinschaftlichen Durchschnitte der Tangenten. d. Bezeichnen A L , B l , C u E L die Oerter von A, B, C, E für t — i, so hat man zufolge der Gleichung (2) ... A^C k — OH 0 , also 4l 0 E ± = E L C ± = ^ OH u und, wegen der Aehn- lichkeit der Dreiecke E L C L A L und OII () II ,, E 1 A l —\ OH L . Macht man daher in der Linie h, H () H l = II t H 2 -- H, II = etc., wo H {j , II L , II 2 , ... die Oerter von II für t — 0,1, 2, ... sind, und legt man durch 4t 0 , 4L X , A 2 , ..., als die entsprechenden Oerter von A, Tangenten, von denen sich die lste und 2te in E ,, die 2te und 3te in E 2 , die 3te und 4te in E 3 , etc. schneiden, so ist A u E t = 4 OH 0 , E l A 1 = OH l , und eben so A x Eo = l OH l , E 2 A 2 = \0H 2 , u. s. w., folglich E x E 2 = OH l , und eben so E 2 E Z = OH 2 , etc., welches nachstehenden Satz giebt: „Sind H 0 , iT,, H 2 , ... (Fig. 17.) eine Reihe von Punkten in einer Geraden h, welche in gleichen Zwischenräumen 46 Erster Abschnitt. Drittes Kapitel. „auf einander folgen, und 0 ein Punkt ausserhalb dieser „Geraden, so berühren die Linien OH f) , OH L , 0H 2 , ..., „wenn man sie in ihrer Folge parallel mit sieh an einander „setzt und desshalb E (l E i = OH () , E t E 2 = OH j, E 2 E 3 = „ OH ,, ... macht, in ihren Mittelpunkten A 0 , A t , A -,, ... „eine Parabel, deren Axe mit h parallel ist. — Ein Körper, „der, von einer constanten mit h parallelen Kraft getrieben, „diese Parabel beschreibt, legt die Abschnitte A () A l , A t A 2 ,... „derselben in gleichen Zeiträumen zurück, und wenn ein „solcher Zeitraum zur Zeiteinheit genommen wird, so werden durch die Linien E 0 E n E L E 2 , ... die Geschwindigkeiten in A (l , A l , ... und durch H () II, die beschleunigende „Kraft darges teilt.“ Drittes Kapitel. Theorie der epicyklischen Bewegung. $• 28 . Aufgabe. Um einen festen Punkt 0 (Fig. 18.), als Mittelpunkt, bewegt sich ein Körper A gleichförmig in einem Kreise; zu gleicher Zeit belegt sich in der Ebene dieses Kreises ein zweiter Körper A l gleichförmig um A, als Mittelpunkt, in einem Kreise; eben so ein dritter Körper A 2 um den zweiten, ein vierter A z um den dritten, u. s. w. Es sind die Halbmesser OA = - a , AA t = a L , A 1 A 2 — a ,, etc. dieser Kreise, die constanten Winkelgeschwindigkeiten n, n l , n 2 , ... der Körper A, A i , ... bei ihren Kreisbewegungen und nächsldem die Winkel «, a t , a 2 , ... gegeben, welche die Halbmesser OA , AA t , A 1 A 2 , ... in einem gewissen Zeitpunkte T mit einer in der Ebene durch 0 gelegten festen Geraden OR bilden. Man soll in Bezug auf ein rechtwinkliges Axensystem, dessen Axe der x OR ist, die Coordinaten x, y\ x lt y x ; etc. der Körper A , A t , ... am Ende einer seit T verflossenen Zeitlänge t finden. Theorie der epicvklischen Bewegung. hl Auflösung. Unter der Voraussetzung, dass alle Winkel in der Ebene nach einerlei Sinne, etwa von der Rechten nach der Linken, gerechnet werden, und dass hiernach jede der Winkelgeschwindigkeiten n, n l} ... als positiv oder negativ angesehen wird, jenachdem die Kreisbewegung, zu welcher sie gehört, nach links oder rechts um den Mittelpunkt des Kreises vor sich geht, sind die Winkel von OA, AA X , A 1 A 2 , ... mit OB, welche znr Zeit T, — a, a x , a 2 , ... waren, am Ende der Zeit t, = a + nt, + n 1 t, a 2 -\-n 2 t, etc. Man setze die letztem, der Kürze willen, — A, Aj, A 3 , ... Seien nun B, B L , B 2 , ... die Projectionen der Oerter, in denen sich A, A L , A 2 , ... zur Zeit t befinden, auf OB oder die Axe der x, und C, C 1} C 2 , ... die Projectionen derselben Oerter auf die Axe der y , deren positive Richtung übrigens so bestimmt sei, dass sie mit der Axe der x einen Winkel von 90°, nicht von 270", bilde. Alsdann ist ersichtlich OB = a cos A, Bß L = a L cos A 3 , B 2 B 2 = a, cos A 2 , ... OC= a sin A, Cü l —■ a L sin A x , C L C 2 = a, sin A 3 , ... Hiermit aber sind zugleich die gesuchten Coordinaten von A, A t , ... gefunden. Es ist nämlich bei gehöriger Rücksicht auf die Vorzeichen der trigonometrischen Functionen: x = OB = a cos A, y = OC = a sin A; x L = OB l = Oß + BB t = a cos A + a L cos A 3 , y t = OC L = OC -f- CC 1 = a sin A -f- a x sin A x ; x 2 = OB 2 = OB l 4 -B 1 B 2 = a cos A+ a l cos A 1 + a 2 cos Aj, y 2 = OCo = OC L + C 2 C 2 = a sin A + a L sin A x + a 2 sin ^; u. s. w. u. s. w. Zusätze, a. Durch die erhaltenen Formeln wird zugleich die Bewegung der Körper dargestellt, da man nach ihnen, nachdem darin für A, A,, ... ihre durch t ausgedrückten Werlhe substituirl worden, die Oerter der Körper für jeden Zeitpunkt berechnen kann. Eliminirt man t aus den Formeln für die zwei Coordinaten eines Körpers, so erhält man die Gleichung für die vom Körper beschriebene Bahn. So führt die Elimination von t aus den Gleichungen x — a cos (a -f- nt) und 48 Erster Abschnitt. Drittes Kapitel. y — a sin (« + nt) zu der Gleichung xx + W — aa , die, wie gehörig, dem Kreise zukömmt, der von A um 0 beschrieben wird. Ein anderes nicht minder einfaches Beispiel gewährt die Annahme, dass sich der Körper A L um A mit einer Winkelgeschwindigkeit bewegt, die derjenigen, mit welcher sicli A um 0 bewegt, gleich und entgegengesetzt ist, dass also n L = — n ist. Da bei einer solchen Bewegung der Winkel OAA, nach und nach alle möglichen Werthe annimmt , so wollen wir der Einfachheit willen setzen, dass für t= 0, OA und A/t, einerlei Richtung, und zwar die der festen Linie OR, haben. Dies giebt « = ß x =-0, folglich l~nt, % 1 — — nt und x t — a cos nt + a L cos nt, y± — a sin nt — a i sin nt. Hieraus fliesst nach Elimination von t: C® + n i ) 2 ' l®— ®i)~ A, beschreibt demnach unter der gemachten Annahme eine Ellipse, welche 0 zum Mittelpunkte hat, und von welcher die halbe grosse Axe = a + a L , die halbe kleine = a — a L ist. b. Die zu dem von A beschriebenen Kreise hinzugesetzten Kreise, in denen sich die folgenden Körper A,, A 2 , ..., jeder um den vorhergehenden, als Mittelpunkt, bewegen, nennt man Epicykeln, und hiernach die absoluten Bahnen dieser Körper Epicykloiden. Je mehr Kreisbewegungen man zu einer solchen epicyklischen Bewegung zusammensetzt, desto grösser wird die Anzahl der von einander unabhängigen conslanten Grössen, und desto mehr wird man die Bewegung des den letzten Kreis beschreibenden Körpers nach seiner Willkühr bestimmen können, wenn es frei steht, jene Grössen nach Belieben anzunehmen. Auch lässt sich in der That zeigen, dass auf solche Weise jede beliebige Bewegung, wenigstens jeder innerhalb eines endlichen Zeitraumes vor sich gehende Theil derselben, so nahe, als man will, dargestellt werden kann. 59 Theorie der cpicyklisclicn Bewegung. §• 29. Aufgabe. Die beschleunigenden Kräfte zu bestimmen, durch welche die epicyklischen Bewegungen der Körper A, , A 2 , ... hervorgebracht werden. Auflösung. Die auf den Körper A bei seiner Kreisbewegung um- 0 wirkende Kraft ist — n-a und hat die Richtung AO (§. 22.). Eben so würde auf den Körper A i zufolge seiner relativen Bewegung um A, wenn A in Ruhe wäre, eine Kraft — n , 2 a L nach der Richtung A X A wirken. Es ist aber die absolute Bewegung von A 1 aus der absoluten Bewegung von A und aus der relativen von A 1 gegen A zusammengesetzt (§. 5. b.) und wird daher (§. 24.) von einer mit AO parallelen Kraft n~a und der nach A t A gerichteten Kraft n t 2 a [ in Vereinigung hervorgebracht. Auf gleiche Art sind es diese zwei atif A, wirkenden Kräfte, parallel mit sich an den dritten Körper A 2 verlegt, und ausserdem noch die zur relativen Bewegung von A 2 um A L nöthige nach Ä L gerichtete Kraft n., 2 a 2 , wodurch die absolute Bewegung von A 2 erzeugt wird; u. s. w. Man substituire nun für jede dieser Kräfte die zwei, welche man erhält, wenn man sie parallel mit den Axen der x und der y zerlegt. Auf solche Weise reduciren sich alle auf einen der Körper wirkenden Kräfte auf zwei, mit den beiden Axen parallele, indem man für alle nach einer und derselben Axe wirkende Kräfte eine einzige setzen kann, welche ihrer Summe gleich ist. Es sind aber zur Zeit t die Winkel von OA, AA y , ... mit der Axe der x, --- X, X t , ...; also die Winkel der entgegengesetzten Richtungen AO, AjA, ... mit derselben Axe, = X + 180°, X L + 180°, etc. Wenn man daher die Kräfte n 2 a, nfa^, ..., welche zur Zeit t die letztgedachten Richtungen haben, nach den Axen der x und der y zerlegt, so erhält man: n 2 a cos (X + 180°) und 11 2 a sin (X + 180°), d. i. — n 2 a cos X und — n 2 a sin A; — n 1 2 a i cos X L und — sin X\ u. s. w. Setzt man also noch die gesuchten Kräfte, welche zur Zeit t auf die Körper A, A 1} A 2 , ... Moellius , Mecli. d. nimm. 4 30 Erster Abschnitt. Drittes Kapitel. nach den Richtungen der beiden Axen wirken, resp. X und Y, X 2 und , X 2 und I 3 , etc. so ist X -=-■ — n 2 a cos A, Y = —■ n-a sin A; X t = — n 2 a cos A — n 1 2 a L cos A x , } 1 — n 2 a sin A — n L 2 a L sin A x ; X, =» tt- n 2 a cos A —■ ii) 2 a t cos A £ — n., 2 a 2 cos A,, Y 2 — — n 2 a sin A — sin A x — n 2 2 a 2 sin A 3 ; u. s. w. u. s. w. §. 30. Die in den zwei vorigen §§. erhaltenen Resultate lassen sich folgendergestalt in Einem zusammenfassen: Bewegt sich ein Körper M in einer Ebene dergestalt, dass in Bezug auf zwei sich rechtwinklig schneidende Axen seine Coordinalen x — a cos A + a L cos -f- a 2 cos A, + ,.. y — a sin A + fl, sin A x + öo sin A 2 + ,., sind, wo a, a L , a 2 , ... Linien von conslanter Länge und A, A x , A L ,, ... der Zeit proportional sich ändernde Winkel bedeuten, so ist die ihn beschleunigende Kraft aus den zwei mit den Axen der x und der y parallelen Kräften X— — n 2 a cos A — n L 2 a L cos A x — n 2 2 a, cos A, — ,.. Y— — n 2 a sin A — n I 2 a L sin A x — n 2 2 a 2 sin A 2 — ... zusammengesetzt, wobei n, n l , n 2 , ... die Geschwindigkeiten sind, mit denen sich die Winkel A, , A 3 , ... ändern. Sehr einfach gelangt man zu diesem Resultate auch durch die Betrachtung, dass die Bewegung des Körpers aus den zwei durch die Formeln für x und y dargestelllen, in den Axen der x und y vor sich gehenden, Bewegungen zusammengesetzt ist, dass die Bewegung in der einen, wie in der andern Axe, aus den Bewegungen, welche durch die einzelnen Glieder a cos A, ... und a sin A, ... ausgedrückt werden, zusammengesetzt ist, und dass die Kräfte, welche die letztem Bewegungen erzeugen, nach §. 21. 2. = — nna cos A, ... und — nna sin A, ... sind. 51 Theorie der epicyklischen Bewegung. s. 31. Wegen der bald folgenden astronomischen Anwendungen wollen wir den Ort des sich in einer Ebene bewegenden Körpers 31, statt ihn, wie vorhin, durch rechtwinklige Coor- dinaten anzugeben, durch Polarcoordinaten bestimmen, nämlich durch seinen Abstand r, = 031, von dem festen Punkte 0 und durch den Winkel l, = HO31, dieser Abstandslinie mit der festen Linie OB, von welcher an die Winkel a, a ,, ... H, Aj, ... gerechnet wurden. Hiermit wird x — r cos l und y = r sin l. Eben so kommt, wenn wir statt der Kräfte X und Y die aus ihnen zusammengesetzte Kraft selbst ein- lühren, dieselbe = P und den Winkel ihrer Richtung mit OB, — cp setzen: X = P cos cp und Y =■■ P sin cp. Die Formeln für die Bewegung und für die sie erzeugende Kraft werden damit: ( 1 ) r cos 1 = a cos A + % cos A 1 -f- . . . , ( 2 ) r sin l — a sin l + a L sin + ..., (3) P cos cp — — n-a cos l — n l 2 a i cos — ..., (4) P sin cp ~ — n 2 a sin l — nf a L sin A x — .... Wenden wir diese Formeln auf das in §. 28. a. beigebrachte Beispiel einer elliptischen Bewegung an, welche aus zwei einander entgegengesetzten Kreisbewegungen zusammengesetzt war, so kommt, weil dabei n t — — n und a 2 , a 3 , ... = 0 ist: P cos cp = — n 2 (a cos l + a 3 cos A,) — — n 2 r cos l, P sin cp — — n 2 ( a sin l + a L sin l,) = — n 2 r sin l, folglich 9 o — l und P — — n 2 r, d. h. die Kraft ist nach dem Mittelpunkte 0 der Ellipse gerichtet und dem Abstande des Körpers von demselben proportional. §. 32. Um die Gleichungen (1), .. (4) auf eine für ihren fernem Gebrauch noch passendere Form zu bringen, addire man ( 1 ) und ( 2 ), nachdem man vorher ( 1 ) mit cos l und ( 2 ) mit sin l multiplicirt hat. Man subtrahire hierauf (1) von ( 2 ) , nachdem ( 1 ) mit sin l und ( 2 ) mit cos / multiplicirt 4* 52 Erster Abschnitt. Drittes Kapitel. worden. Dies giebt au der Stelle von (1) und (2) die Gleichungen: (a) r — a cos (A — 0 + a L cos (X L — l) + ..., ( b) 0 = a sin (A — /) -f a L sin (A, — /) + .... Behandelt man ganz auf dieselbe Weise die Gleichungen (3) und (4), so kommt an deren Statt: (c) T— — n 2 a cos (A — 1) — w 1 2 « 1 cos (A x — l) — ..., (d) V= — n 2 a sin (A — l) — n y 2 a L sin (l L — l) — ..., wo T und V für P cos (

r rt 3 , wegen (c) und (/'); (rt)' =— n{n —/) ff sin (A— 1) — n L (n L — t) a, sin (l, — l) —... (ff)....= V — r't, wegen (d) und (e). Hiernach, und weil (rt)', oder die Geschwindigkeit von rt, — ri' -f- rl" ist (§. 11. 2*), hat man zuletzt (D) T = r" — rt 3 und F=2 rt+rl", als die gesuchten Ausdrücke von T und V. Auch werden diese Formeln, obschon bloss aus der Theorie der zusammengesetzten Kreisbewegung hergeleitet, dennoch allgemeine Gültigkeit haben, da jede Bewegung in einer Ebene als aus gleichförmigen Kreisbewegungen zusammengesetzt angesehen werden kann (§. 28. b.). §. 37. Zusätze, ff. Zwischen der auf dem Radius r perpendikulären Kraft V und der Geschwindigkeit \ c der Flächengeschwindigkeit \c findet eine sehr einfache Beziehung statt. Nach §. 35. ist nämlich c r . rt ; von r . rt ist aber die Geschwindigkeit = r (rt)' + r . rt = rV (voriger §. («)); mithin c - rV. Es folgt hieraus weiter, dass, wenn c=0 ist, also die Flächengeschwindigkeit l c constant bleibt, dann auch V— 0 ist, und sich somit die Kraft F auf T allein reducirt, und Theorie der epieyklischen Bewegung. 51 ) umgekehrt; oder deutlicher: Bewegt sich ein Körper M in einer Ebene dergestalt, dass der Radius OM der Zeit proportionale Flächen beschreibt, so wirkt die Kraft in der Richtung des Radius; und umgekehrt: Wenn die Richtung der auf M wirkenden Kraft stets denselben festen Punkt 0 trifft, so (bewegt sich M in einer Ebene) und der Radius OM beschreibt in gleichen Zeiten gleiche Flächen. So muss z. B. bei der aus zwei Kreisbewegungen zusammengesetzten elliptischen Bewegung (§. 28. a.), weil bei ihr die Kraft stets nach dem Mittelpunkte der Ellipse gerichtet ist (§. 31.), die Flächengeschwindigkeit in Bezug auf denselben Punkt constant sein. Es geschieht daher diese Bewegung nach dem nämlichen Gesetze, wie die in §. 24. 2. betrachtete, so wie auch bei beiden Bewegungen die Kraft nach einem und demselben Gesetze wirkt. b. Die Relation c ^-=rV und die daraus gezogene merkwürdige Folgerung lassen sich auch leicht durch Conslruction erweisen. — Seien AB und RC (Fig. 20.) die in zwei auf einander folgenden und einander gleichen Zeitelementen, deren m auf die Zeiteinheit gelten, vom Körper beschriebenen Wege. Man vollende das Parallelogramm ABCD, so ist die in R den Körper treibende Kraft = mm.RD-, und wenn man von D auf OB das Perpendikel DE fällt, so ist T=mm.RE und Y = mm.ED. Ferner ist die Flächengeschwindigkeit \c —m . OAR , und die Geschwindigkeit \c, mit der sich dieselbe ändert, = m (m . ORC — m. OAB). Es ist aber, wenn AD von RO in F und von einer durch C mit RO gezogenen Parallele in G getroffen wird, DG '= AF, und daher das Dreieck ORC = ORG = ORD + ODG + DBG, OAB = OAF + ARF = ODG + DBG, ■ folglich OBC — OAR = OBD *) und damit ^c = mm . ORD = i mm . ED . OB = \Vr, wie zu beweisen w'ar. *) Wird von niehrern Dreiecken, welche in einer Ebene liegen und durch Nebeneinanderstellung der ihre Ecken bezeichnenden Iiuch- staben ausgedriiekt sind, jedes derselben, wie OAB, seinem Inhalle 00 Erster Abschnitt. Drittes Kapitel. Bleibt die Flächengeschwindigkeil ungeiindert, ist also OAB = OBC, so wird OBD = 0, und es fällt der Punkt D, mithin auch die Richtung der Kraft, in den Radius. — Noch unmittelbarer erhellet dieses, wenn man in der Verlängerung von AB, BH — AB (Fig. 20.*) macht, wodurch OAB = OBII wird. Alsdann ist HC parallel mit der Richtung der Kraft in B (§. 19.), und bei constanter Flächengeschwindigkeit OBC —OAB, folglich auch == OBII, mithin HC mit BO parallel. c. Die für T und V gefundenen allgemeinen Ausdrücke lassen sich noch auf mehrere andere Arten als richtig dar- thun. Folgender Beweis, den ich aber der Kürze wegen mehr nur andeuten, als ausführen, will, beruht auf einer geometrischen Betrachtung und scheint mir deshalb der Mittheilung werlli, weil sich dadurch zugleich die Bedeutung der einzelnen Glieder von T und V zu erkennen giebl. Haben 0, A, B, C (Fig. 21.) dieselbe Bedeutung, wie vorhin. Man trage OA auf OB und OC von 0 bis D und E, und mache, von einem beliebigen Punkte F ausgehend, FG = DB und FH = EC. Die Bewegung ABC ist somit in die zwei: ADE und FGH zerlegt, von denen die erstere in einem Kreise um 0 geschieht und die letztere auf der erstem normal ist. Heissen nun N und M die Normalkraft und die Tangentialkraft bei der Bewegung ADE ; N t und M t - nach positiv oder negativ genommen, je nachdem, von der in seinem Ausdrucke zuerst gesetzten Ecke 0 aus, die Richtung von der zweiten A nach der dritten R nach links z. B. oder nach rechts gehend erscheint, so gilt obige Gleichung, was auch der Punkt 0 für eine Lage gegen das Parallelogramm ARCD haben mag, und kann, wenn man will, auch also geschrieben werden: ORC 4 - ORA = ORD. Sie drückt unter dieser Form den bemerkenswerthen Satz aus: „Von drei Dreiecken in einer Ebene, welche eine gemeinschaftliche „Ecke 0 und zu gegenüberstehenden Seiten zwei anstossende Seiten „RC und RA, und die durch derselben gemeinschaftliche Ecke gehende „Diagonale RI) eines Parallelogramms haben, ist die Summe der bei— „den ersten Dreiecke dem dritten gleich.“ Siehe des Verf. Lehrbuch der Statik, §. 34. Theorie der epicjklischen Bewegung. (il dasselbe bei der Bewegung FG1I, so sind es auch diese vier Kräfte, durch welche die aus ADE und FGH zusammengesetzte Bewegung ABC erzeugt wird; und zwar wird T = N3^ und V=M + N[ sein. Es ist aber N = — rl' 2 , M l = r", M rl", N t = 2r't. Von der Richtigkeit der drei ersten dieser vier Gleichungen wird man sich ohne Schwierigkeit aus §. 23. überzeugen. Die vierte beruht auf dem leicht erweislichen Satze, dass bei jeder Bewegung die Normalkraft gleich der Geschwindigkeit des Körpers, muUiplicirt mit der Winkelgeschwindigkeit der durch ihn an die Bahn gelegten Tangente, ist. Bei der Bewegung FGFI ist aber die Geschwindigkeit == m . FG = m . DB — r, und die Winkelgeschwindigkeit der Tangente = m . FG h GH — 2 m . BOC — 21' ; denn es ist unendlich nahe OC — OB = OB — OA, folglich EC — 2 DB, d. i. FH — 2FG , also FG A GH — KGH = 2F = 2BOC. §. 38. Bis jetzt haben wir in diesem Kapitel nur solche Bewegungen in Betracht gezogen, welche in einer und derselben Ebene vor sich gehen. Wir wollen daher schliesslich noch bei einem sich beliebig im Raume bewegenden Körper die ihn treibende Kraft zu bestimmen suchen. Die vorigen Coordinaten x und y oder r und l mögen alsdann die Coordinaten des auf eine unbewegliche Ebene projicirlen Körpers b#deuten. Sein Abstand von der Ebene zur Zeit t sei, analog mit den vorhergehenden Coordinatenausdriicken: z = K sin ß' + h" sin ß" + A"'sin ..., wo h\ li", h’", ... Linien von conslanter Länge und ß', /3", ß'", ... der Zeit proportional sich ändernde Winkel vorstellen. Hiermit haben wir die Bewegung des Körpers in zwei zerlegt, von denen die eine in der unbeweglichen Ebene, die andere in einer diese Ebene rechtwinklig schneidenden Geraden geschieht. Nach §. 24. wird folglich die beschleunigende Kraft zusammengesetzt sein aus zwei Kräften, parallel und gleich den Kräften X und Y oder T und V, welche die Bewegung in der Ebene hervorbringen, und aus einer auf (52 Erster Abschnitt. Drittes Kapitel. der Ebene perpendikulären Kraft, welche die durch z aus- gedrückte geradlinige Bewegung erzeugt. Es ist daher nur noch übrig, diese letztere Kraft, welche W heisse, zu bestimmen. Sie findet sich, wenn wir die Geschwindigkeiten, mit denen sich die Winkel ß', ß", ... ändern, resp. = p, p", ... setzen, nach der zu Ende des §. 30, gemachten Bemerkung: W — pH sin ß' — sin ß" — Zweiter Abschnitt. Von den Kräften, durch welche die Bewegungen der Himmelskörper hervorgebracht werden. Erstes Kapitel. Von der elliptischen Bewegung der Planelen. §. 39. Nachdem wir uns im vorigen Abschnitte mit den Grundlehren der Dynamik so weit, als es vor der Iland nöthig schien, bekannt gemacht haben, gehen wir jetzt zu dem Ilauptgegenstande unserer Untersuchungen, zu der Anwendung jener Lehren auf die Bewegung der Himmelskörper, über. Die Gesetze, nach denen sich diese Bewegungen richten, sind, wenn wir einstweilen kleine dabei vorkommende Anomalieen unberücksichtigt lassen, sehr einfach und überall die nämlichen, was darauf hindeutet, dass auch die bei diesen Bewegungen thätigen Kräfte ein ganz einfaches und überall auf gleiche Weise statt findendes Gesetz befolgen werden. Die Entwickelung dieses Gesetzes und seiner nächsten Folgen ist der Zweck des gegenwärtigen Abschnittes. Betrachten wir deshalb zuerst die Bewegungen der Planeten um die Sonne. Durch Beobachtungen und darauf gestützte Rechnungen hat KEPLER (geb. 1571, gest. 1630) gefunden: 1) dass jeder Planet eine Ellipse beschreibt, in deren einem Brennpunkte sich die Sonne befindet; 2) dass jeder Planet in seiner Ellipse dergestalt fortgeht, dass die von der Sonne bis zu ihm zu ziehende Gerade der Zeit proportionale Flächen überstreicht, und 3) dass die Quadrate der Umlaufszeiten je zweier Planeten sich wie die Würfel ihrer miltlern Entfernungen von der Sonne verhalten. Moebius, Mecli. d. Himm. 5 0(5 Zweifcr Abschnitt. Erstes Kapitel. Diese drei Gesetze, welche die Grundlage der gesamm- ten physischen Astronomie bilden, werden nach ihrem Entdecker die Kepler’sehen Gesetze genannt. Anmerkung. Die Sonne und die Planeten sind sehr nahe kugelförmig, und das jetzt von der gegenseitigen Bewegung dieser Kugeln Ausgesprochene ist, streng genommen, von der Bewegung ihrer Mittelpunkte zu verstehen. Indessen sind die Durchmesser dieser Kugeln gegen ihre Abstände von einander so gering, dass man crslere im Vergleich zu letzteren beinahe als physische Punkte anschen kann. So ist der Durchmesser der Sonne lOmal grösser als der des grössten Planeten, Jupiters, und doch nur etwa der 42ste Tlieil ihrer Enlfernung von dem ihr nächsten Planeten, Merkur; er ist aber kleiner als der 2000ste Tlieil des Abstandes der Sonne von dem entferntesten Planeten Uranus. §• 40. Die zwei Brennpunkte F und S (Fig. 22.) einer Ellipse sind bekanntlich zwei in der grossen Axe AP derselben auf entgegengesetzten Seilen und gleichweit vom Mittelpunkte M liegende und von den Endpunkten der kleinen Axe CD um die halbe grosse Axe entfernte Punkte, so dass z. B. SC =- 31P ist. Sie besitzen die merkwürdige Eigenschaft, dass die Summe ihrer Abstände von irgend einem Punkte der Ellipse stets der grossen Axe gleich ist, — wie dies in Bezug auf die vier Endpunkte der beiden Axen aus der gegebenen Definition auf den ersten Blick folgt. Der Bruch, welcher angiebt, der wievielste Theil der halben grossen Axe der Abstand eines der beiden Brennpunkte vom Mittelpunkte ist, heisst die Excentricität. Bezeichnen wir dieselbe mit e und die halbe grosse Axe mit a, so ist MS = ae, und die halbe kleine Axe MC = y (SC 2 — MS 2 ) = y (a 2 — a°- e 2 ) = a y i—e 2 — a (1 — \e 2 — ^ e* — ...), folglich der Unterschied zwischen beiden Axen, d. i. der Unterschied zwischen dem grössten und dem kleinsten Durchmesser der Ellipse, = a (e 2 + l ^ 4- ••)• Alle Ellipsen, für welche die Excentricität e gleichen Werth hat, sind einander ähnlich; durch e wird daher die Form der Ellipse bestimmt. Je weniger e von 1 verschieden ist, desto länglicher ist die Ellipse, und je kleiner e ist, 07 Elliptische Bewegung »1er Planeten. desto mehr nähert sie sich einem Kreise, in den sie für e — 0 selbst übergeht. §. 41 . Stelle die Ellipse der Figur die Bahn eines Planeten vor; im Brennpunkte S sei die Sonne. Yon den zwei Endpunkten der grossen Axe ist alsdann der dem S näher liegende P zugleich derjenige Punkt der Bahn, in welchem der Planet der Sonne am nächsten kommt, und wird daher das Perihelium oder die Sonnennähe genannt. Befindet sich der Planet im andern Endpunkte A, so ist er am weitesten von der Sonne entfernt, weshalb der Punkt A das Aphelium oder die Sonnenferne heisst. Beide Punkte begreift man auch unter dem Namen der Apsiden und nennt die Linie AP, sobald man bloss ihre Lage, nicht ihre Länge berücksichtigt, die Apsidenlinie. Die kleinste Entfernung des Planeten von der Sonne ist hiernach SP — MP — MS — a (1 — e), die grösste SA = MA + SM = a (1 + e), und daher die mittlere = a — der halben grossen Axe. Zu Folge des vorigen §. befindet sich der Planet in dieser mittlern Entfernung, wenn er durch den einen oder andern Endpunkt der kleinen Axe geht. §. 42 . Die Bahnen der Planeten sind so wenig excentrisch, dass die meisten von ihnen beim ersten Anblicke Kreise zu sein scheinen. Unter den Bahnen der älteren Planeten haben die des Merkur und des Mars die grösste Excentricität, nämlich i und T ' T ; die grösste nach diesen, = T V, hat die Bahn des Saturn. Hierauf folgen die Excenlriciläten der Bahnen des Jupiter (und die ihr gleiche des Uranus), der Erde und der Yenus, = ,' T , ^ und T ^. Durchschnittlich grösser sind sie bei den erst in diesem Jahrhunderte entdeckten Planeten Ceres, Pallas, Juno und Vesta, nämlich |, x 't> Bei dieser Kleinheit der Excentricitäten e wird es als erste Annäherung an die planetarischen Bewegungen hinreichen, wenn wir bloss die erste Potenz von e berücksichtigen, die zweite und höheren aber vernachlässigen. 5 * (;S Zweiter Abschnitt. Erstes Kapitel. Zunächst werden wir daher den Unterschied zwischen dem grössten und dem kleinsten Durchmesser einer elliptischen Bahn, = ae- + ... (§. 40.), unbeachtet lassen, und hiernach die Bahn als einen Kreis betrachten, welcher 31A oder 3IC, :=«, zum Halbmesser und M zum Mittelpunkte hat, von dem die Sonne S um die gegen a nur geringe Entfernung ae absteht. Dabei wird, wie im Vorigen, die Gerade MS die Balm in dem der Sonne am nächsten und dem am fernsten liegenden Punkte, P und A, treffen. $. 43. Befinde sich der Planet in einem beliebigen Punkte L seiner Bahn. Die von der Sonne bis zu ihm gezogene Gerade SL heisst der Radius Yector, und der Winkel PSL, um welchen die von der Sonne nach dem Perihel zu ziehende Gerade SP nach dem Sinne der Bewegung des Planeten (in der Figur nach links) gedreht werden muss, bis sie mit dem Radius Veclor zusammenfällt, die wahre Anomalie des Planeten. Diese beiden Stücke, die Polarcoordinaten des Planeten in Bezug auf die Sonne als Anfangspunkt und die Apsidenlinie als Grundlinie, wollen wir jetzt mit Weglassung der zweiten und höheren Potenzen von e (voriger §.) durch die Zeit t zu bestimmen suchen, die seit dem letzten Durchgänge des Planeten durchs Perihel verflossen ist. Man setze den Radius Veclor SL — r, die wahre Anomalie PSL = v und den Winkel SLM --- i , und fälle von M auf SL das Perpendikel MN, so ist im Dreieck MNS, MS — ae, MSN .-■= v, folglich NM — ae sin v, NS — ae cos v. Im Dreieck 31NL aber, wo 3IL — 31P= a ist, hat man N3'I= a sin i, NL — a cos i\ folglich sin i = e sin v und a cos i — ae cos v + »’• Wegen der erstem dieser Gleichungen ist aber sin i, eben so wie e, eine sehr kleine Zahl, deren zweite und höhere Potenzen vernachlässigt werden können. Deshalb, und wenn man hier, wie im Folgenden, zur Einheit der Winkel denjenigen (— 57°, 29G, §. 14.) wählt, der von einem dem 61 » Elliptische Bewegung der Planelen. Halbmesser gleichen Bogen gemessen wird, kann man stall jener zwei Gleichungen auch schreiben: i = e sin v und a = ae cos v + r, d. i. r = a (1 — e cos v). Nun überstreiclit der Radius Veclor während der Zeit t die Fläche SPL und während der Umlaufszeit, welche U heisse, die ganze Fläche der Bahn, d. i. die mit einem Halbmesser a beschriebene Kreisfläche = naa. Nach dem zweiten Kepler’sclien Gesetze muss sicli daher verhalten Fläche SPL : naa — t: U. Es ist aber der Winkel PßlL =-- v — i ---■ v — e sin v ; folglich die Fläche MPL ~ aa (o — e sin v). Die Fläche ßJSL ist = SL -- \ae sin v . a (1 ----- e cos v) - - i aue sin v , und daher die Fläche SPL — MPL — MSP — % aa ( v — 2e sin »). Hiermit wird die obige Proportion : v — 2e sin v : 2je =- t : U. Setzt man daher noch 2% : U n, wo also n die mittlere Bewegung des Planeten, d. i. die Winkelgeschwindigkeit des Radius Yector bedeutet, welche er haben würde, wenn er sich gleichförmig , in der Zeit U einmal, um die Sonne drehte, so wird v — 2e sin v nt ; und hiermit lässt sich aus dem Winkel v die Zeit t finden, in welcher er beschrieben worden. Soll aber umgekehrt, wie gefordert wurde, aus der Zeit der Winkel berechnet werden, so hat man v — nt + 2e sin v = nt -f 2e sin (nt + 2e sin »), d. i. (1) v — nt -f 2e sin nt. Flben so findet sich r , durch t ausgedrückt, = a (1 — e cos (nt + 2e sin »)) d. i. (2) r^a( 1 — e cos nt). Dabei ist nt der Winkel, den der Radius Yector mit mittlerer Bewegung während der Zeit t beschreibt. Er wird, wenn, wie hier, die Zeit vom Durchgänge durchs Perihel an gerechnet.wird, die mittlere Anomalie und der da- 70 Zweiter Abschnitt. Erstes Kapitel. durch bestimmte Ort der mittlere Ort des Planeten genannt. Oer Unterschied zwischen der miltlern und wahren Anomalie oder der Unterschied zwischen dem mildern und wahren Orte, also der Winkel v — nt, =■ 2e sin nt, heisst die Mittelpunktsgleichung. Ihr grösster Werth ist = + 2e und findet für nt = 90° und = 270", also in den beiden Mitten zwischen Perihel und Aphel, statt. Im Perihel und Aphel selbst aber fällt der wahre Ort mit dem mildern zusammen, und die Mittelpunktsgleichung ist null. Zusätze, a. Bei der gestatteten Vernachlässigung von e~, ... kann man auch setzen: e sin (o — i), d. i. der Winkel Al LS e sin SAU, ; und eben so ist, wenn man noch FL zieht: MLF— e sin FML\ folglich FLMMLS— i und FFL v — FLS — v — 2i --- v — 2e sin v — nt — der mitt- lern Anomalie. Der Winkel FFL wächst folglich der Zeit proportional, d. h. die Bewegung, aus dein Brennpunkte betrachtet , in welchem die Sonne nicht steht, erscheint gleichförmig, sehr nahe wenigstens. Eine von S aus parallel mit FL gezogene Linie SA ist daher nach dem mittlern Orte gerichtet, und der Winkel ASL FLS = der Mittelpunktsgleichung. b. Damit der Planet, von F aus betrachtet, sich gleichförmig zu bewegen scheine, muss seine wahre Geschwindigkeit in demselben Verhältnisse ab- und zunehmen, in welchem er sich dem F nähert und von F entfernt. Sie ist folglich im Perihel am grössten, im Aphel am kleinsten, und ihr grösster Werth verhält sich zu ihrem kleinsten wie FF zu FA, d. i. wie 1 -f e zu 1 — e. Anmerkung. Den Gleichungen (2) und (1) kann man auch die Formen geben: r — a + | ae cos (180 (l •— A) + ^ ae cos (2A ■— A), v — l + •’ e sin (180" — A) + -1 e sin (2A — A), wo A == nt Vergleicht man diese Formen mit denen von r und l in §. 33. («') und (//), so sieht man, dass die Bewegung von L um S folgendergeslatt sich epicyklisch darstellen lässt. Man lasse (Fig. 22*.) Q um S, 0 um Q und L um 0 in den Abständen SQ — a, QO — iae und OL — kae sich also drehen, Elliptische Bewegung der Planeten. 71 dass zur Zeit l die Winkel dieser Linien mit SP resp. = nt, 180" und ‘Int sind; oder, was auf dasselbe hinauskomnil: Wan trage über M hinaus eine Linie SR (e= QO) ----- §SM und lasse um R einen Punkt 0 in der mittlern Entfernung a mit der miltlern Bewegung ti, und um 0 den Planeten L in einer Entfernung =- ^SR mit dem Doppelten der mittlern Bewegung Kreise beschreiben, und dieses so, dass, wenn RO mit RI’, auch OL mit IIP einerlei Richtung hat. Es ist dies genau dieselbe Conslruclion, nach welcher Co- pernicus die Planeten sich um die Sonne bewegen lässt. Copern. de revolut. orbium coelest. Iib. V. cap. 4. Die im vorigen Zusatz angegebene Construction, nach welcher L um 31 sich in einem Abstande — a so bewegt, dass die Bewegung von F aus gleichförmig erscheint, gehört dem Ptolemäus an, nur dass dieser in S nicht die Sonne, sondern die Erde, ruhend annimmt. Almagcst. Iib IX. cap. 5. ■— Beide Astronomen haben daher die in Rede stehende Bewegung bis auf die erste Potenz der Excen- tricilät genau dargeslelll. Die siderische Umlaufszeit der Erde um die Sonne betrügt 3G5,256 Tage mittlere Zeit. Wird ein solcher Tag zur Messung der Zeit und die mittlere Entfernung der Erde von der Sonne, wie es gewöhnlich ist, zur Messung von Raumlängen genommen, so verhält sich nach dem drillen Ivep- ler’schen Gesetze, wenn wir die Erde mit einem andern Planeten vergleichen, dessen mittlere tägliche Bewegung, in Theilen des Halbmessers ausgedrückt, n, dessen Umlaufszeit folglich = 2 ' 3 ’ t4t59 Tagen, und dessen mittlere Entfernung von der Sonne = a ist: wodurch man für jeden Planeten aus der einen der beiden Grössen a und n die andere finden kann. §. 44. (3G5,25G) 2 : = 1 : 2 . 3,14150 fl Setzt man daher noch die Zahl 2 . 3,14159 0,017202 - k 365,256 so wird 72 Zweiter Abschnitt. Erstes Kapitel. §• 45. Zur Grundlinie der Polarcoordinaten wollen wir jetzt, statt der in §. 43. hierzu angewendelen Apsidenlinie, eine beliebige andere in der Ebene der Balm durch die Sonne S gelegte Gerade SB nehmen. Der Winkel, den die von S nach irgend einem Punkte in der Ebene der Bahn gezogene Gerade mit dieser neuen Grundlinie macht, heisse die Länge des Punktes und werde, wie im Vorigen, im Sinne der Bewegung des Planeten gerechnet. Hiernach ist BSP die Länge des Perihels, BSL die Länge des wahren Orts des Planeten oder die wahre Länge und, wenn A den mittlern Ort bezeichnet, BSjI die miHiere Länge des Planeten. Setzt man diese drei Längen resp. ----- co, l und l, so ist l BSP 4- PSL - co + der wahren Anomalie, l ■- BSP 4 PSA co 4 der mittlern Anomalie. Die mittlere Länge wächst daher eben so, wie die mittlere Anomalie, der Zeit proportional, in jeder Zeiteinheit um einen Winkel n. Rechnet man ferner die Zeit t nicht von dem Durchgänge des Planeten durch das Perihel, sondern von einem beliebigen andern Zeitpunkte an, welcher die Epoche heisst, und setzt man die mittlere Länge in der Epoche == s, so ist, dem eben Bemerkten zufolge, die mittlere Länge zur Zeit t, — s 4 nt, folglich die mittlere Anomalie — s + nt — co, und damit die wahre (§. 43.) v —• £-}- nt — co 4 2e sin (e 4 -- ra )- Dies giebt für die Coordinaten die Ausdrücke: r = -■ a (i ■— e cos (s 4 nt — co)), l -- w 4 v — e -f- nt 4 2 e sin ( s 4- nt — co), Formeln, nach denen die Bewegungen aller Planeten auf einen gemeinsamen Anfangspunkt der Zeit und, dafern sie in einer und derselben Ebene geschehen, auf eine gemeinsame Grundlinie bezogen worden. Die Constanten, die deshalb für jeden Planeten besonders gegeben sein müssen, sind «, e, e und co, indem die Couslante n auf die im vorigen §. besagte Weise durch a bestimmt ist. 73 Elliptische Bewegung der Planeten. §• 46. ])a jeder Planet sich in einer die Sonne mit enthaltenden Ebene bewegt, so werden die Ebenen je zweier Planetenbahnen, wenn sie nicht zusammenfallen, sich in einer durch die Sonne gehenden Geraden schneiden. Die Beobachtungen lehren, dass die Winkel, unter denen dieses geschieht, oder die gegenseitigen Neigungen der Bahnebenen, nur wenige Grade enthalten. Die Neigungen, welche gegen die Ebene der Erdbahn die Bahnen der älteren Planeten haben, sind am grössten bei Merkur und Yenus, nämlich 7°,0 und 3°,4; bei Mars, Jupiter und Saturn sind sie 1°,9; 1°,3 und 2°,5; bei Uranus nur 0°,8. Bei den vier neuesten Planeten dagegen sind eben so, wie die Excentricitäten, auch die Neigungen gegen die Erdbahn bedeutend grösser, als bei den übrigen; sie betragen für Ceres, Pallas, Juno und Yesta resp. 10°,6; 34",C; 13°,0 und 7°,L Ausserdem, dass die Bewegungen der Planeten insge- sammt nahe kreisförmig sind und in nur wenig gegen einander geneigten Ebenen geschehen, haben sie auch noch dieses mit einander gemein, dass alle Planeten die Sonne nach einer nnd derselben Richtung umkreisen, einer Richtung, die, von der Nordseite der Bahnebenen beobachtet, von rechts nach links gehend erscheint. §• 47. Um die Verschiedenheit der Ebenen, in denen sich die verschiedenen Planeten um die Sonne bewegen, mit in Rechnung nehmen zu können, ■wollen wir alle diese Bewegungen auf eine und dieselbe beliebig durch die Sonne gelegte Grundebene und auf eine und dieselbe in dieser Ebene von der Sonne aus beliebig gezogene Grundlinie beziehen. Hiernach wird der Ort eines Planeten bestimmt sein, wenn nächst der Länge des Radius Veclor der Winkel desselben mit der Grundebene oder, was dasselbe ist, mit seiner Projection auf die Grundebene, und der Winkel dieser Projection mit der Grundlinie gegeben sind. Letzteren Winkel nennt man die Länge des Planeten in der Grundebene; sie wird 7h Zweiter Abschnitt. Erstes Kapitel. eben so, wie in §. 45. die Länge in der Bahn, im Sinne der Bewegung des Planeten gezählt. Der Winkel, den der Radius Vector mit der Grundebene macht, heisst die Breite des Planeten; sie ist nördlich oder südlich, nachdem der Planet nord- oder südwärts von der Grundebene absteht. Um nun für eine gegebene Zeit t die Länge in der Grundebene und die Breite des Planeten berechnen zu können, muss vor allem die Lage seiner Bahnebene gegen die Grundebene, also der Winkel oder die Neigung der erstem Ebene gegen die letztere und die Lage der Knotenlinie, d. i. des gegenseitigen Durchschnitts beider Ebenen, gegeben sein. Man nennt nämlich die zwei Punkte einer Planetenbahn, in denen sie von der Grundebene geschnitten wird, die Knoten der Bahn; denjenigen, in welchem der Planet von der südlichen auf die nördliche Seite der Bahn übergeht, den aufsteigenden, den andern den niedersteigenden Knoten. Beide Knoten, und die Sonne zwischen ihnen, liegen in dem Durchschnitte der Bahnebene mit der Grundebene, der deshalb die Knotenlinie heisst, und dessen Lage in der Grundebene durch die Länge des einen oder des andern Knoten — beide Längen sind um 180° verschieden — bestimmt ist. Grösserer Anschaulichkeit willen denke man sich um die Sonne als Mittelpunkt mit einem beliebigen Halbmesser eine Kugelfläche beschrieben. Seien BC und KL (Fig. 23.) die. zwei grössten Kreise dieser Fläche, in denen sie von der Grundebene und der Bahnebene geschnitten wird. Die zwei Punkte, in denen diese Kreise einander schneiden, sind einerlei mit denen, in welchen die Knolenlinie die Kugelfläche trifft, sind also die von der Sonne aus auf die Fläche projicirten Knoten oder die sphärischen Oerter der Knoten. Sei K der sphärische Ort des aufsleigenden Knoten. Trifft nun die in der Grundebene von der Sonne aus gezogene Grundlinie die Fläche im Punkte B des Kreises BC, so wird durch den Bogen BK die Länge des aufsteigenden Knoten vorgestellt. Die Neigung der Bahn aber ist der Winkel CKL. Sei endlich der Punkt L des Kreises KL der sphärische Ort des Planeten, so ist das von L auf den Kreis BC ge- Elliptische Bewegung (1er Planeten. 75 fällte sphärische Perpendikel LH die Breite, und der Bogen BII die Länge des Planeten in der Grundebene. Die Längen in der Bahn werden von einem Punkte B' der letztem an gerechnet, der eben so weit, als B, hinter I{ zurückliegt. Die Länge des Knoten, mag sie in der Bahn, oder in der Grundebene gezählt werden, ist hiernach von gleicher Grösse. Die Länge des Planeten in der Balm aber ist der Bogen B'L - BK + KL. Sind nun nächst den obigen vier Stücken a oder n, e, e und a (§. 45.), von denen die Längen s und a jetzt von B' an gerechnet werden, noch die Länge des aufsteigenden Knoten BKB'K — & und die Neigung CKL — i gegeben, so sieht man leicht, wie daraus für eine beliebige von der Epoche an gerechnete Zeit t die Länge BII des Planeten in der Grundebene und seine Breite HL berechnet werden können. Zuerst hat man nämlich die wahre Länge in der Bahn B'L — l = e + nt + 2e sin (s + nt — co) (§. 45.). Hieraus folgt IiL = l — ■0’, und durch die Formeln für das bei II rechtwinklige sphärische Dreieck KIIL : tang KH = tang (l — ■&) cos l , sin IIL = sin ( l — ff) sin t, ergeben sich die Bögen I(H und IIL , von denen, wenn t 180° ist. Hiermit aber sind die Länge in der Grundebene, BH=& + KII, und die Breite HL gefundeu. Was noch den Radius Yeclor anlangt, so wird dieser, wie im Vorigen, nach der Formel r -= a (l — e cos (e + nt — co)) berechnet; und hiermit hat man Alles, was zur Bestimmung des Orts des Planeten im Raume gehört. Die sechs zu dieser Bestimmung nöthigen Stücke: die mittlere Entfernung a und die mittlere Länge in der Epoche e, die Excentricität e und die Länge des Perihels a, die Neigung i und die Länge des aufsteigenden Knoten & nennt man die sechs Elemente der Planetenbewegung. 7(5 Zweiter Abschnitt. Erstes Kapitel. §• 48 . Da die gegenseitigen Neigungen der Balmebenen nur, wenige Grade enthalten, so können wir die Grundebene immer dergestalt wählen, dass die Neigungen der Bahnebenen gegen diese Ebene ebenfalls sehr gering sind, Indem wir uns alsdann gestalten, von den Neigungen eben so, wie früher von den Excentricitäten, bloss die erste Potenz beizubehalten und daher stall sin i und cos t resp. i und 1 zu setzen, wird zu Folge der obigen Formeln: lang KII = taug (l —■ ff), also KII = l — ff, und die Länge in der Grundebene BH = & -f- KII = l — der Länge in der Bahn = £ -f- nt -j- 2e sin (s + nt — co). Die Breite aber wird: IIL — l sin (l — &) = t sin (e + nt — ft), weil auch noch das Product te weggelassen werden kann. Anmerkung. Wenn aus der Länge in der Bahn die Länge in der Grundebene gefunden werden soll, so wird es wegen der Kleinheit von i auch bei einer scharfem Rechnung immer hinreichen, von i nur noch die zweite Potenz zu berücksichtigen. — Man setze die Länge BI1 in der Grundebene, =L, so ist tang (L — &) — cos t tang (l — K), folglich tang (L — ferng (L — & ) — tang (l — ») 1 + tang (L — 5-) tang (I — ff) _ fl — cos i) tang (l — ff) 1 4- cos j tang (t — ff)" 1 1 und daher, wenn man bei der zweiten Potenz von i steilen bleibt: . , 2 sin /. 2 tang (l — ff) l — i + tang 0 - ff) n - — — sin ^ i 2 sin 2 (l ■— tf), wo die zweite Seite der Gleichung noch durch sin 1" dividirl werden muss, wenn L — l, in Secunden ausgedrückt, angenommen wird. Alsdann ist mithin T , sin i i 2 sin 2 (l — ff) Jj - t • j rr • sin 1 Das Glied, welches hiernach zu l hinzugefügt werden muss, um l in L zu verwandeln, wird die Reduclion auf die Grund ebene genannt. Elliptische Bewegung der Planeten. 77 So ist z. B. die Neigung der Mondsbaiin gegen die Ekliptik := 5" 8' 47", 9. Mit diesem Wertlie von i findet sich sin sin 1" 415",8, und es ist daher die Länge des Mondes in der Ekliptik —= l — G' 55", 8 sin 2 (l — -9-), wenn l die Länge desselben in seiner Bahn und & die Länge des aufsteigenden Knoten dieser Bahn in der Ekliptik bezeichnet. §. 49. Theils einiger im Folgenden vorkommenden Fülle willen, wo die bisher nur nähcrungsweise entwickelten Formeln für die elliptische Bewegung nicht ausreichen, theils wegen der Wichtigkeit und des Anziehenden, welches der Gegenstand an sich hat, sollen am Schlüsse dieses Kapitels die vorzüglichsten die vollkommene elliptische Bewegung betreffenden Formeln und Sätze noch mitgetheilt werden. Im Dreieck FSL (Fig. 22.) hat man FL 2 = FS 2 + SL 2 — 2 FS. SL cos FSL. Es ist aber FSL = 180° — v , FS — 2 ae, SL —- r, und nach der in §. 40. bemerkten Eigenschaft der Brennpunkte, FL —‘La — r. Hiermit wird die voranstellende Gleichung: (2 a — r ) a 4 a 2 e 2 -f- r 2 + 4 aer cos v, und nach gehöriger Reduction: (1*) a (1 — e 2 ) r + er cos v, oder, wenn man (2) ... a (1 — e 2 ) =p setzt: (1) ^ = 1 + ecos v, die Polargleichung der Ellipse, wenn der eine Brennpunkt zum Pol und die grosse Axe zur Grundlinie genommen wird; nur muss dabei e < 1 sein. Für e == 1 ist es die Polargleichung der Parabel, und für e > 1 die der Hyperbel, also in jedem Falle die Polargleichung eines Kegelschnitts. Die Constante 2p heisst der Parameter des Kegelschnitts. Rechnet man dieselbe stets positiv, so ist nach (2) die Constante a bei der Ellipse positiv, bei der Parabel unendlich gross und bei der Hyperbel negativ. 7S Zwcifcr Abschnitt. Erstes Kapitel. §. 50. Aufgabe. Aus der wahren Anomalie » = PSL (Fig. 24.) die Zeit t, in welcher sie vom Planeten beschrieben wird, zu finden. Auflösung. Es verhält sich t zur Umlaufszeit U, wie das Fläclienstück SPL zur Fläche der ganzen Kllipse. Um das letztere Yerliällniss zu berechnen, bedient man sieli des sogenannten excentrischen Kreises, eines Kreises, welcher in der Ebene der Ellipse über der grossen Axe AP, als Durchmesser, beschrieben wird. Ein von L auf AP gefälltes Perpendikel LI treffe den Kreis in K. Der Winkel PAIK am Mittelpunkte AI heisst die excen tri sehe Anomalie und werde mit E bezeichnet; es wird dann sein (SI=ßII — MS, d. i.) (3) r cos v = a cos E — ae. Substiluirt man hierin für r cos v seinen aus der Polar- gleiclmng (1*) fliessenden Werth, so kommt nach gehöriger Ueduction: (4) r = a — ae cos E. Diese zwei Gleichungen, das einemal addirt, das andere- mal von einander subtrahirt, geben: r (1 + cos v) — a (1 — e) (1 + cos E), r (1 — cos v) = a (1 -f- e) (1 — cos E). Aus letztem zwei Gleichungen aber fliesst, wenn man sie das einemal in einander dividirt und das anderemal mit einander mulliplicirt, und dann jedesmal die Wurzel auszieht: (5) tang \ v == y\^r e lang ^ E , (0) r sin v = a Y i — c 2 sin E. Aus (6) folgt die bekannte Proportionalität zwischen den Ordinalen einer Ellipse und eines um ihre grosse (oder kleine) Axe beschriebenen Kreises; denn es verhält sich nach (G) r sin v: a sin E— Y t — e- : 1, d.i. 1L zu IK, wie die kleine Axe zur grossen (§. 40.). Denkt man sich daher den Kreis um AP gedreht, bis die rechtwinklige Projection seines auf AP perpendikulären Durchmessers auf die unbewegt blei- 79 Elliptische Bewegung der Planeten. bende Ebene der Ellipse mit der kleinen Axe der letztem identisch wird, so wird L die Projection von K, und eben so jeder andere Punkt der Ellipse die Projection eines Punktes des Kreises, mithin die ganze Ellipsenfläche, welche G heisse, die Projection der ganzen Kreisfläche — na n , so wie der Theil SPL der erstem die Projection des Theils SPK der letztem. Da sich nun je zwei Theile einer Ebene wie ihre Projeclionen auf eine andere Ebene verhalten, so wird sein U: t = G : SPL = %a l : SPK. Es ist aber SPK=MPK—MSK -- \MP. PK — \MS . IK — \a.aE — \ ae . a sin E, folglich U: t = 2jt : E — e sin E, folglich, weil 2jc : U = », (7) nt — E — e sin E. Aus v oder der wahren Anomalie wird demnach t gefunden, wenn man zuerst aus v nach (5) die excentrische Anomalie E, und hierauf aus E nach (7) die mittlere Anomalie nt (§. 43.) berechnet, deren Division mit n das gesuchte t giebt. §. 51 . Zusätze, a. Soll aus t oder der damit proportionalen mitllern Anomalie die wahre gefunden werden, so hat man den umgekehrten Weg einzuschlagen, wobei jedoch die Berechnung von E aus nt wegen der transscendenlen Form der Gleichung (7) nur indirect sich bewerkstelligen lässt. Stall dessen kann man v, so wie r, durch nt auch vermittelst Reihen ausdrücken, welche nach den Potenzen von e fortgehen, und bei den Planeten,' wo e ein kleiner Bruch ist, schnell convergiren werden. Die Anfänge dieser Reihen haben wir bereits kennen gelernt (§.43. (1) und (2)). Mit Hülfe der jetzt erhaltenen strengen Formeln muss es möglich sein, jene Anfänge so weit, als man will, fortzusetzen. Ohne diese Entwickelungen hier anstellen zu wollen, bemerke ich nur, dass man zu dem Anfänge der Reihe für r, mittelst der Polargleichung der Ellipse allein, das von e- so Zweiter Abschnitt. Erstes Kapitel. abhängige Glied noch finden kann. Es folgt nämlich aus (1*) bis auf die zweite Potenz von e genau: r •— " ^ = a( 1 — e-) (1 — e cos v + e 2 cos v-) 1 + e cos v v v 1 ' a (1 — e cos v — e 2 sin v 2 ). Es war aber, wenn man die mittlere Anomalie nt a und 2 sin a = x setzt, bis zur ersten Potenz von e genau: v - « + ex (§. 43.). Mithin ist, wie vorhin, bis zur zweiten genau: r = a (1 — e cos (« + e®) — e 2 sin a 2 ) , worin für cos («+ ex) sein bis zur ersten Potenz genauer Werth = cos « — ex sin a — cos a — 2e sin a 2 zu subsli- tuiren ist. Dies giebt: r = a (1 — e cos a -f- e 2 sin a 2 ) = a (1 + -2 e 2 — e cos a — \e 2 cos 2a) *). b. Bei der geneigten Lage, die wir im Vorigen der Ebene des excentrischen Kreises gegen die Ebene der Ellipse gaben, ist das constante Yerhältniss zwischen irgend einem Theile der erstem Ebene und seiner Projection auf die letztere, = IK : IL = i : y'T^e 2 = a : Y~p, nach (2). In demselben Verhältnisse steht mithin auch die Fläche des excen- Irischen Kreises selbst = na 2 zur Ellipsenfläche; letztere ist daher = na Y«v- §. 52. Suchen wir jetzt die Geschwindigkeiten der verschiedenen veränderlichen Grössen zu bestimmen, welche bei der Bewegung eines Planeten in Betracht kommen. Die Flächengeschwindigkeit 4 c oder die vom Radius Vec- tor in der Zeiteinheit überstrichene Fläche ist nach Kepler’s *) Ueberhaupt lassen sich r und v durch Reihen darstellen, die nach den Cosinussen und Sinussen der Vielfachen von a fortlaufen, und die, wenn sie bis zur n ten Potenz von e genau sein sollen, noch die Cosinus und Sinus der «lachen von « enthalten müssen. — Bis zur 3len Potenz genau sind diese Reihen: )■ = a [1 + \ e 2 — ( willkübrlich gegeben sein lassen, so könnte sich nF eben so gut auch — oder > 2k 2 finden. Man sieht aber bald, dass sieb auch diesen letztem Fällen die Lösung der Aufgabe anpassen lässt, sobald man nur die allgemeinere Voraussetzung macht, dass sich die Planeten in Kegelschnitten um die Sonne, als den einen Brennpunkt, jeder mit conslanler Flächengeschwindigkeit, bewegen, und dass diese Geschwindigkeit von einer Bahn zur andern der Quadratwurzel aus dem Parameter proportional ist. Letzteres, oder die Formel c k YP (§• 52.), ist nämlich dem dritten Kepler’schen Gesetze zu subslituiren, da bei einer parabolischen oder einer hyperbolischen Bahn von einer Umlaufszeit — folglich auch von einer miltlern Bewegung und einer mittlern Länge — nicht die Bede sein kann. Dieses vorausgesetzt, ist die Bahn selbst eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel, jenachdem a positiv, unendlich gross, oder negativ ist, jenachdem sich also ru 2 <, —, ^>21? findet. Die Lage und die Dimensionen der Bahn, also die fünf Elemente a, e, a, i, &, werden in jedem Falle nach denselben Formeln, wie vorhin, bestimmt. Und wenn auch die Bewegung in der somit gefundenen Bahn, sobald diese eine Parabel oder eine Hyperbel ist, durchaus nicht auf dieselbe Weise, wie bei der Ellipse, berechnet werden kann, so erhellet doch wenigstens die Möglichkeit einer solchen Berechnung aus den gegebenen Stücken. Denn dadurch, dass der Planet zur Zeit T den durch r, L und b bestimmten Ort einnimmt, und dass sein Badius Yeclor in jeder Zeiteinheit eine Fläche — 4 k y~P iiberslreicht, ist sein Ort in der Bahn für jeden andern Zeitpunkt, und damit seine Bewegung, vollkommen bestimmt. Wie daher auch durch die sechs Stücke r, L, ... 1/ der Ort eines Planeten und die Grösse und Richtung seiner Geschwindigkeit für einen gegebenen Zeitpunkt bestimmt sein Kräfte bei der elliptischen Bewegung. Sä mag, so lässt sich daraus immer und nur auf eine Weise eine nach den letzigedachten Gesetzeu in einem Kegelschnitte vor sich gehende Bewegung ahleileiu Zweites Mapitel. Bestimmung der Kräfte, durch welche die elliptische Bewegung der Planeten erzeugt wird. §. 54. Da sich ein Kreis als eine Ellipse ausehen lässt, deren Brennpunkte mit dem Mittelpunkte Zusammenfällen, so kann nach dem ersten der drei lvepler’schen Gesetze ein Planet auch einen Kreis beschreiben, in dessen Mittelpunkte die Sonne steht. Und weil bei der Bewegung eines Punktes in einem Kreise die Fläche, welche der vom Mittelpunkte aus gezogene Radius Yector iiberslreioht, dem vom Punkte beschriebenen Bogen proportional ist, so wird zu Folge des zweiten Kepler’schen Gesetzes der Planet bei einer kreisförmigen Bewegung der Zeit proportionale Bögen beschreiben, d. h. gleichförmig im Kreise fortgehen. Die Kräfte, durch welche diese in der Natur möglichen und von der Wirklichkeit wegen der Kleinheit der Excenlri- citiiten nicht sehr abweichenden Kreisbewegungen hervorge- brachl werden, ergeben sich unmittelbar aus §. 22.. Es ist dann nämlich die auf jeden Planeten wirkende Kraft nach dem Mittelpunkte seines Kreises, also nach der Sonne, gerichtet und = nnu , wenn a die Entfernung des Planeten von der Sonne und n seine constante Winkelgeschwindigkeit bezeichnet. Nach dem dritten Kepler’schen Gesetze ist aber nna? dem von einem Planeten zum andern oonslantcn kk (§. 44.). Damit wird die Kraft — kk : aa , so dass unter der Hypothese gleichförmiger Kreisbewegung jeder Planet, nach der Sonne hin von einer Kraft getrieben wird, die deiit 86 Zweiter Abschnitt. Zweites Kapitel. Quadrate seiner Entfernung von der Sonne umgekehrt proportional ist. §. 55. Untersuchen wir jetzt, oh und w r ie sieh das im vorigen §. unter der möglich einfachsten Annahme erhaltene Resultat im Falle der Natur modiiicirt, wo die Bahnen der Planeten Ellipsen sind. Wir wollen deshalb die allgemeinen Formeln {!)) in §. 36. für die Kräfte T und V bei einer durch ihre Polarcoordinaten gegebenen Bewegung zu Hülfe nehmen und sie mit den zu Ende vorigen Kapitels entwickelten strengen Formeln der elliptischen Bewegung in Verbindung bringen. Weil die Flächengeschwindigkeit des Radius r constant ist (§. 52.), so wird U----0, d. h. die gesuchte Kraft wirkt in der Richtung von r (§. 37. a.) und rcducirt sich auf T r" — re' 2 allein, wo v' eben so, wie l' in §. 36., die Winkelgeschwindigkeit von r bedeutet. Nun ist nach den Formeln (9) und (10) in §. 52.: v - _ i; r~r und r l.e Vp sin d, folglich l;e r == —- v' cos v - V p H-e COS V , 11; (p — r) weil nach (1) in §. 49. e cos v = (p — r) : r ist. Mit sen Werthen für r" und d ergiebt sich aber: r £ 7./.' ()> — r) I;l;p 1;1; n 2 « 3 tc t 5 r 5 rr rr prr ' die— Wir schliessen hieraus: 1) dass die einen Planeten treibende Kraft stets nach der Sonne zu gerichtet ist, — nicht abrvärts von derselben, wegen des negativen Werlhes von T —; 2) dass diese Kraft für verschiedene Entfernungen eines und desselben Planeten von der Sonne dem Quadrate der Entfernung umgekehrt proportional ist; 3) dass aber auch, weil das Product n 2 « 3 oder Ick für alle Planeten denselben Werth hat, die Kräfte, mit denen verschiedene Planeten nach der Sonne getrieben werden, im umgekehrten Verhältnisse der Quadrate der Entfernungen von der Sonne 87 Jvrillte bei der elliptischen Bewegung. stellen, und dass daher für zwei gleichweit von der Sonne entfernte Planeten auch diese Kräfte einander gleich sind. Zusätze, a. Weil die Polargleiohung der Curve, aus welcher der Werth von T hergeleitet worden, nicht bloss der Ellipse, sondern auch der Parabel und der Hyperbel angehört (§. 49.), so müssen die jetzt gemachten drei Schlüsse auch dann gelten, wenn sich die Planeten überhaupt in Kegelschnitten nach den in §. 53. Zusatz ausgesprochenen Gesetzen bewegen. b. Aber auch umgekehrt können wir behaupten: Werden die Planeten nach der Sonne von Kräften getrieben, die sich umgekehrt wie die Quadrate ihrer Entfernungen von der Sonne verhalten, so müssen sie mit constunten Flächengeschwindigkeiten um die Sonne, als den einen Brennpunkt, Kegelschnitte beschreiben, deren Parameter den Quadraten der Flächengeschwindigkeiten proportional sind. Um dieses zu beweisen, wollen wir setzen, dass ein Planet zu der gegebenen Zeit T den gegebenen Ort L einnehme und die ihrer Grösse und Richtung nach gegebene Geschwindigkeit u habe. Mit diesen Stücken und mit dem Gesetze der auf ihn wirkenden Kraft ist seine Bewegung vollkommen bestimmt (§. 25.). Kennt man daher eine Bewegung, bei welcher der Planet zur Zeit T den Ort L und die Geschwindigkeit u hat, und wobei die ihn treibende Kraft stets nach der Sonne gerichtet und = kk : rr ist, so kann es nicht noch eine zweite Bewegung geben, bei welcher die Umstände zur Zeit T dieselben wären und die Kraft nach dem nämlichen Gesetze wirkte. Nun wissen wir aus §. 53. Zusatz, dass, welches auch zur Zeit 7’der Ort L und die Geschwindigkeit u sein mag, sieh immer und nicht mehr als eine diese Bedingungen zur Zeit T erfüllende und nach den daselbst bemerkten Gesetzen sich richtende Bewegung in einem Kegelschnitte angeben lässt. Wir wissen ferner (vor. a.) , dass die aus dieser Bewegung zu folgernde Kraft nach der Sonne gekehrt und = kk : rr ist. Mithin kann der Planet unter dem Einflüsse einer solchen Kraft keine andere, als die durch die gegebenen T, L, u und k vollkommen bestimmte, Bewegung in einem Kegelschnitte befolgen. 8S Zweiter Abschnitt. Zweites K; §. 5ü. Einige Planeten werden auf ihren Wegen um die Sonne von kleinen Nebenplaneten, auch Monde oder Trabanten genannt, begleitet. Diese richten sich bei ihren Bewegungen um ihre Hauptplaneten gleichfalls nacli den Kepler’schen Gesetzen. Denn jeder von ihnen beschreibt um seinen Planeten eine Ellipse, in deren einem Brennpunkte der letztere steht; die von dem Planeten nach dem Trabanten gezogene Gerade überstreicht der Zeit proportionale Flächen, und in den Fällen, wo mehrere Trabanten um denselben Planeten laufen, verhalten sich die Quadrate der Umlaufszeiten, .wie die Würfel der milllern Entfernungen. Uebrigens sind die Bahnen der Trabanten, gleich denen der Planeten selbst, nur sehr wenig excenlrisch, und ihre Neigungen gegen die Bahnen ihrer Planeten hallen, mit alleiniger Ausnahme des Systems der Uranustrabanten, nur wenige Grade. Die Entfernung jedes Trabanten von seinem Planeten ist aber durchweg gegen die Entfernung des letztem von der Sonne eine sehr geringe Grösse*). §>. 57. Die Sonne als ruhend angenommen, ist die absolute Bewegung eines Trabanten aus seiner relativen Bewegung um seinen Hauptplaneten und aus der Bewegung des letztem um die Sonne zusammengesetzt (§. ü.). Es ist daher auch die auf einen Trabanten wirkende Kraft als aus zwei Kräften zusammengesetzt zu betrachten, von denen die eine die Bewegung um den Ilauplplanelen erzeugt, die andere aber der Kraft gleich und parallel ist, welche die Bewegung des Planeten um die Sonne hervorbringt. — Ist die Sonne nicht in Ruhe, so muss nach demselben Princip auf den Planeten sowohl, als seinen Trabanten, eine dritte Kraft wirken, die *) Die mittlere Entfernung des Erdenmondes von der Erde ist der 399ste Theil, — des dten Jupitermondes vom Jupiter der 4t3te, — des 7ten Saturnmondes vom Saturn der 395ste — und des 6ten Uranus mondes vom Uranus der 1167ste Theil der milllern Entfernung des jedesmaligen Haupiplaneten von der Sonne. 'Kräfte l>ei der elliptischen Bewegung. SB derjenigen, welche die Bewegung der Sonne erzeugt, gleich u4d parallel ist. — Da nun die Trabanten in den Bewegungen um ihre Planeten die nämlichen Gesetze, wie die Planeten in ihren Bewegungen um die Sonne, befolgen, so wird nach denselben Schlüssen, welche wir in §. 55. in Bezug auf die Planetenbewegungen machten, die erstere jener zwei Kräfte nach dem Hauplplanelen gerichtet und sowohl für einen und denselben Trabanten, als auch von einem zum andern, wenn sich mehrere um denselben Planeten bewegen, dem Quadrate der Entfernung vom Planeten umgekehrt proportional sein. Da ferner wegen der immer sehr geringen Entfernungen der Trabanten von ihren Planeten gegen die Entfernungen der letztem von der Sonne die. zwei von einem Trabanten und seinem Planeten nach der Sonne gezogenen Linien sowohl ihrer Richtung, als ihrer Grösse nach, nur wenig von einander verschieden sind, so wird die letztere jener zwei Kräfte stets nahe nach der Sonne gerichtet sein und nahe sich umgekehrt wie das Quadrat der Entfernung des Trabanten von der Sonne verhalten, und dieses sowohl für einen und denselben Trabanten, als auch von einem Trabanten zu irgend einem andern, oder auch zu irgend einem Planeten. In Betracht mehrerer kleiner Abweichungen von den Kep- ler’schen Gesetzen, die insbesondere beim Laufe des Mondes um die Erde sich zeigen, könnte es auch vielleicht sein, dass sich die auf einen Trabanten wirkende Kraft in zwei Kräfte zerlegen liesse, von denen die eine nach dem Hauplplanelen, die andere nach der Sonne gerichtet wäre, und welche die angegebenen Verhältnisse vollkommen genau befolgten. 90 Zweiter Abschnitt. Drittes Kapitel. Drittes liapitel. Von der allgemeinen Anziehungskraft. §. 58 . Wie wir im vorigen Kapitel erkannt haben, werden die Bewegungen der Planeten und ihrer Trabanten um die Sonne durch Kräfte hervorgebracht, die — wenigstens bei den Planeten •— stets genau nach der Sonne gerichtet sind. Wir können hiernach nicht umhin, die Sonne selbst als die Ursache dieser Bewegungen anzusehen, so dass, wenn die Sonne vernichtet würde, damit auch die Bewegungen der Planeten und ihrer Trabanten um den von der Sonne eingenommenen Punkt aufgehoben w'ürden. Wir legen daher der Sonne eine anziehende Kraft bei, die sich auf alle sie umkreisenden Körper erstreckt, und welche in demselben Yerhiiltniss abnimmt, in welchem das Quadrat der Entfernung des angezogenen Körpers zunimmt. Und da nach demselben Gesetze, wie die Planeten nach der Sonne, so auch jeder Trabant nach seinem Planeten hingetrieben wird, so sind wir genöthigt, auch jedem Planeten, der von Trabanten begleitet wird, eine anziehende Kraft zuzuschreiben, welche im Verhältnisse des Quadrats der Entfernung abnimmt; und wir können hieraus der Analogie nach schliessen, dass auch die übrigen Planeten, um welche keine Trabanten laufen, anziehende Kräfte besitzen. §. 59 . Die anziehende Kraft der Planeten giebt sich noch durch eine andere Betrachtung zu erkennen, die von der Trabantenbewegung ganz unabhängig ist. — Man denke sich zwischen die Sonne S und einen Planeten P eine unbiegsame Stange von der Länge SP gebracht und beide Körper an die Enden der Stange befestigt. Würde nun bloss P von S angezogen, wirkten also auf P nach der Richtung PS unausgesetzt sich wiederholende Stösse, so würde sich das Von der allgemeinen Anziehungskraft. 91 System der beiden Körper, die nach ihrer Verbindung durch die Stange einen einzigen ausmachen, niciit durch eine äussere Veranlassung, sondern durch eine von dem Tlieile S des Systems selbst ausgehende Kraft, nach der Richtung PS bewegen, was gegen den Grundsatz in §. 15. streitet, dass ein ruhender Körper sich nicht von selbst in Bewegung setzen kann. Mithin muss auf S eine Kraft wirken, welche der Kraft auf P das Gleichgewicht hält und daher die Richtung SP bat, d. h. S wird hinwiederum von P angezogen. Auf gleiche Art wird geschlossen, dass, weil jeder Trabant von seinem Hauplplaneten und von der Sonne angezogen wird, auch umgekehrt jeder Trabant seinen Planeten und die Sonne anzieht. Ueberhaupt also kann bei zwei Körpern nie eine bloss einseitige Anziehung — und eben so wenig eine bloss einseitige Abstossung — statt finden, sondern sie ist immer gegenseitig. Die zwei Kräfte aber, mit denen die Körper auf einander wirken, müssen, wenn die gegenseitige Entfernung der Körper unveränderlich gemacht wird, sich das Gleichgewicht hallen. §• CO. Im Bisherigen haben wir die Kräfte bloss nach den von ihnen erzeugten Geschwindigkeiten geschätzt. Nach dem Grundsätze in §. 17. sind wir hierzu ohne Weiteres nur dann berechtigt, wenn die in Betracht kommenden Kräfte au einem und demselben Körper angebracht sind; nicht aber mehr bei Vergleichung von Kräften, welche auf verschiedene Körper wirken, indem sonst, was doch nicht der Fall ist, je zwei Körper durch Kräfte, die nach der in §. 16. aus der Statik entlehnten Definition einander gleich sind, in gleiche Geschwindigkeit versetzt werden müssten. Indessen wird man dadurch, dass man auch bei verschiedenen Körpern die Kräfte einfach den Geschwindigkeiten proportional setzt, nicht zu Fehlschlüssen verleitet werden, dafern man nur dessen immer eingedenk bleibt, dass unter dem Verhältnisse der Kräfte das Verhällniss der von ihnen erzeugten Geschwindigkeiten, nicht aber ihr statisches, gemeint ist. J)2 Zweiter Abschnitt. Drittes Kapitel. Wenn es daher z. B. liiess, dass zwei gleichweit von der Sonne entfernte Planeten mit gleichen Kräften nach der Sonne getrieben werden, so sollte dieses eigentlich bloss ansdrücken, dass die zwei Planeten mit gleichen Geschwindigkeiten nach der Sonne zu fallen anfangen, ohne dass mau damit behaupten wollte, dass die Kräfte, welche diese einander gleichen Geschwindigkeiten hervorbringen, auch statisch einander gleich, d. i. solche seien, die sich das Gleichgewicht hallen können. Anders verhält es sich bei der im vorigen §. angestell- ten Betrachtung, nach der wir schon im Voraus wissen, dass , die auf die Sonne und einen Planeten wirkenden Kräfte sta^ lisch einander gleich sind. Untersuchen wir dabei zuerst, was aus dem, obschon vor der Hand noch unbekannten, Verhältnisse zwischen den Geschwindigkeiten, welche diese zwei Kräfte der Sonne und dem Planeten mittheilen, auf die Beschaffenheit der beiden Körper selbst geschlossen werden kann. §. Gl. Um kurz auszudrücken, dass zwei Körper durch zwei statisch einander gleiche Kräfte in gleiche Geschwindigkeiten versetzt werden, sagt man, dass die beiden Körper gleiche Masse haben. Von einem Körper, welcher aus zwei, drei etc. an Masse einander gleichen Körpern zusammengesetzt ist, sagt man, dass seine Masse das Doppelte, Dreifache etc. der Masse jedes der einzelnen Körper ist; und somit ist klar, wie das Verhältniss der Massen zweier Körper immer dnrch Zahlen ausgedrückl werden kann. Man denke sich jetzt ein System von in vollkommen frei beweglichen und hinsichtlich ihrer Massen einander gleichen Körpern. Jeder dieser Körper erhalte gleichzeitig einen Stoss, und alle diese Slosskräfte seien einander statisch gleich und ihre Richtungen einander parallel, so werden sich die «(Körper in Parallelliuien mit gleichen Geschwindigkeiten zu bewegen anlängen und folglich ihre gegenseitige Lage nicht ändern. Dasselbe wird daher noch geschehen, wenn die in Körper gleich vom Anfänge an ihre Lage gegen einander Voll der allgemeinen Anziehungskraft. 1KI nicht ändern können und mithin einen einzigen festen bilden, der nun, ohne sieb zu drehen, nach derselben Richtung und mit derselben Geschwindigkeit, wie jeder einzelne, Fortgehen wird. Alsdann aber lässt sich nach einem bekannten Satze der Statik statt der m Kräfte eine einzige setzen, deren Richtung, parallel den Richtungen der m einzelnen, den Schwerpunkt der verbundenen m Körper trifft, und welche das in fache (§. 10.) -jeder der m einzelnen Kräfte ist. Wird demnach das Verhälfniss der Kräfte in statischem Sinne oder nach den von ihnen einem und demselben Körper erlheilten Geschwindigkeiten geschätzt, so wird, um zwei Körper, deren Massen — 1 und — m sind, in gleiche Geschwindigkeit zu versetzen, beim letztem Körper eine »»mal grössere Kraft, als beim erstem, erfordert, d. h. bei gleichen Geschwindigkeiten zweier an Masse verschiedener Körper verhalten sich die dazu nöthigen Kräfte wie die Massen. Sind aber auch die Geschwindigkeiten verschieden, so verhalten sich die Kräfte wie die Producte aus den Blassen in die Geschwindigkeiten, weil, um derselben Masse eine »mal grössere Geschwindigkeit beizubringen, eine «mal grössere Kraft erfordert wird. Das jetzt von Slosskräften Gesagte muss nach §§. 20. und 21. auch auf Kräfte anwendbar sein, die, wie es in der Natur geschieht, stetig wirken. In dieser Hinsicht ist noch zu bemerken, dass man den bisher dafür gebrauchten Ausdruck beschleunigende Kraft für den Fall beibehält, wenn man eine stetige Kraft bloss nach der von ihr bewirkten Geschwindigkeit beurlheill, und dass eine stetige Kraft, wenn man sie zugleich nach der von ihr bewegten Masse schätzt, eine bewegende Kraft genannt wird. Das Ver- hältniss der bewegenden Kräfte ist daher aus dem Verhältnisse der Geschwindigkeiten, d. i. der beschleunigenden Kräfte, und aus dem der Blassen zusammengesetzt. Nimmt man also, wie in §. 20., diejenige beschleunigende Kraft zur Einheit, welche in der Zeiteinheit eine Geschwindigkeit -- 1 erzeugt, und setzt man diejenige bewegende Kraft — 1, welche einer Blasse = 1 während einer Zeit = 1 eine Geschwindig- 94 Zweiter Abschnitt. Drittes Kapitel. keit — 1 beibringt, so ist bei einer vorgegebenen Bewegung die bewegende Kraft dem Froducle aus der beschleunigenden Kraft in die bewegte Masse gleich. Ucbrigens soll in der Folge, wenn von einer stetigen Kraft ohne weiteren Zusatz die Rede ist, wie bisher, immer die beschleunigende, nicht die bewegende, gemeint sein. Nacli diesen Erörterungen ist es nun leicht, die am Ende des vorigen §. aufgeworfene, die gegenseitige Anziehung der Sonne S und eines Planeten P betreffende, Frage zu beantworten. Da nämlich S und P von zwei Kräften, welche sich das Gleichgewicht hallen, also von zwei einander gleichen bewegenden Kräften, gegen einander getrieben werden, so ist das Product aus der beschleunigenden Kraft, welche auf S wirkt, in die Masse von S gleich dem Producte aus der den Körper P beschleunigenden Kraft in die Masse von P, und es verhalten sich daher in diesem Falle die beschleunigenden Kräfte umgekehrt wie die Massen, auf welche sie wirken; oder, wie man auch sagen kann: die Kraft, mit welcher jeder der beiden Körper S und P den andern anzieht, ist direct der Masse des anziehenden Körpers proportional. Folgerung. Wird ein Körper P von einem andern S nach dem umgekehrten Verhältnisse des Quadrats der gegenseitigen Entfernung, oder nach irgend einem andern von der Entfernung abhängenden Verhältnisse, angezogen, so wird nach demselben Verhältnisse auch S von P angezogen. §. 62. Sammeln wir jetzt die in den vorhergehenden §§. gemachten Schlüsse, so wird jeder Planet und jeder Trabant von der Sonne und jeder Trabant von seinem Planeten angezogen, und umgekehrt zieht jeder Planet und jeder Trabant die Sonne und jeder Trabant seinen Planeten an. Die (beschleunigende) Kraft aber, mit welcher dieses geschieht, und soweit wir dieselbe beurtheilen können, richtet sich nach den zwei Gesetzen, dass sie bei einem und demselben anziehenden Körper sich umgekehrt wie das Quadrat der Entfernung des angezogenen Körpers verhält, und dass sie bei zwei sich gegenseitig anziehenden Körpern der Masse des Von der allgemeinen Anziehungskraft. 93 anziehenden proportional ist. Bei einer so grossen Anzahl von Fällen, in denen sieh die Anziehung zu erkennen giebt, ist es nun in sehr hohem Grade wahrscheinlich, dass je zwei Körper unsers Sonnensystems überhaupt, also auch je zwei Planeten, oder ein Planet und ein nicht zu ihm gehörender Trabant, u. s. w. nach denselben zwei Gesetzen auf einander Einfluss üben, einen Einfluss, der sich zwar nicht so augenfällig und nicht durch so einfache Schlüsse, wie in den vorhin betrachteten Fällen, zu erkennen giebt, dennoch aber aus mancherlei zu beobachtenden kleinen Abweichungen der Planetenbewegungen von den Ivepler’schen Gesetzen sich wenigstens ahnen lässt. Wir wollen daher, so lange wir nicht auf Erscheinungen stossen, welche deutlich dagegen sprechen, die gegenseitige Anziehung der Himmelskörper als allgemein herrschend betrachten. Uebrigens ist es nicht schwer, die eben gedachten zwei Gesetze der Anziehung zu Einem zu verbinden. Ua nämlich die beschleunigende Kraft, mit welcher die Sonne einen in der Entfernung r befindlichen Planeten oder Trabanten anzieht, — kk : rr ist (§. 55. und §. 57.), so ist hinwiederum, wenn wir, die Masse der Sonne zur Einheit nehmend, die Masse des letztem Körpers = m setzen, die Kraft, mit welcher von diesem Körper die Sonne, also auch jeder andere in der Entfernung r von ihm befindliche Körper des Systems angezogen wird, rr ’ d. h. die anziehende Kraft eines Himmelskörpers verhält sich direct wie seine Masse und umgekehrt wie das Quadrat der Entfernung des angezogenen Körpers. §. 63. Die Kraft, mit welcher ein Himmelskörper den andern anzieht, wirkt aber nicht bloss im Ganzen, sondern erstreckt sich auf alle einzelnen Theile der Körper, wie sich durch folgende Schlüsse erhärten lässt. Bedeuten A und B zwei Planeten, welche sich in gleichen Entfernungen von der Sonne- S befinden. Man denke sich A aus «Theilchen zusammengesetzt, die sämintlich an DG Zweiter Abschnitt. Drittes Kapitel. Masse einander gleich sind. Eben so bestehe B ans b Tlieil- clien, die unter sicli und mit den vorigen einerlei Masse haben. Die Massen von A und B selbst verhalten sich daher wie die Zahlen a mul b. Werden nun alle diese a und Theilchen, die, wegen der Kleinheit der Dimensionen von A und B gegen die sich gleichen Entfernungen SA und SB, als sämmllich gleichweit von S entfernt angesehen werden können, mit statisch einander gleichen Kräften nach S getrieben, so sind — übereinstimmend mit §. 55. — die Geschwindigkeiten, mit denen A und B nach S sich zu bewegen anfangen, einander gleich (vergl. §. Gl.). Wollte man dagegen setzen, dass unmittelbar nur eines der «Theilchen von A, es heisse a, und nur eines der /»Theilchen von B, es heisse ß, von S angezogen würde, und dass die übrigen Theile in Folge ihres Zusammenhanges mit a und ß nach S getrieben würden, so müssten, wegen der gleichen Geschwindigkeiten von A und B, die auf a und ß wirkenden Kräfte, statisch geschätzt, in dem Verhältnisse der Massen von A und B oder der Zahlen a und b stehen. Es liesse sich aber dann nicht einsehen, warum die übrigen Theile von A und ß einen Einfluss auf die Kräfte haben sollten, durch welche a und ß in Bewegung gesetzt werden. Auf ähnliche Unbegreiflichkeiten stösst man, wenn man die anziehende Kraft von S auf einige der a und b Theilchen stärker, auf andere schwächer wirkend setzt. Wir sehen uns daher zu der Hypothese gedrungen, dass je zwei auch noch so kleine Theile von A und B, dafern sie nur gleiche Masse haben, von S mit statisch gleicher Kraft angezogen werden. Zieht aber S jedes Theilchen von A, wie a, an, so wird auch hinwiederum S von « mit einer so vielmal schwachem beschleunigenden Kraft, als a weniger Masse denn S hat, angezogen. Mit derselben beschleunigenden Kraft wird aber von a auch jeder andere Körper T angezogen, der mit S gleiche Entfernung von a hat, woraus wir nach derselben Weise wie vorhin sohliessen, dass mit der nämlichen Kraft auch jedes Theilchen des S und des 7'von « angezogen wird. 1)7 Von der allgemeinen Anziehungskraft. Von je zwei Körpern Ä und S wirkt demnach jedes Theil- chen des einen auf jedes Theilchen des andern mit einer anziehenden beschleunigenden Kraft, welche der Masse des anziehenden Theilchens proportional ist. Die sphärische Gestalt der Himmelskörper, so wie Erscheinungen auf unserer Erde, von denen im folgenden Kapitel die Rede sein wird, führen uns endlich zu dem Schlüsse, dass nicht bloss je zwei Theilchen, die zwei verschiedenen Himmelskörpern angehören, sondern auch je zwei Theilchen eines und desselben Körpers sich anzielien. Denn war der Körper, wie es wenigstens von unserer Erde höchst wahrscheinlich ist, anfangs in einem flüssigen Zustande, und bildeten seine Theile irgend eine von der Kugel abweichende Form, oder waren sie gar im Raume zerstreut, so konnte es nur durch ihre gegenseitige Anziehung geschehen, dass sie so nahe als möglich auf einander zugingen und sich so lange bewegten und vertheillen, bis ein von allen Seiten gleichförmiger Körper, also eine Kugel, entstand. §. 64 . Nach allem diesen sind wir veranlasst anzunehmen, dass je zwei Theilchen der Materie überhaupt sich gegenseitig anzielien, und dieses nach dem Gesetze, dass die anziehende Kraft eines Theilchens direct der Masse desselben und umgekehrt dem Quadrate seiner Entfernung vom angezogenen Theilchen proportional ist. Allerdings können beim Rückblick auf das Vorhergehende an der völlig allgemeinen Gültigkeit dieses Satzes noch Zweifel übrig bleiben, da wir mehrere der obigen Schlüsse nur der Analogie nach machten, da wir nur die augenfälligsten Gesetze der Bewegung in unserm Sonnensysteme, nicht auch die kleinen Abweichungen von denselben, berücksichtigten, und noch manche Erscheinungen, die gleichfalls zur Prüfung jenes Satzes hätten dienen können, ganz unbeachtet Hessen. Wenn aber schon die grosse Einfachheit des Satzes es höchst wahrscheinlich macht, dass er ein wahres Naturgesetz aufstellt, so werden noch mehr die bald folgenden Unter- Moelmi*, Much. d. liimm. 7 !>8 Zweiter Abschnitt. Viertes Kapitel. snchungen jene Zweifel zu beseitigen dienen. Wir werden nämlich, den umgekehrten Weg einschlagend, das Gesetz der allgemeinen Anziehung als Naturgesetz zum Grunde legen und die Erscheinungen, wie sie ihm zufolge statt finden müssen, bestimmen und bis in ihre kleineren Details zu erforschen suchen. Die Uebereinslimmung der so erhaltenen Resultate mit den Erscheinungen wird uns dann immer mehr überzeugen, dass durch das Gesetz in der Allgemeinheit und Bestimmtheit, wie es vorhin ausgesprochen wurde, und wie es von NEWTON (geb. 1G42, gest. 1127), dem Entdecker desselben, in seinen unsterblichen „Principia philosophiae naturalis“ (Londini 1G87) veröffentlicht worden, alle am Himmel zu beobachtenden Bewegungen auf das Befriedigendste erklärt werden können. Viertes Kapitel. Nächste Folgen aus dem Gesetze der allgemeinen Anziehung. §. G5. Bei der Bewegung eines Planeten um die Sonne ist nach dem Gesetze der allgemeinen Anziehung nicht bloss die anziehende Kraft, welche die Sonne auf den Planeten äussert, sondern auch die des Planeten auf die Sonne lliälig. Um die vereinte Wirkung dieser Kräfte in Rechnung zu nehmen, seien 31 und in irgend zwei sich anziehende Massen, r ihre gegenseitige Entfernung und K die Kraft, mit welcher eine Masse = 1 einen von ihr in einer Entfernung 1 befindlichen Körper anzieht. Alsdann sind die auf in und 31 wirkenden Kräfte — 1(31: rr und Km : rr und resp. von in nach 31 und von 31 nach m gerichtet, Bei den dadurch bewirkten Bewegungen von 31 und in ist aber (§. 24. a.) die Kraft, welche die Bewegung von m gegen 31 erzeugt, zusammengesetzt 99 Folgen aus dein Gesetze der Anziehung. aus der auf m wirkenden Kraft und der auf M wirkenden, aber nach entgegengesetzter Richtung genommenen Kraft, also zusammengesetzt aus den nach der gemeinschaftlichen Richtung inM wirkenden Kräften K31: rr und Km : rr ; d. h. die Bewegung von m gegen 31, wie sie statt finden würde, wenn 31 in Ruhe wäre, wird von einer nach 31 gerichteten Kraft = K (31 + »*) : rr hervorgebracht. Die Bewegung selbst geschieht in einem Kegelschnitte (§. 55. b.) ; und wenn dieser eine Ellipse ist, a die halbe grosse Axe derselben und n die mittlere Bewegung bedeutet, so ist (§. 55.) n 2 a 3 : rr der Ausdruck der Kraft, welche, nach 31 gerichtet, die relative Bewegung von m um 31 hervorbringt. Man hat folglich: K (31 + m) n 2 a\ und eben so ist für je zwei andere sich nach dem Newton’- schen Gesetz anziehende und um einander bewegende Körper, für welche 31', m', d, d dieselbe Bedeutung haben, welche 31, rn, u, n für das erstere Paar hatten: K(31'-\-?d) — d 2 d 3 ; mithin verhält sich n 2 a 3 : n 2 d 3 = 31 -f- m : 31' + rd, oder, wenn U und V die Umlaufszeiten in beiden Systemen bezeichnen: (a) a 3 : d 3 = (31 + m) U 2 : (31' + id) V' 2 , d. h. Bei verschiedenen Paaren sich um einander bewegender Körper verhalten sich die Würfel der mittlern Entfernungen wie die Quadrate der Umlaufszeiten, multiplicirt mit den Summen der 31assen. Wenden wir diesen aus dem Gesetze der allgemeinen Anziehung fliessenden Salz zunächst auf die um die Sonne 31 laufenden Planeten m, ui, ... an, so ist der Würfel der mittlern Entfernung eines Planeten von der Sonne nicht bloss dem Quadrate der Umlaufszcil, wie es das Kepler’sohe Gesetz will, sondern auch noch der Summe der Massen der Sonne und des Planeten proportional. Sollen daher die beiden Gesetze einander nicht widersprechen, so müssen wir entweder annehmen, dass die Summen 31 + m, 31 + m, ... einander gleich, also auch die Massen m, m, ... der ein-- zelnen Planeten einander gleich sind, oder dass diese Massen 7 * 100 Zweiter Abschnitt. Viertes Kapitel. gegen die der Sonne überaus klein sind, und daher die Verhältnisse zwischen M + m , 31+m, ... vom Verhältnisse der Gleichheit äusserst wenig abweichen, um einen Unterschied, der bei der Vergleichung der beobachteten Umlaufszeiten und der überdies nur mit grosser Mühe aus Beobachtungen zu bestimmenden mittlern Entfernungen ganz unmerkbar bleibt. Schon wegen der sehr grossen Verschiedenheit des körperlichen Inhalts der einzelnen Planeten und wegen der ausserordentlichen Kleinheit dieser Körper gegen den Sonnenkörper ist die letztere Hypothese die bei weitem wahrscheinlichere und wird noch auf andere Weise, wie wir sogleich sehen werden, als die richtige bestätigt. §. GG. Eben so, wie die Planeten gegen die Sonne, sind auch die Trabanten gegen ihre Planeten dem Inhalte, und daher sehr wahrscheinlich auch der Masse, nach sehr klein. Diese Einrichtung der Natur giebt uns ein Mittel an die Hand, um für die Körper unsers Sonnensystems, welche Begleiter haben, die Verhältnisse zwischen ihren Massen näherungsweise zu finden. Denn es folgt aus der Proportion («), wenn wir m gegen 31 und in gegen 31' vernachlässigen: 31: 31' = £ : £*). Wir wollen uns dieses an einigen Beispielen erläutern und dabei, wie in §. 44., die mittlere Entfernung der Erde von der Sonne zur Längeneinheit und einen Tag mittlere Zeit zur Zeiteinheit nehmen. — Da die Länge des siderischen Jahres = 3G5,25G Tagen, so ist erstens für die Bewegung der Erde um die Sonne: rt 3 _ 1 _ Ü* = (365,256) 2 ^ ^ *) Unter der Annahme, dass in um M und m' um M’ sich kreisförmig bewegen, geht diese Proportion schon daraus hervor, dass die Kräfte, mit denen m und m nach M und M' hingetrieben werden, zu Folge des Newton’schen Gesetzes sich wie und nach der Theorie der Kreisbewegung aber sich wie ^ und — (§. 22.) verhalten. 101 Folgen aus ilem Gesetze der Anziehung. — Die mittlern Werthe der Horizontalparallaxen der Sonne und des Mondes unter dem Aequator sind 8", 577G und 57' 1", und daher die mittlere Entfernung des Mondes von der Erde 8,5776 sin 1" _ 1 — sin 57' 1" 398,811' Da ferner der siderische Monat 27,3217 Tage enthält, so ist für die Bewegung des Mondes um die Erde: «3 1 l/ 2 — (398,811) 3 (27,3217) 2 ^' — Die mittlere Entfernung Jupiters von der Sonne ist = 5,20277, und der Halbmesser der Bahn seines vierten Trabanten, wie er von der Sonne aus erscheint, im Mittel = 8'18", folglich die mittlere Entfernung dieses Trabanten vom Jupiter = 5,2 .. sin 8' 18". Der siderische Umlauf desselben beträgt IG,0890 Tage. Mithin ist für seine Bewegung um den Jupiter: n 3 _ (5,20277 sin 8' 18") 3 „ r -’ (16,6890)- ’ Es verhalten sich demnach die Massen der Sonne, Erde und des Jupiter wie g, g' und g", oder es ist, Masse der Sonne = 1 gesetzt, die Masse der Erde fi /365,256\ 2 1 1 ~~ ,u V27,3217/ (398,811) 3 354912’ der die die Masse Jupiters fi wenigstens sehr nahe. Streng genommen, sind nach der Proportion («) des vor. §., wenn wir die Massen der Sonne, der Erde, des Mondes, des Jupiter und seines vierten Trabanten resp. mit S, T, L, I und i bezeichnen, die Zahlen g, g', g" den Summen S + T, T+L, I + i proportional, folglich: fi _ T + L fL. fi dieser 1 S -t- T 354912’ _ I + i ___ 1 ~ S+T 1053’ Gleichungen bedarf Die erste dieser Gleichungen bedarf aber noch einer kleinen Correction wegen der Störung, welche die Sonne in 102 Zweiter Abschnitt. Viertes Kapitel. der Bewegung des Mondes um die Erde hervorbringt, und wodurch die gegenseitige Anziehung von Erde und Mond durchschnittlich in dem Verhältnisse 358,45 : 357,45 verringert wird. Die aus dieser Bewegung geschlossene der gegenseitigen Anziehung proportionale Blassensumme T + L ist folglich in demselben Verhältnisse zu klein und muss daher im umgekehrten Verhältnisse vergrösserl werden. Diesgiebt: T J- L 1 Ä ■*- T 353922 ‘ Nun ist L oder die Masse des Mondes, wie sie der Freiherr vonLindenau aus dem yon ihr erzeugten Schwanken der Erdaxe bestimmt hat, der 88,448ste Theil der Erdmasse T. Hiermit wird letztere T 1 83.448 1 S ~ 353921 ' 89,448 — 357922’ Was die Masse Jupiters, =I:S, anlangt, so ist wegen der Kleinheit von T gegen S, so wie auch von i gegen 1, — man hat i = ttwwws I aus den gegenseitigen Störungen der Trabanten gefunden — auch bringt die Sonne keine merkbaren Störungen in diesem System hervor — so ist I: S von I + i: S + T, = Tn '-ä, nicht merkbar verschieden. Zusatz. Eben so, wie die Massen der Erde und des Jupiter, lassen sich auch die des Saturn und des Uranus aus den Bewegungen ihrer Trabanten ermitteln. Man hat auf diese Weise die Masse des Saturn = des Uranus =-= -ppj-rg- erhalten. Die Massen der übrigen Planeten, welche von keinen Trabanten begleitet werden, hat man aus den kleinen Störungen, welche ihre anziehende Kraft in der Bewegung der ihnen am nächsten kommenden Planeten erzeugt, zu bestimmen gesucht. So haben sich aus den Störungen der Erde durch Venus und Mars die Massen der Venus tötVvtj des Mars = virswTrr ergeben. Dagegen ist die in dem Verzeichnisse der Planetenmassen bisher vorkommende Merkursmasse = süiIstö nur eine hypothetische, und nicht wie die übrigen aus Beobachtungen hergeleitet. Folgen aus dein Gesetze der Anziehung. 103 §■ 07. Ein Körper heisst gleichförmig dicht, wenn, je zwei ihrem räumlichen Inhalte nach gleiche Theile desselben auch gleiche Masse haben. Von zwei Körpern A und ß, deren jeder gleichförmig dicht ist, nennt man die Dichtigkeit des A das m fache der Dichtigkeit von ß, wenn von zwei ihrem Inhalte nach gleichen Theilen von A und ß die Masse des Theils von A dem m fachen der Masse des Theils von ß gleich ist. Setzt man daher von einem Körper, bei welchem jeder Theil, dessen Inhalt. — 1, eine Masse = 1 hat, auch die Dichtigkeit — 1, so ist von einem gleichförmig dichten Körper, wenn seine Masse m und sein Inhalt 1 ist, seine Dichtigkeit — »j; ist aber der Inhalt — », so ist die Dichtigkeit — der Masse eines Theils des Körpers, dessen Inhalt — 1 ist, also -== m : v ; d. h. die Dichtigkeit wird gefunden, wenn man die Blasse durch den Inhalt dicidirt; und umgekehrt ist die Blasse dem Product aus der Dichtigkeit in den Inhalt gleich. Ist ein Körper nicht gleichförmig dicht, so nennt man den Quotienten, welcher durch Division der Masse des Körpers mit seinem Inhalte gefunden wird, seine mittlere Dichtigkeit, die daher auch einerlei ist mit der Dichtigkeit eines gleichförmig dichten Körpers, welcher, der Masse und dem Inhalte nach, dem erstem Körper gleich ist. §. 08 . Kugeln verhallen sich ihrem Inhalte nach wie die Würfel ihrer Halbmesser. Die mittleren Dichtigkeiten der Himmelskörper verhalten sich daher wie die Massen dividirt durch die Würfel der Halbmesser dieser Körper. So verhält sich z. 13. die Dichtigkeit der Sonne zur Dichtigkeit der Erde wie 357022 .__ (sin l(j'l") 3 ‘ (sin 8", 5682j 3 ' Denn der scheinbare Halbmesser der Sonne in der miniem Entfernung derselben von der Erde ist 16' 1", und von der Sonne aus erscheint in der nämlichen Entfernung der Halbmesser einer Kugel, welche mit der in dem Verhältnisse 104 Zweiter Abschnitt. Viertes Kapitel. 301 : 302, = p : 1, abgeplatteten Erde gleichen Inhalt hat, nnler dem Winkel von fp . 8", 5776 = = 8", 5682 *). Die mittlere Dichtigkeit der Erde = 1 gesetzt, ist demnach die mittlere Dichtigkeit der Sonne = 357922 ( 8,5682 jj n , 1 ' Y = 0,2537, also beiläufig ^ der Dichtigkeit der Erde. Eben so hat man aus den Massen und Halbmessern der übrigen Planeten ihre Dichtigkeiten berechnet und die des Mondes = 0,619, des Jupiter = 0,238, der Venus = 0,923, des Saturn = 0,138, des Mars — 0,948, des Uranus = 0,242 gefunden, also sämmllich kleiner, als die Dichtigkeit der Erde, die hierbei, wie vorhin, = 1 angenommen wird. Insbesondere ist die geringe Dichtigkeit der drei von der Sonne entferntesten und zugleich grössten Planeten auffallend, während Venus und Mars nicht viel weniger dicht, als die Erde selbst, sind. Vergleicht man die Dichtigkeiten der Erde, des Jupiter und des Saturn mit einander, so zeigt sich, dass sie nahe in dem umgekehrten Verhältnisse der miltlern Entfernungen dieser Körper von der Sonne stehen. Nach diesem Gesetze, was jedoch nicht auch bei Venus, Mars und Uranus sich bestätigt findet, hat Laplace die Dichtigkeit des Merkur = 2,94 geschlossen und hiernach die oben bemerkte Masse dieses Planeten bestimmt. Erst vor wenigen Jahren ist es *) Ein Ellipsoid, dessen drei Hauptaxen = 2«, 2b, 2c sind, hat den Inhalt einer Kugel, deren Halbmesser = Y~ («5c) ist. Die Erde ist ein Ellipsoid, bei welchem die zwei grössten Hauptaxen, sie seien 2« und 2b, einander gleich sind. Mithin ist die Erde einer Kugel gleich, deren Halbmesser = , — aY~p, wenn c : a = j> gesetzt wird. — Man bemerke nur noch, dass 8", 5776 der Winkel ist, unter welchem « oder der Halbmesser des Erdiiquators von der Sonne aus erscheint (§. 66.). Folgen aus »lein Gesetze (lei- Anziehung. 105 den Astronomen möglich geworden, diese Massenbestimmung einer Prüfung zu unterwerfen. Es kam nämlich gegen Ende des Jahres 1839 der nach Encke seinen Namen führende Komet dem Merknr so nahe, dass letzterer einen sehr merkbaren Einfluss auf die Bewegung des Kometen äusserle, einen Einfluss, der für uns bei der damals nicht sehr beträchtlichen Entfernung des Kometen von der Erde um so augenfälliger werden musste. Aus den zu jener Zeit in Berlin angestell- ten Beobachtungen des Kometen hat sich nun ergeben, dass die Laplace’sche Masse und Dichtigkeit mit ^ mulliplicirt werden müssen. „Dieses Resultat kann jedoch nur als eine durch einen rohen Ueberschlag gewonnene erste Näherung angesehen werden“*). §. 09. Im Bisherigen haben wir die gegenseitige Anziehung der Himmelskörper bloss aus den gegenseitigen Entfernungen ihrer Mittelpunkte und aus ihren Massen bestimmt, also eben so, als ob die Masse eines jeden in seinem Mittelpunkte vereinigt wäre. Da aber die Gesammtanziehung zweier Körper aus den Parlialanziehungen ihrer einzelnen Theilchen zusammengesetzt ist (§. 03.), so entsteht die Frage, ob nicht jene Bestimmung der Anziehung zweier Himmelskörper noch einer kleinen Berichtigung bedarf, sobald wir die Anziehungen ihrer einzelnen Theilchen berücksichtigen und deshalb noch die Gestalt und Grösse eines jeden und die Vertheilung seiner Masse mit in Rechnung nehmen. Die Himmelskörper weichen von der Kugelgestalt nur sehr wenig, mehrere durchaus unmerklich, ab, und nach dem, was in §. 03. über die mulhmassliche Bildung dieser Kugeln gesagt worden, ist es nicht wohl anders denkbar, als dass bei jeder derselben für sich in gleicher Entfernung vom Mittelpunkte auch gleiche Dichtigkeit statt findet, Stellen wir uns daher eine solche Kugel durch concenlrische Kugelflächen in genugsam dünne Schalen zerlegt vor, so wird jede dieser Schalen für sich — gegen das Ganze un- *) Astronomische Nachrichten, XVI. Band, Seite 244. 10(> Zweiter Abschnitt. Viertes Kapitel. bedeutende Irregularitäten abgerechnet — gleichförmig dicht sein, wenn auch die Dichtigkeit von einer Schale zur andern wechselt und, wie es am wahrscheinlichsten ist, von der Oberfläche der Kugel nach ihrem Mittelpunkte zunimmt. Uin daher die gegenseitige Anziehung zweier Himmels- kugeln genau zu bestimmen, wollen wir zuerst die Anziehung einer gleichförmig dichten Kugelschale, deren Dicke unendlich klein ist, oder vielmehr geradezu die Anziehung einer gleichförmig dichten materiellen Kugelfläche, auf einen ausser ihr gelegenen materiellen Punkt zu ermitteln suchen. Ohne höheren Calcul anzuwenden, dürfte dieses folgendergestalt am einfachsten geschehen. 1) Sei P (Fig. 25.) der materielle Punkt und C der Mittelpunkt der materiellen Kugelfläche. Die Gerade PC treffe die Fläche in A und B, und eine durch PC gelegte Ebene schneide sie in dem grössten Kreise ATB. Sei FF' ein Element dieses Kreises. Während der Halbkreis AFB, wenn er um AB gedreht wird, die Kugelfläche erzeugt, beschreiben die Punkte F und F' zwei Parallelkreise und das Element FF' eine von diesen Kreisen begrenzte Zone. Man theile diese Zone durch Linien, die, wie FF', auf den zwei Kreisen perpendicular sind, in einander gleiche Elemente. Jedes derselben ist hiernach ein Rechteck, dessen Höhe FF' und dessen Breite = dem 2/iten Theile des von F oder F' beschriebenen Kreises ist, wenn 2 n die unendliche Anzahl der Elemente bezeichnet. Fallt man daher von F auf AB das Perpendikel FE und setzt die Dichtigkeit der Kugelfläche = e, so ist "FlIE . FF' = i n der Inhalt und ei die Masse jedes Elements (§. G7.). 2) Da der Punkt P von jedem dieser Elemente gleichweil, nämlich um eine Linie -- PF, absteht, so wird er von jedem Elemente mit einer Kraft angezogen, deren Richtung mit PC einen Winkel —- CPF macht. Man zerlege jede dieser 2 n Kräfte in zwei, von 107 Folgen aus »lein Gesetze »1er Anziehung. denen die eine die Richtung PC hat, die andere auf PC normal ist. Jede der erstem ist =— v . PE: PF j und daher ihre gleichfalls nach PC gerichtete Resultante V = 2nv . PE PF 2nKci . PE PF -! 2 nKc . PE . EF . FF' PF 1 Jede der letztem Kräfte ist = v .EF: PF, und ihre Richtungen sind parallel mit den 2 m Radien, durch welche der von F beschriebene Kreis in 2 n gleiche Theile gelheilt wird. Diese Kräfte heben sich daher paarweise auf, nämlich je zwei, deren Richtungen parallel mit zwei einander entgegengesetzten Radien sind. Mithin reducirt sich die Anziehung der ganzen Zone auf die nach PC gerichtete Kraft V allein. 3) Man fälle von C auf PF das Perpendikel CD, so ist PE PD , EF CD — = und 7 ^- 777 ,, PC’ wodurch 2nKe PD . CD . FF' wird. PC' . PF Man trage ferner PF auf PF' von P bis G, so sind DFG und EGE' unendlich nahe rechte Winkel, so wie auch CEE' ein rechter. Mithin sind die Dreiecke EGE' und EDC gleichwinklig und es verhält sich FE': GF' — CF: CD, folglich ist CD . FF' = r . GF’, wenn man den Halbmesser des Kreises ATB, — r setzt. Dies giebt: V — 2A r . PD . GF' PF ’ wo N = nlier PC 2 ' 4) Man verlängere die Linien PF und PF', bis sie den Kreis ATB zum zweitenmale, in / und /', schneiden, und trage Pf auf Pf' von P bis g, so sind die Winkel FF’G und ff'g einander gleich, mithin die gleichnamigen Dreiecke gleichwinklig, und es verhält sich PF : Pf= FG : fg = GF ': fg, folglich PF: GF' = PF + Pf : GF’ + fg = 2PD : Ff — F'f, 108 Zweiter Abschnitt. Viertes Kapitel. weil D der Mittelpunkt der Sehne Ff, und Ff= Gg ist. Hierdurch wird V=N (Ff — F'f'). 5) Auf dieselbe Art wird bewiesen, dass die Anziehung des Punktes P von der Zone, welche bei Drehung des Halbkreises ATB von ff erzeugt wird, ebenfalls = N (Ff — F'f ) ist und die Richtung PC hat. Auch folgt dieses schon daraus, dass N eine von den Elementen FF' und ff unabhängige Grösse ist, und die Differenz Ff — F' f von ihnen auf gleiche Weise abhängl. G) Seien F'F', F"F", ... mehrere auf FF' im Kreise ATB folgende Elemente, und seien f”, f", ... die Punkte, in denen der Kreis von den Geraden PF", PF", ... zum zweitenmale geschnitten wird, so zieht jede der beiden Zonen [FF"] und 1/7"], d. i. der Zonen, welche von den Elementen F'F" und ff" erzeugt werden, den Punkt P mit einer Kraft V = N (Ff' — F'f) an; jede der beiden Zonen (F'F") und mit einer Kraft V"=N(F"f"—F"f”), u. s. w. Hieraus folgt weiter die Anziehungskraft jeder der beiden Zonen [FF"] und [ff"], = V+ V' = N (Ff — F" f "); die Anziehungskraft jeder der beiden Zonen [FF"’] und [ff"'], - V + V’ + V" —_ N (Ff—F"f "); und so fort bei der Zusammensetzung noch mehrerer Elementarzonen, wie nahe auch von den Linien PFf, PF'f, ... die erste der Linie FAB und die letzte der von P an den Kreis gezogenen Tangente PT liegt. Geht man bis zu diesen beiden Grenzen selbst fort, so findet sich, weil für die Tangente die Sehne F”-f" null wird, die Anziehung jeder der beiden Zonen [AT] und [BT j, = N. AB, und da diese zwei Zonen die ganze Kugelfläche ausmachen, so ist die von derselben auf P ausgeübte Anziehung = 2 N.AB = 4M’ = -^7’. Es ist aber 4srr 2 der Inhalt der Kugelfläche, mithin 4jrer 2 ihre Masse. Setzen wir diese = m, so wird die erhaltene Anziehung _ Km — pC2i 109 Folgen aus dem Gesetze der Anziehung. und wir folgern daraus den merkwürdigen Salz, dass eine gleichförmig dichte Kugelfläche einen ausser ihr befindlichen Punkt P eben so anzieht, als wenn ihre Masse m in ihrem Mittelpunkte C vereinigt wäre. §• 70. Zusätze, a. Ist FF' das Element eines Kreises, P ein Punkt in der Ebene des Kreises, und wird letzterer von den Geraden PF und PF' noch in f und f geschnitten, so sind die Dreiecke PFF' und Pf f gleichwinklig, und es verhält sich daher FF ': ff = PF: Pf oder Pf. Dasselbe wird auch gelten, wenn P ein Punkt im Raume und F, F' zwei einander unendlich nahe Punkte auf einer Kugelfläche sind, weil diese Fläche von der Ebene PFF' in einem Kreise geschnitten wird. Ist daher ABC (Fig. 26.) ein Elementardreieck auf einer Kugelfläche, P ein Punkt im Raume, und wird die Fläche von PA, PB, PC noch in a, b, c geschnitten, so bilden a, b, c ein zweites Elementardreieck, von welchem jede Seite zu der entsprechenden Seite des Dreiecks ABC sich wie die Entfernung des Dreiecks abc von P zu der Entfernung des ABC von P verhält. Mithin sind die Dreiecke ABC und abc einander ähnlich, und ihre Flächen verhalten sich wie AB 2 : ab 2 = PA 2 : Pa 2 , d. i. wie die Quadrate ihrer Entfernungen von P. Der Punkt P wird folglich, wenn die Kugelfläche gleichförmig dicht ist, von den beiden Dreiecksflächen gleich stark angezogen. b. Man sieht hieraus, wie das vorhin erhaltene Resultat der gleich starken Anziehung von Zonen, wie [FF'] und [//''], sich verallgemeinern lässt. Zerlegt man nämlich irgend einen endlichen Tlieil Z der Kugelfläche in Elementardreiecke und bestimmt zu jedem derselben, wie ABC, ein zweites abc auf der Kugelfläche so, dass Aa, Bb, Cc sich in P treffen, so werden die Fläche Z und das Aggregat z der Dreiecke abc, d. h. je zwei Theile Z und z der Kugelfläche, deren Perimeter in einer und derselben den Punkt. P zur Spitze habenden Kegelfläche liegen, diesen Punkt gleich stark anziehen. c. Der in a. vorangestellte Satz ist auch dann richtig, 110 Zweiter Abschnitt. Viertes Kapitel. wenn der Punkt P nicht, wie in der Figur, ausserhalb, sondern innerhalb des Kreises liegt; und eben so wird der daraus gezogene Schluss gleicher Anziehungskraft der Theile Z und z einer Kugellläche auch dann bestehen, wenn P innerhalb der Kugellläche ist. Nur unterscheidet sich letzterer Fall von ersterem dadurch, dass die Anziehungskräfte von Z und z im erstem Falle eine und dieselbe Richtung haben und daher einander verdoppeln, im letztem Falle nach entgegengesetzten Richtungen wirken und sich daher aufheben. Zugleich geht daraus hervor, dass die Wirkung der ganzen Kugellläche auf einen irgendwo innerhalb derselben befindlichen Punkt P null sein muss, da sich die ganze Fläche in Theile, die, wie Z und z, in Bezug auf P einander gegenüber stehen, zerlegen lässt, und folglich der Punkt nach allen Seiten gleich stark angezogen wird. §. 71 . Folgerungen, a. Was in §. G9. von einer gleichförmig dichten Kugellläclie bewiesen worden, wird offenbar auch von einer gleichförmig dichten unendlich dünnen Kugelschale gelten. Und da jede Kugel in unendlich dünne mit ihr concenlrische Kugelschalen zerlegt werden kann, so wird auch eine Kugel, wenn sie gleichförmig dicht ist, oder auch, wenn nur je zwei gleichweit vom Mittelpunkte entfernte Theilchen derselben gleiche Dichtigkeit haben, einen ausser ihr befindlichen Punkt eben so anziehen, als wenn ihre Masse in ihrem Mittelpunkte vereinigt wäre. Bezeichnet daher M die Masse einer solchen Kugel und C ihren Mittelpunkt, so wird von ihr der materielle Punkt P mit einer Kraft = KM : PC 1 angezogen *). *) Ist 1‘ ein Punkt innerhalb der Kugel, so zerlege man sio durch eine durch /’ beschriebene concenlrische Kugellläche in eine kleinere Kugel und eine Kugelschale. Weil P auf der Oberfläche der kleinern Kugel und daher ausserhalb dieser Kugel liegt, so wird er von ihr eben so angezogen, als ob ihre Masse in C vereinigt wäre. Und dieses ist auch die Anziehung der ganzen Kugel, weil die Anziehung jeder der unendlich dünnen concenlrischen Schalen, in welche inan die ganze Schale zerlegen kann, nach vorigem §. c. null ist. 111 Folgen aus dem Gesetze der Anziehung. b. Heisst p die Masse des materiellen Punktes P, so ist die bewegende Kraft, mit welcher P nach der Kugel hinge- Iriebcn wird, gleich dem Producte aus p in die beschleunigende Kraft (§. öl.), — KMp : PC und nach PC gerichtet. Sie ist zusammengesetzt aus den bewegenden Kräften, mit denen P nach den einzelnen Massentheilehen der Kugel getrieben wird. Da aber die Anziehung immer gegenseitig ist, und da bei zwei sich anziehenden Theilchen die bewegenden Kräfte, mit denen sie gegen einander getrieben werden, sich gleich sind (ebendaselbst), so ist auch die Resultante der bewegenden Kräfte, mit denen die Theilchen der Kugel nach P hin getrieben werden, = KMp : PC 2 , und nach CP gerichtet. Zufolge der Anziehung von P wirkt demnach auf die Kugel eine nach CP gerichtete beschleunigende Kraft = Iip : CP 1 . c. Wird die Kugel, ausser von P, noch von mehrern andern Punkten P', P", ..., deren Massen = p', p", ... sind, angezogen, so wirken auf die Kugel gleichzeitig nach CP, CP’, CP”, ... gerichtete Kräfte, welche resp. = Iip : CP 2 , Kp' : CP' 2 , Iip" : CP” 2 , ... sind. Nehmen wir nun an, dass alle diese materiellen Punkte eine zweite Kugel bilden, bei welcher, wie bei der ersten, in gleicher Entfernung vom Mittelpunkte gleiche Dichtigkeit statt findet, und bezeichnen wir die Masse dieser zweiten Kugel, = p + p' + p" + ..., mit M l und ihren Mittelpunkt mit C L , so lassen sich, nach dem in a. Bemerkten, alle jene Kräfte, deren Richtungen in C Zusammentreffen, zu einer einzigen = KM, : CC, 2 verbinden, deren Richtung CC L ist; d. h. die erste Kugel wird von der zweiten — und folglich auch die zweite von der ersten — eben so angezogen, als ob die Massen beider Kugeln in ihren Mittelpunkten vereinigt wären. Wenn demnach auf zwei oder auch mehrere Kugeln, deren jede in gleicher Entfernung von ihrem Mittelpunkte gleiche Dichtigkeit hat, keine andern Kräfte, als ihre gegenseitige Anziehung, wirken, so bewegen sich die Mittelpunkte eben so, als ob sie allein vorhanden und in ihnen die Massen der Kugeln vereinigt wären. — Man sieht, wie dieses Resultat unmittelbare Anwen- 112 Zweiter Abschnitt. Viertes Kapitel. düng auf die Bewegung der Himmelskörper leidet, und dass wir bei Berechnung der Bahnen ihrer Mittelpunkte, wie bisher , so auch fernerhin die Dimensionen dieser Körper ganz unberücksichtigt lassen können. Allerdings zeigen einige derselben eine kleine Abweichung von der Kugelgestalt. Der Einfluss dieser Abweichung auf die Bewegung der von ihnen angezogenen Körper ist aber bei ihren grossen Entfernungen von einander so gering, dass er jeder Beobachtung entgehen muss — mit Ausnahme der noch wahrnehmbaren Störungen, welche die abgeplattete Gestalt Jupiters in den Bewegungen seiner Trabanten hervorbringt, und mit Ausnahme des kleinen Einflusses der Abplattung der Erde auf die Bewegung des Mondes. §. 72. Die Kraft, mit welcher ein Himmelskörper einen andern Körper anzieht, ist nach vorigem §. umgekehrt dem Quadrate der Entfernung des andern vom Mittelpunkte des erstem proportional, und dieses nicht bloss bei grösseren Entfernungen, sondern auch dann noch, wenn beide Körper bis zur Berührung einander nahe sind. Es wird hiernach von besonderem Interesse für uns sein, aus der Kraft, mit welcher die Erde den um sie laufenden Mond anzieht, die Anziehungskraft der Erde auf Körper in der Nähe ihrer Oberfläche zu berechnen, indem die Wirkungen der letztem Kraft sich unmittelbar beobachten lassen. Bedeutet a die mittlere Entfernung des Mondes von der Erde und n seine mittlere Bewegung, so ist die Kraft, mit welcher der Mond in der Entfernung a nach der als ruhend gedachten Erde hingelrieben wird, oder der doppelte Raum (§. 10.), um welchen der Mond in der ersten Zeiteinheit gegen die Erde fällt, = nna\ es ist der Werth von T in §. 55. für r — a. Nun ist (§. 66.) i a — -——— = 60,296 Halbmessern des Erdäquators sin 57 1 5 1 = 60,296 X 19 630638 paris. Kuss, 113 Folgen aus dem Gesetze der Anziehung, und, wenn wir zur Zeiteinheit die Minute wählen: 27,3217 x 24 X 60 ■ Hiermit findet sich der Fallraum des Mondes in der ersten Minute: \nna = 15,094 Fuss. Wegen der gegenseitigen Anziehung von Erde und Mond fällt aber sowohl letzterer gegen erstere, als erstere gegen letztem, und dieses mit Geschwindigkeiten, die sich umgekehrt wie ihre Massen, also wie 88 zu 1, verhalten. Der Theil des Fallraums, welcher auf den Mond allein kommt, oder der Fallraum eines Körpers, der um die mittlere Entfernung des Mondes absteht und eine gegen die Erde ganz zu vernachlässigende Blasse hat, ist folglich der ||-ste Theil des ganzen. Dieser muss aber noch mit multiplicirt werden, um ihn von dem störenden Einflüsse der Sonne zu befreien, als wodurch die gegenseitige Anziehung von Erde und Blond im Verhältnisse von 358 : 357 geschwächt wird (§. 6G.). Wir erhalten somit den verbesserten Fallraum = f# X M X 15,094 = 14,960 Fuss. Um hieraus einen durchschnittlichen Werth für den Fall- raum auf der Oberfläche der Erde abzuleiten, wollen wir für die abgeplattete Erde eine ihr an Inhalt und Blasse gleiche Kugel substituiren. Vom Mittelpunkte dieser Erdkugel ist der Blond um 1,0011 X 60,296 - 60,363 (§. 68.) ihrer Halbmesser entfernt, und es ist folglich auf der Oberfläche dieser Kugel der Fallraum in der ersten B'Iinule — 60,363 3 X 14,966 Fuss, folglich in der ersten Secunde = x 14,966 = 15,148 Fuss. Es beträgt aber (§. 10.) zu Folge einer sehr grossen Anzahl an den verschiedensten Orten der Erde angestellter Pendelbeobachtungen (§. 26.) der Fallraum in der ersten Secunde unter den Polen 15,132 F’uss und unter dem Aequa- lor 15,054, oder vielmehr X 15,054 ^ 15,106 Fuss, weil durch die Schwungkraft, welche durch die Axendrehung der Moebius, Mecli. d. nimm. g 114 Zweiter Abschnitt. Viertes Kapitel. Erde erzeugt wird, und deren Wirkung hier ausser Acht bleiben muss, die Schwerkraft unter dem Aequator um ihren 288sten Theil verringert wird. Die grosse Uebereinstimmung zwischen diesen Zahlen und dem vorhin aus der Bewegung des Mondes gefolgerten Resultate*) zeigt nun auf das deutlichste, dass die Kraft, welche die Erscheinung des freien Falls der Körper, ihren Druck auf un tergelegte Flächen u. s. w r . hervorbringt, und welche die Schwerkraft genannt wird, völlig einerlei mit derjenigen ist, mit welcher die Erde auf den Mond und noch entferntere Himmelskörper wirkt. Diese sich über alle Grenzen erstreckende Kraft der Erde, sowie die ähnliche Kraft jedes andern Himmelskörpers, und die gegenseitige Anziehung der Materie überhaupt, hat man daher auch die allgemeine Schwere genannt. Zusatz. Aus dem Fallraume auf der Oberfläche der Erde kann man leicht den Fallraum auf einem andern Himmelskörper mittelst der Verhältnisse zwischen den Massen und den Halbmessern beider Körper herleiten. Denn zu Folge des Ausdrucks für die anziehende Kraft ist er direct der Masse und umgekehrt dem Quadrate des Halbmessers proportional. Bezeichnen daher M, II , V die Masse der Erdkugel, ihren Halbmesser und den Fallraum in der ersten Secuude auf der Oberfläche der Erde, und bedeuten M', IV, F’ dasselbe für irgend einen andern Himmelskörper, so hat man F - £ "I F M R'* ‘ ' So ist z. B. für den Mond nahe ^ •—-L 1 M bb ’ il 3 ’ woraus F' = ~. F = -4-.- . F folgt. ü,OD *j Eine noch bessere Uebereinstimmung erhält man, wenn man in obiger Kechnung die Laplace’sche Bestimmung der Mondsmasse, = T ' T der Erdmasse, anwendet. Denn damit finden sich 15,119 statt der obigen 15,148 l'uss. Den Pendelbeobachtungen zufolge ist aber auf einer der Erde an Inhalt und Masse gleichen sich nicht drehenden Kugel der Fallraum in der ersten Secunde = 15,116 Kuss. Allgemeine Gesetze der Bewegung. ]]?> Für die Sonne ist ~ --= 357922, ^ ----- und daher F 28,53 . F. Auf dem Monde füllt daher ein Körper in der ersten Secünde — 2,31 Fass, auf der Sonne 28,53 X 15 12 * 0)00 43‘1,4 Fus's. — Ein Körper, der hei uns Pfund wiegt, drückt auf dem Monde nicht stärker, als ein Gewicht von 1 Pfund bei uns; und ein Gewicht von 1 Pfund lastet auf der Sonne eben so stark, als ein Gewicht von 281 Pfund bei uns. Fünftes Kapitel. Allgemeine Gesetze der Bewegung bei einem System sich anziehender Körper. §. 73. Es ist schon erinnert worden, dass wegen der gegenseitigen Anziehung aller Körper die Planeten in ihren Bewegungen um die Sonne sich nicht vollkommen genau nach den von Kepler gefundenen Gesetzen bewegen. Dies würde nur dann geschehen können, wenn die Masse jedes Planeten gegen die Masse der Sonne unendlich klein wäre. Denn alsdann würden die Wirkungen der Planeten auf die Sonne und auf einander als verschwindend gegen die Wirkung der Sonne auf die Planeten zu betrachten sein. Abgesehen von einer mulhmasslioh statt findenden gemeinsamen Bewegung des ganzen Systems, würde dann die Sonne in Buhe verharren und die Planeten würden sich um sie in vollkommenen Ellipsen bewegen. Da aber die Massen der Planeten, wenn auch sehr klein, doch nicht ganz unmerklich gegen die Masse der Sonne sind, so kann weder die Sonne in Buhe bleiben, noch kann der Planetenlauf genau elliptisch sein. So zusammengesetzt aber auch die in aller Schärfe genommenen Bewegungen der Sonne und der Planeten, so wie 8 * X 116 Zweiter Abschnitt. Fünftes Kapitel. der die letztem begleitenden Nebenplaneten, in der That sein mögen, so lassen sich doch mit Hülfe der Mechanik einige allgemeine Gesetze angeben, wonach sich diese Bewegungen stets auf das genaueste richten, Gesetze, die selbst dann befolgt werden würden, wenn die anziehende Kraft nicht dem Quadrate der Entfernung umgekehrt proportional, sondern auf irgend eine andere Weise von der Entfernung abhängig wäre. Die folgenden §§. sollen uns diese Gesetze näher kennen lehren. I. Das Princip der Erhaltung des Schwerpunktes. §. 74. Der Begriff und die Haupteigenschaflen des Schwerpunktes lassen sich sehr einfach aus der Theorie von der Zusammensetzung gerader Linien ableiten. Da ans derselben Theorie die im ersten Abschnitte vorangestelllen Sätze der Dynamik entwickelt worden sind, so halte ich es für angemessen, ehe ich zu dem in der Ueberschrift genannten Princip selbst fortgehe, zu zeigen, wie auf jene Theorie auch die Lehre vom Schwerpunkte gegründet werden kann, wenn ich auch die Hauptsätze dieser Lehre als meinen Lesern schon bekannt annehmen darf. 1) Ist iS der Mittelpunkt zwischen zwei Punkten Ä und B, so sind die geraden Linien SA und SB einander gleich und entgegengesetzt, und folglich die aus ihnen zusammengesetzte Linie null. Und umgekehrt: Hat ein Punkt S gegen zwei andere A und B eine solche Lage, dass die Zusammensetzung von SA und SB Null giebt, so ist er der Mittelpunkt von AB. Auf analoge Art kann man einen Punkt S den Mittelpunkt eines Systems von drei oder mehrern Punkten A, B, C, ... nennen, wenn er gegen diese also liegt, dass die aus den Linien NA, SB, SC, ... zusammengesetzte Linie null ist, d. h. dass von der gebrochenen Linie, welche durch diese Zusammensetzung sich bildet (§. 2.), der Endpunkt mit dem Anfangspunkte zusammenfällt, und somit ein geschlossenes Vieleck entsteht. 117 Erhaltung des Schwerpunktes. 2) Eben so, wie ein System von nur zwei Punkten, kann auch ein System von mehrern Punkten nicht mehr als einen Mittelpunkt haben. Denn sei, wenn es möglich M r äre, von den n Punkten A, P, C, ... nächst S noch S' ein Mittelpunkt. Nun ist S'A aus S’S und NM zusammengesetzt (§. 2. a.), oder wie wir dieses der Kürze und leichteren Uebersicht wegen schreiben wollen: S'A = S'S + SA, wo das statt (-=-) gesetzte Zeichen (=) andeutet, dass die durch (+) angezeigte Addition oder Zusammensetzung nicht in arithmetischem, sondern in geometrischem Sinne, d. h. auch mit Rücksicht auf die läge der zusammenzuselzenden Linien (vergleiche §. 22. Anmerkung), ausgeführt werden soll. Eben so ist S'B = S’S + SB, S'C = S'S + SC, etc. Addirt man alle diese Formeln, was nach der Natur der geometrischen Zusammensetzung gestattet ist, so kommt: SA -|-SB -{- ... he: n . S S -f- SA -f - &B -j- . . . . Weil aber N der Mittelpunkt von A, B, ... sein soll, so ist die aus SA, SB, ... zusammengesetzte Linie null, oder NM + SB + SC + ... =0. Hiermit reducirt sich die vorige Formel auf (n) S'A + S'B -f- ... =n . S'S, d. h. die Zusammensetzung der von N' nach den Punkten des Systems gezogenen Linien giebt das n fache der von N' nach dem Mittelpunkte des Systems gezogenen, also nicht Null, wie es doch sein müsste, wenn auch N' ein Mittelpunkt wäre. 3) Zu den «Punkten M, B, ..., deren Mittelpunkt N ist, mögen jetzt noch irgend andere Ä, B', ... hinzutreten, und von allen diesen Punkten M, B, ..., Ä, B', ... sei S' der Mittelpunkt, so besteht zuerst in Bezug auf die Punkte M, B, ... allein die Relation (n), und nächstdem ist S'A + S'B + ... + S'Ä + S'B' + ...== 0, was sich vermöge (n) auf n . S'S + S'A + N'JT + ... == 0 reducirt. Denkt man sich in dieser Formel statt n . S'S das 118 Zweiter Abschnitt- fünftes Kapitel. aus n Gliedern bestellende Aggregat S'S + S'S + ... geschrieben, so wird durch sie ausgedrückt, dass S' auch der Mittelpunkt von A\ //, ... und von n in S vereinigten Punkten ist; d. h. Der Mittelpunkt eines Systems von Dunklen bleibt wir verändert, wenn man einen Theil der Punkte in dem Mittelpunkte, den diese für sich haben,, sich vereinigen lässt. 4) Besteht das System aus p + q Punkten, von denen ; II in P und q in Q vereinigt sind, und ist S der Mittelpunkt des Systems, so muss p . SP + g . Sth~ 0 sein) d. h. das- p fache der Linie AP und das q fache der Linie SQ müssen einander gleich und entgegengesetzt sein. Sind daher die Punkte P, Q und die Zahlen p, q gegeben, so wird man S finden, wenn man die Linie PQ in S so tlieilt, dass PS : SQ -- q : p. §. 75. Mit Hülle der zwei letzten Sätze des vorigen §,. ist es immer leicht von einer beliebigen Anzahl von Punkten den Mittelpunkt zu bestimmen. Soll von drei Punkten A, B , C (Fig. 27.) der Mittelpunkt gefunden werden, so halbire man zuerst AB in S'. Der Mittelpunkt S" von A, B, C ist alsdann einerlei mit dem von C und von zwei in S' vereinigten Punkten; er wird daher gefunden, wenn mau'A'G’ in. A" in dem Verhältnisse 1 : 2 tlieilt. Kommt zu A, li, C noch ein vierter Punkt D, so ist der Mittelpunkt von allen vieren einerlei mit dem von D und von drei in S" zusammenfallenden Punkten und ergiebt sich daher, wenn man S"D in dem Verhältnisse 1 : : 3 tlieilt; und so fort bei noch mehrern Punkten. Die Ordnung übrigens, nach welcher man die Punkte eines Systems, um dessen Mittelpunkt zu finden, nach und nach in Betrachtung zieht, ist willkührlich, weil das System nicht mehr als einen Mittelpunkt hat. Der Mittelpunkt eines Systems kann auch sehr einfach durch Anwendung von Coordinaten gefunden werden; Zum 119 Erhaltung des Schwerpunktes. Verständnisse dieses Verfahrens müssen aber zuvor einige Sätze aus der Lehre von den Projeclionen eingeschaltet •werden. Seien A, B, C, ... mehrere Punkte im Raume. Man projioirc sie, sei es durch Parallellinien auf eine Ebene, oder durch Parallelebenen auf eine gerade Linie, und nenne A', B’, G v , ... die projicirten Punkte. Alsdann erhellet aus den ersten Elementen, dass in dem einen, wie in dem andern Falle, wenn AB = CI), auch AB' = CD' ist; d. h. Sind zwei gerade Linien einander gleich und parallel, so sind es auch ihre Projectionen. Ist ferner eine Linie GH aus mehrern andern AB, CD, Elf zusammengesetzt, so ist auch die Frojection der erstem aus den Projectionen der letztem zusammengesetzt. Denn denkt man sich jede der Linien AB, CI), EE parallel mit sich fortgetragen, bis A mit G, C mit B, E mit D zusammenfällt, so muss zu Folge der Voraussetzung auch F mit H zusammenfallen. Bei dieser Lage der vier Linien, wo sie ein geschlossenes Viereck bilden, tliuen dasselbe auch ihre Projeclionen, und es ist folglich die Projeclion von GIF aus den Projectionen der drei übrigen zusammengesetzt. Dieselbe Relation zwischen den Projectionen muss daher auch bei der anfänglichen Lage der Linien statt gefunden haben, weil nach dem vorigen Satze durch die parallele Fortbewegung der Linien die Richtung und Grösse ihrer Projectionen sich nicht geändert hat. Eine unmittelbare Folge hiervon ist, dass, wenn die Zusammensetzung mehrerer Linien null giebt, sich auch die Zusammensetzung ihrer Projectionen auf null reducirt. Ist daher SA 4- SB + SC + ... = 0, so ist auch S'Ä + S'B' + S'C' + ... = 0, d. ln die Frojection S' des . Mittelpunktes S mehrerer Funkte A, B, C,.... ist zugleich der Mittelpunkt der Projectionen A, V, C', ... dieser Punkte. Man füge nun ein System dreier coordinirter Axen X, Y, Z hinzu und setze in Bezug auf dasselbe die Coordinaten von S,. =■ ö, o', g"; die von A, = a, a, a"; die von B, --= ß, ß', ß" ; etc. Man betrachte ferner S', A', B', ... als 120 Zweiter Abschnitt. Fünftes Kapitel. die Projeclionen von 5, A, B, ... auf X durch Parallelebenen mit YZ, so ist, wenn 0 den Anfangspunkt der Coor- dinaten oder den gemeinsamen Durchschnitt von X, F, Z bezeichnet: 05'= ö, OM'=a, OB'= ß, etc.; folglich S’Ä = a — ö, S'B ' = ß ■— 6, etc. Da letztere Linien alle in derselben Geraden X liegen, so ist die aus ihnen zusammengesetzte = ihrer algebraischen Summe = a + (3 + ... — m, wo n, wie im Vorigen, = der Anzahl der Punkte A, B, ...; und weil diese Summe null sein soll, so wird o = 5 (« + P + •• •)• Ganz dieselbe Relation muss . aber auch zwischen den Coordinaten in Bezug auf jede der beiden andern Axen statt haben, also: e ' = i (“ +/*'+•■■) und g" = 1 («" 4-/3"+ .. •), wodurch die Coordinaten des Mittelpunkts gefunden sind. Besteht das System aus a + b + ... Punkten, von denen a in A, b in B, etc. vereinigt sind, so sind nach denselben Formelij die Coordinaten des Mittelpunkts 5 fl(( + bß + • ■ - r _ acc + bß' + . . . « + 6 4* • • • J n -f- b -f- ... * etc. Man bemerke noch, dass bei diesem System die geometrische Relation zwischen S, A, B, ... durch die Formel • a'.SA + b .SB + ... = 0 ausgedrückt wird. §• 76. Lassen wir jetzt die «Punkte A, B, C, ... sich beliebig zu bewegen anfangen und suchen die Art und Weise zu bestimmen, auf welche von ihren Bewegungen die Bewegung ihres Mittelpunkts 5 abhängt. Seien zu dem Ende 5 0 , A () , B 0 , C 0 , ... und S 1 , A lt B L , C ly ... die Oerter, welche 5, .4, B , C, ... in zwei beliebigen Zeitpunkten T 0 und 7j einnehmen. Nun ist (§. 2. «.), wie auch die vier Punkte A n , S 0 , S lt A 1 liegen mögen: 121 Erhaltung des Schwerpunktes. A lt A L =yl (l .S 0 + S () S, -t- .V, Äj , und eben so ß (i B l = B 0 S () + Bi , C„ C. L = C () S (j 4- S t) S t + S 1 C i , u. s. w. Addirt man diese n Formeln und berücksichtigt dabei, dass, weil S in jedem Zeitpunkte der Mittelpunkt von A, B, C, ... sein soll, S) A l 4- Bi 4- S L Ci 4- • • • = 0 und S 0 A {) 4- 5’,, 4- .. • e= 0, also auch /t 0 ‘S ' 0 4 - 4 - C„5 () 4 - ... = 0 ist, so kommt: («) A () A 1 4- B 0 Bi 4* C 0 C 1 4- ••• = n . S„S 1 . Um die Bedeutung dieses Resultats zu verstehen, denke man sich einen Punkt P hinzu, dessen Bewegung aus denen der Punkte A, B, C, ... zusammengesetzt sei. Nach der in §. 6 . von der zusammengesetzten Bewegung gegebenen Definition ist dann für die Zeitpunkte T () und 7j : P (l P y = A t) Aj 4- B 0 B l 4 - C lt Cj 4- •••, folglich wegen ( a ) auch P lt P L = n . S lt S L = S f> Sy +s 0 S L + .... Die aus den Bewegungen der n Punkte A, B, C, ... zusammengesetzte Bewegung und diejenige, welche erhalten wird, wenn man die Bewegung des Mittelpunkts S der «Punkte «mal mit ihr selbst zusammenselzt, sind daher einander gleich, indem jede von beiden gleich der Bewegung von P ist; oder kurz: die «fache Bewegung yon S ist aus den Bewegungen von A, B, C, ... zusammengesetzt. Es folgt hieraus weiter, dass in jedem Zeitpunkte die aus den Geschwindigkeiten von A, B, C, ... zusammengesetzte Geschwindigkeit und die «fache Geschwindigkeit von S einerlei Richtung und Grösse haben, nämlich die gleichzeitige Richtung und Grösse der Geschwindigkeit von P (§. 12.); d. h. die «fache Geschwindigkeit von S ist aus den Geschwindigkeiten von A, B, C, ... zusammengesetzt; und dasselbe gilt wörtlich auch von den beschleunigenden Kräften, durch welche die Bewegungen von S, A, B, C, ... hervorgebracht werden (§. 24.). 122 Zweiter Abschnitt. Fünftes Kapitel. Wir wollen uns jetzt A, B , C, ... nicht mehr als einzelne Punkte des Systems, sondern als die Mittelpunkte von Partialsyslemen von resp. «, b, c, ... Punkten denken, aus denen das ganze System, dessen Mittelpunkt, wie vorhin, S heisse, zusammengesetzt sei. Erhallen nun alle diese « + b 4- e + ... Punkte irgend beliebige Bewegungen, und langen damit auch A, B, C, ... und S sich zu bewegen an, so wird die Bewegung des S von den Bewegungen der A, B, C, ... dergestalt abhängen, dass für je zwei Zeitpnnkte 7j, und l\ («’•') « . -lu-lj -f- b . B ll B j .—(« 4~ b + ...) S t) Sj ist. Es erhellet dieses sogleich daraus, dass man nach §. 74. 3. für S denselben Ort und folglich auch dieselbe Bewegung findet, wenn man annimmt, dass die «Punkte, von denen A der Mittelpunkt ist, in .A, eben so die folgenden b Punkte in ihrem Mittelpunkte B, u. s. w. vereinigt werden und in dieser Vereinigung mit A, B, ... fortgeben. Denn unter dieser Annahme wird durch («*) in Bezug auf das System von « + b + c + ... Punkten dieselbe Relation, wie vorhin durch («) rücksichtlich des Systems von «Punkten, ausgedrückt. Aus ( a*) ist aber auf gleiche Art , wie vorhin aus («), zu sohliessen, dass die (« + # + •••) fache Bewegung von S aus der a fachen Bewegung von A : , der b fachen von B, u. s. w. zusammengesetzt ist, und dass dieselbe Beziehung zwischen den Ebensovielfachen der Geschwindigkeiten von S, A, B, so wie auch der Kräfte, durch welche diese Bewegungen hervorgebracht werden, statt hat. §. 77. Zusätze, a. Die Bewegung eines Punktes P würd nach vorigem §. das «fache der Bewegung eines andern Punktes A genannt, wenn sie aus « einander und der Bewegung von A gleichen Bewegungen zusammengesetzt ist, und wenn daher für je zwei Zeitpunkte T 0 und J \, P () P l = «. ist. Die Zahl «. ist hierbei eine ganze positive Zahl; Man- sieht aber bald, dass die durch letztere Formel gegebene Defini- 123 Erkaltung des Schwerpunktes. tion sich ohne Widerspruch auch dann anwenden lässt, wenn a irgend eine gebrochene positive, ja selbst eine ganze oder gebrochene negative Zahl ist, in welchem letztem Falle die Linien A () A L and P n l\ stets einander entgegengesetzte Richtungen haben müssen. Sei in diesem allgemeinem Sinne das «fache der Bewegung von A dem b fachen der Bewegung von B gleich. Für irgend drei Zeitpunkte 7 0 , 7’ x und T 2 wird dann sein: a . A t) A L = b . B f) B l und a . A L A 2 = b . B t B.,. Die Dreiecke A^A^, und B (] B, B., (Fig. 28.) sind hiernach in dem Verhältnisse b : a einander ähnlich und in direct oder verkehrt ähnlicher Lage, jenachdem der Exponent b : « positiv oder negativ ist. Da dieses auch für je drei andere Zeitpunkte gilt, so schliessen wir: dass wenn das afache der Bewegung von A dem b fachen der Bewegung von B gleich ist, die Bahnen von A und B selbst in dem Verhältnisse b : «■ einander ähnlich sind und . direct oder verkehrt ähnlich liegen, jenachdem b : a positiv oder negativ ist , und dass A und B in jedem Zeitpunkte sich an. ähnlich liegenden Stellen ihrer Bahnen, befinden. Eine weitere Folge hiervon ist, dass auch die Geschwindigkeiten von A und B sich tvie b und a verhalten und einerlei oder entgegengesetzte Bichtungen haben, jenachdem b : a positiv oder negativ ist. Und dasselbe, gilt auch von den Kräften, durch welche die Bewegungen von A und II erzeugt werden. Denn indem man 7], 7j und 'Jj L\ als zwei einander gleiche Zeitelemente annimmt, sind die zur Zeit T L statt findenden Kräfte sowohl, als die Geschwindigkeiten, nichts anderes als Linien, welche aus den in dem Verhältnisse b : ßi einander ähnlichen und ähnlich liegenden Figuren A^A^i, und ß tl B,B 2 auf gleiche Weise bestimmt werden, und daher ebenfalls in dem Verhältnisse b : a zu einander stehen und eine ähnliche d. i. parallele Lage haben müssen. b. Sind die Bewegungen 1 zweier Punkte A und B in dem Verhältnisse 1 : — 1, also einander gleich und entgegengesetzt, ist also für je zwei Zeitpunkte = B L B (j ,. so ist die aus ihnen zusammengesetzte Bewegung, folglich auch 124 Zweiter Abschnitt. Fünftes Kapitel. die des Mittelpunktes von A und B, null, d. h. der Mittelpunkt ruht. Sind a und b ganze positive Zahlen, und ist das a fache der Bewegung von A dem b fachen der Bewegung von B gleich und entgegengesetzt, so muss aus gleichem Grunde der Mittelpunkt von A und B, wenn dabei A als ein a facher und B als ein b facher Punkt genommen wird, in Ruhe sein; d. h. Stehen die Bewegungen zweier Punkte A und B in dem numerischen Verhältnisse — b : a , so schneiden sich alle successwen Lagen der Linie AB in einem und demselben Punkte S und theilen sich daselbst in dem Verhältnisse a:b .— Man gewahrt leicht, dass dieser Salz auch dann gilt, wenn das Yerhältniss — b : a irrational, so wie auch dann, wenn es positiv ist, in welchem Falle S ausserhalb A und B liegt; und dass dieser Punkt S in jedem Falle gegen die zwei von A und B beschriebenen Curven eine ähnliche Lage hat. c. Yon zwei Bewegungen, die nach der jetzt erklärten Weise in einem numerischen Verhältnisse zu einander stehen, kann man bezeichnender sagen, dass sie in diesem Verhältnisse einander ähnlich sind. So wie ferner nach §. 4. A gegen F dieselbe Bewegung, wie B gegen G hat, wenn stets FA^GB ist, si> kann man die relativen Bewegungen von A gegen F und von B gegen G in dem Verhältnisse b : a einander ähnlich nennen, wenn stets a . FA = b . GB ist. Sind F und G feste Punkte, so sind in demselben Verhältnisse auch die absoluten Bewegungen von A und B einander ähnlich. Hiernach sind z. B. die Bewegungen eines a fachen und eines b fachen Punktes um ihren Mittelpunkt stets in dem Verhältnisse — b : a einander ähnlich'; ruht aber der Mittelpunkt, so sind es auch die absoluten Bewegungen. Anmerkung. Aus dem Bisherigen geht hervor, wie auf den Begriff der Bewegung alle vier Species der Rechenkunst angewendet werden können. Die Addition oder Zusammensetzung der Bewegungen ist bereits in §.6. erklärt worden. Von der Bewegung eines Punktes A die Bewegung eines andern B sub- trahiren wird nichts anderes heissen, als die Bewegung eines Punktes C bestimmen, welche, zu der letztem addirt, die erstere 12 :> Erhaltung D 1 die Geschwindigkeit von D\ die auf D wirkende Kraft aber ist — K (« + &): AB 2 (§. 05.) = K (a 4- b) : CD 2 , und nach C gerichtet. Der Punkt D beschreibt demnach mit constanter Flächengeschwindigkeit CD () D l um C, als den einen Brennpunkt, einen Kegelschnitt, der von in D () , wo sich 1) zur Zeit T f) befindet, berührt wird, und dessen halber Parameter (§. 55.) II ^ cc (2 ■ f’/),, ih)' 1 Trr K (n + b) K {n + b) *) ln diesen aus der geradlinigen und gleichförmigen Bewegung zweier Körper und ihres Schwerpunktes entspringenden Sätzen sind, wie man sieht, zugleich die Grundeigenschaflen des hyperbolischen Parabotoids oder der Fläche enthalten, welche von einer Geraden erzeugt wird, die, slets dieselben 2wei Geraden schneidend, sich parallel mit einer Ebene fortbewegt. 131 Erhaltung der Flachen. Hiernach kann der Orl von I) für jeden Zeitpunkt als bekannt angesehen werden. Dasselbe gilt auch von dem Orte des Schwerpunkts S der beiden Körper. Denn die Bewegung von 5 ist geradlinig und gleichförmig und wird aus den Oerlern A (n B 0 der Punkte A, B und ihren Geschwindigkeiten A () A 1 , B {) B y zur Zeit T () eben so, wie im vorigen §., gefunden, weil die gegenseitige Anziehung der Körper auf seine Bewegung keinen Einfluss hat. Mit den Oertern von 1) und S sind aber auch sogleich die von A und B gefunden. Denn weil die Linie AB = CD ist und von S in dem Verhältnisse b : a gelheilt wird, so hat man nur .SVl = DC und SB = —^ CD zu machen. Die Bewegungen von A und B gegen S sind demnach einander und der von D gegen C oder von B gegen A in den Verhältnissen 1— b : a : a + b ähnlich (§.77. c.). Um sich von diesen Bewegungen eine anschauliche Vorstellung zu machen, denke man sich durch S eine mit CD () D L parallele Ebene gelegt. Indem dieselbe, sich parallel bleibend, mit S geradlinig und gleichförmig fortgeht, bewegen sich in ihr A und B um den zwischen ihnen liegenden Punkt S, als den gemeinschaftlichen Brennpunkt, in einander ähnlichen, aber verkehrt liegenden Kegelschnitten, deren Dimensionen sich umgekehrt wie die Massen von A und B verhalten. II. Das Princip der Erhaltung der Flächen. §• 82. Es ist dieses Princip eine Verallgemeinerung des schon in §. 37. bewiesenen Satzes, dass die Flächengeschwindigkeit des Radius Veclor eines Körpers durch eine Kraft, welche in der Richtung des Radius wirkt, nicht geändert wird. Um das Princip jetzt in seiner Allgemeinheit zu entwickeln, wollen wir uns zuerst einen sich geradlinig und gleichförmig bewegenden Körper A denken und diese Bewegung auf einen irgendwo angenommenen festen Punkt 0 (Fig. 30.) beziehen. Weil Dreiecke von gleicher Höhe sich 9* 132 Zweiter Abschnitt. Fünftes Kapitel. wie ihre Grundlinien verhalten, so wird bei der gedachten Bewegung der nach dem Körper von 0 aus gezogene Radius OÄ der Zeit proportionale Flächen beschreiben, in jeder Zeiteinheit eine Fläche = OFG, wenn FG der von A in einer Zeiteinheit beschriebene Weg ist; mit andern Worten: es wird OFG die constante Flächengeschwindigkeit des Radius sein, wenn FG die constante Geschwindigkeit des Körpers ist. Erhalte nun der Körper, in F angelangt, einen Stoss, welcher ihm eine in der Ebene OFG begriffene Geschwindigkeit = FII ertheile. Man construire das Parallelogramm HFGI, so ist vom Zeitpunkte des Stosses an FI die Geschwindigkeit des Körpers und OFI die Flächengeschwindigkeit des Radius. Nach §. 37. b. ist aber mit gehöriger Rücksicht auf die Zeichen — eine Rücksicht, die auch im später Folgenden nie vernachlässigt werden darf — das Dreieck OFI =■- OFG + OFH, d. h. die neue Flächengeschwindigkeit ist die Summe der anfänglichen und derjenigen, welche in Folge des Stosses allein statt haben würde. Zusatz. Man ziehe in der Ebene OFG von F aus noch beliebig die Linie FK und construire das Parallelogramm IFFL, so ist das Dreieck OFI - OFI -j- OFF = OFG + OFH + OFF. Dabei ist FL aus FI und FF, d. i. aus FG, FII und FF zusammengesetzt, weil es Fl aus FG und FII ist. Ist daher von mehrern von einem Punkte F ausgehenden und in einer Ebene enthaltenen geraden Linien die eine FL aus den übrigen FG, FH, FF zusammengesetzt, so ist auch von den Dreiecken, welche diese Linien zu Grundlinien und einen beliebigen Punkt 0 der Ebene zur gemeinschaftlichen Spitze haben, das Dreieck über der erstem Linie der Summe der Dreiecke über den letztem gleich. — Giebt die Zusammensetzung der Linien FG, FFI, .. . Null, so ist auch die Summe der Dreiecke OFG, OFH, ... — 0. §• 83. ' Betrachten wir jetzt zwei sich in einer Ebene geradlinig und gleichförmig bewegende Körper A und B\ seien FG und PQ (Fig. 31.) die Geschwindigkeiten derselben, also 133 Erhaltung der Flächen. OFG und OPQ die Fliichengeschwindigkeilen in liezug auf den beliebigen Punkt 0 der Ebene. Seien ferner F und P zwei gleichzeitige Oerter der Körper. In diesen angelangt, sollen sie nach direct entgegengesetzten Richtungen zwei einander (statisch) gleiche Slösse erhalten, also Stösse, welche ihnen nach FF und PF gerichtete Geschwindigkeiten FII und PR erlheilen, die sich umgekehrt wie die Massen a und b von A und B verhallen. Vom Zeitpunkte der Stösse an werden nach vorigem §. die Flächengeschwindigkeiten =-= OFG -f OFH und -= OPQ + OPR sein. Es verhallen sich aber die Dreiecke OFH und OPR ihren absoluten Werthen nach wie FH: PR =-■- b : u und haben entgegengesetzte Zeichen, weil die Richtungen von FII und PR einander entgegengesetzt sind. Mithin ist a . OFH + b . OPR — 0, und folglich a (OFG + OFH) + b {OPQ+ OPR) = a . OFG + b . OPQ, d. h. die Summe der Flächengeschwindigkeiten, jede mulli- plicirl mit der Masse des Körpers, dem sie zugehört, ist durch die Stösse nicht geändert worden. Eben so wenig wird diese Summe sich ändern, wenn die Körper noch mehrere Male, jedesmal gleichzeitig, zwei einander gleiche und direct entgegengesetzte Stösse erhalten; also auch nicht, wenn sie sich anziehen (vergleiche §. 61.). Hat man demnach zwei sich in einer Ebene bewegende Körper, auf welche keine andern stetigen Kräfte, als ihre gegenseitige Anziehung, wirken, und mulliplicirt man die auf irgend einen festen Pnnkt der Ebene bezogene Flächengeschwindigkeit eines jeden mit seiner Masse, so ist, w r ie auch die Anziehung von der gegenseitigen Entfernung der Körper ab- hängen mag, die Summe dieser Producte eine während der ganzen Rew r egung constant bleibende Grösse; oder mit andern Worten, da jede mit constanter Geschwindigkeit sich ändernde Grösse der Zeit proportional zu- oder abnimmt: die Summe der von irgend einer Zeit an von den Radien der beiden Körper beschriebenen und mit ihren Massen mul- tiplicirten Flächen wächst der Zeit proportional. 131 Zweiter Abschnitt. Fünftes Kapitel. s. 84. Das im vorigen §. erhaltene Resultat lässt sich leicht auf drei und mehrere sich in einer Ebene bewegende Körper ausdehnen. Denn setzen wir zuerst, dass die drei Körper A, B, C sich nicht anziehen, und sich daher jeder geradlinig und gleichförmig bewege, so ist von den Flächenge- schwindigkeiten der Radieu OA, OB, OC jede für sich con- stant, also auch die Summe der Producte aus ihnen in die resp. Massen der Körper. Auch wird diese Summe nach vorigem §. unverändert bleiben, wenn irgend zweien der drei Körper gleichzeitig zwei einander gleiche und direct entgegengesetzte Slösse erlheilt werden; also auch dann, wenn sich Slösse dieser Art, sei es an demselben Körperpaare, oder abwechselnd an verschiedenen Paaren, wiederholen; also auch dann, wenn sicli die drei Körper anziehen. Denn man kann sich die gegenseitige Anziehung von A, B und C oHeilbar auch so vorstellen, dass in unendlich kleinen Intervallen hintereinander zuerst etwa A und B, hierauf A und C, hierauf B und C, dann wiederum A und B, und in dieser Ordnung fort, durch gleiche Slösse gegen einander getrieben werden. Auf ähnliche Art ist der Reweis bei noch mehrern sich anziehenden Körpern zu führen. §• 85. Rewegen sich die einander anziehenden Körper A, B, C, ... nicht in einer Ebene, so seien Ä, B', C', ... ihnen an Masse gleiche Körper, die sich in einer beliebig gewählten Ebene, als die rechtwinkligen Projeclionen von A , B, C, ... auf diese Ebene, bewegen. Die Kräfte, wodurch diese letztem Bewegungen erzeugt werden, sind nach §. 24. b. den auf A, B, C, ... wirkenden und auf die Ebene projicir- ten Kräften gleich. Da nun wegen der gegenseitigen Anziehung, von A und B z. B., auf A und B nach den Richtungen AB und BA zwei einander gleiche bewegende Kräfte wirken, so werden auch Ä und B' von zwei einander gleichen bewegenden Kräften gegen einander getrieben, nämlich Erhaltung der Flächen. 13h von Krallen, die den auf A und B wirkenden und mit dem Cosinus der Neigung der Linie AB gegen die Ebene multi- plioirten Kräften gleich sind. Die Körper A\ //, G v , ... bewegen sich daher in der Ebene gleichfalls als einander anziehend, mithin nach dem vorhin entwickelten Gesetze, und wir schliessen daraus: Hat man ein System sich b e w e g e n d e r K ö r p e r, auf welche bloss ihre gegenseitigen Anziehungen wirken, zieht man von einem beliebigen festen Punkte nach den einzelnen Körpern Radien und projicirt dieselben auf eine beliebig durch den Punkt gelegte feste Ebene, so ist die Summe der Producte aus der Masse jedes Körpers in die Flächengeschwindigkeit der Projection seines Radius con- stant, oder es wächst die Summe der Producte aus der Masse jedes Körpers in die von der Projection seines Radius in der Ebene beschriebene Fläche der Zeit proportional. Dies ist der Satz, welchen man [das Prineip der Erhaltung der Flächen nennt. §. 80. Die nach diesem Prineip bei jedem System sich anziehender Körper von einem Zeitpunkte zum andern con- slante Summe von Producteu — wir wollen sie kurz das Moment des Systems nennen — hängt von der Wahl der festen Ebene und des darin liegenden festen Punktes 0 ab und wird für verschiedene Annahmen jener Ebene und dieses Punktes im Allgemeinen verschiedene Werthe erhalten. Untersuchen wir zuerst, wie sich das Moment ändert, wenn es bei unverändert bleibender Ebene auf verschiedene Punkte derselben bezogen wird. Seien zu dem Ende A m B () , ... und .S’„ (Fig. 32.) die rechtwinkligen Projectionen der sich anziehenden Körper A , B , ... und ihres -Schwerpunktes S auf die Ebene zu einer gewissen Zeit; A^A^ B {) B L , ... S () S L die Projectionen der gleichzeitig statt habenden Geschwindigkeiten von A, ß, ... und S. Nun ist, wo auch 130 Zweiter Abschnitt. Fünftes Kapitel. der Punkt 0 in der Ebene liegen mag, die Fläche des Vierecks A t) A | V, ,S' 0 ■ OA i) A i + OA t S, + OS L S 0 -f- OS„A 0 . Die Richtigkeit dieser Gleichung erhellet augenblicklich, sobald die zwei Diagonalen A„S\ und des Vierecks sieh innerhalb ihrer Endpunkte schneiden, und der Punkt 0 innerhalb des Vierecks liegt; sie gilt aber, mit gehöriger Rücksicht auf die Zeichen, auch für jede andere Lage der Punkte A () , A 1 , ... und 0. Auf gleiche Art ist die Vierecksfläche = ob (i b l + on s s, + os ± s n + os 0 b„, u. s. w. Man multiplicire diese Gleichungen resp. mit den Massen a, b , ... der Körper, addire sie hierauf und setze a . A„ A l S, S () + b . Ji f) ß 1 S t S t) + ■ ■ ■ 0 und ti . OA f) Aj -j- b . OB^B, "j~ ■ • ■ Al f wo also Al das Moment des Systems in Bezug auf den Punkt 0 der Ebene ausdrückt, so kommt: Q — Al 4- (a -j- b 4- • • •) OS, S n . Denn weil S der Schwerpunkt der Massen a, b, ... in A, B, ... ist, so ist auch in der Projection S () der Schwerpunkt der in A 0 , B 0 , ... befindlichen Massen (§.78. Zusatz), folglich (ebendaselbst) a . S lt A (y 4 b . = 0, folglich (§. 82. Zusatz) a . OS (t A (l + b . OS n B (i + 0, und eben so (i . OS, A, “l - b . OS, B, 4" • • • —~ D. Beziehen wir jetzt das System auf den Punkt 0' der Ebene und setzen rücksichtlich desselben das Moment J!/' } so findet sich ähnlicherweise: Q= DP + (« + * + ...) o , s,s t)] folglich AP — Al = (a + b + • •.) (OS,S 0 — O’S, S 0 ) = s (Os,s f) + o's () s,) - s. os, as 0 , wo s = ö + ä -f- — Es wird hierdurch der merkwürdige Satz ausgedrückt, dass für je zwei Punkte derselben Ebene der Unterschied der darauf bezogenen Momente des Systems dem mit der Alassensumme multiplicirten Viereck gleich ist, 137 Erhaltung der Flüchen. welches die Linie von dem einen Punkte zum andern und die Linie, welche die Geschwindigkeit des Schwerpunkts darstellt, zu Diagonalen hat. Folgerung. Für S () S 1 =0 wird d. 1). Ruht der Schwerpunkt, so hat das Moment für alle Punkte einer und derselben Ebene gleiche Werthe. §• 87. Behalten wir jetzt den Punkt 0 ungeändert bei, lassen aber die ihn enthaltende Ebene ihre Lage ändern und suchen die Abhängigkeit zwischen den auf diese verschiedenen Ebenen bezogenen Momenten zu bestimmen. Wir wollen deshalb zuvor ein System ihrer Richtung und Grösse nach bestimmter gerader Linien /', g, h, ... in Betrachtung ziehen, von denen die erste f aus den übrigen g, h, ... zusammengesetzt sei, und die wir uns insgesamint, besserer Anschaulichkeit wegen, von einem und demselben Punkte 0 ausgehend denken. Diese Linien wollen wir rechtwinklig auf eine beliebig durch 0 gelegte Gerade y projiciren und /j, , h l} ... die Projeclionen nennen, so ist der Voraussetzung zufolge und nach §. 75. (a) f L = g L + h L + .... Werde nun zu diesem System von Linien y, f, g , h, ... ein System durch 0 gelegter Ebenen r, F, G, II, ... hinzugelugt, welche auf den gleichnamigen Linien perpendikulär stehen, und von denen man sich F, G, II, ... als begrenzte den Längen von /', g, h, ... proportionale Flächen denke, so dass, wenn die Linie F: f zur Linieneinheit genommen und daher F == f gesetzt wird, man auch G - g, II h, etc. hat. So wie vorhin f, g, h, ... auf y, projicire man jetzt die Flächen F, G, II, ... auf die Ebene r und nenne F l , G t , H s , ... diese Projeclionen. Weil f auf F und y auf r oder /j auf F\ perpeifdikular steht, so sind die Winkel von f mit /j und von F mit F t einander gleich; es verhält sich daher die Linie f zu ihrer Projection j\, wie die Fläche F zu der ihrigen F,, und da F =-f gemacht worden, so ist IBS Zwcitei' Abschnitt. Fünftes Kapitel. auch E] —f \, und aus gleichem Grunde G, -- //,, ~ h 1 , elc., folglich wegen (a) Fi = G, + /f| + — Sind demnach — so schliessen wir hieraus umgekehrt — mehrere begrenzte Ebenen G, E, ... gegeben , errichtet inan auf denselben ihnen proportionale Perpendikel g, h, ... und bestimmt die aus diesen zusammengesetzte Linie f so hat eine auf f perpendikuläre ebene Fläche F, welche mit f in demselben Verhältnisse, wie G mit g, etc. proportional ist, die Eigenschaft, dass die Summe der Projectionen der gegebenen Flächen G, H, ... auf eine beliebige Ebene r stets der Protection von F auf dieselbe Ebene gleich ist. Man kann diese Fläche F die aus den Flächen G, //, ... zusammengesetzte Fläche nennen, da sie in Bezug auf G, EI, ... dieselbe Eigenschaft hat, wie in Bezug auf die Linien g, h, ... die aus ihnen zusammengesetzte f. Werden nun — um diese Betrachtung auf die Bestimmung der Momente anzuwenden — durch A°A l , B U B', ... die zu einer gewissen Zeit statt habenden Geschwindigkeiten der Körper A, B, ... im Raume dargestellt, so hat man nur die Flächen OA"/ 1 1 , OB"B\ ..., nachdem sie vorher resp. mit Zahlen a, b, ... multiplicirt worden, welche den Massen von A, B, ... proportional sind, zu einer einzigen Fläche F zusammenzusetzen. Die Summe der Projectionen von a . OA'Li 1 , b . OB 11 ! 1 , ... auf irgend eine durch 0 gelegte Ebene X 1 , oder das Moment des Systems in Bezug auf diese Eibene, wird dann stets der Projeclion von F auf dieselbe Eibene gleich sein, also - F cos r A F. Unter allen auf denselben Punkt 0 bezogenen Momenten ist daher dasjenige, dessen Ebene mit F zusammenfällt, am grössten, nämlich — E' selbst, weshalb wir E' das Haupl- moment für den Punkt 0 nennen wollen. Für jede Eibene, welche auf F perpendikulär steht, und wo daher jT a F — 90", ist das Moment null. Eben so leuchtet ein, dass für alle Eibenen, welche mit F gleiche Winkel machen, die Momente gleiche Werlhe haben. Nachträglich ist noch zu zeigen, wie bei der Zusammensetzung der Flächen der nöthigen Rücksicht auf die Zeichen 139 Erhaltung der Flächen. noch Genüge geschehen muss, was im Vorigen, um die Auffassung der Hauptsache desto leichter zu machen, übergangen wurde. — Seien OQ, OR, ... den Flächen a. OA'A 1 , b . OB"B l , ... proportionale und auf ihnen perpendikuläre (vorhin mit g, h, ... bezeichnete) Linien, und zwar jede derselben auf derjenigen Seite ihrer Fläche stehend, bei welcher, wenn die Richtung von den Füssen nach dem Kopfe nach und nach in die Lagen OQ, OR, ... gebracht wird, die darauf resp. perpendikulären Linien A’-'A 1 , B"B X , ... jedesmal nach derselben Seite, es sei von der Rechten nach der Unken, gerichtet erscheinen. Ist nun OP (vorhin f) die aus OQ, OR, ... zusammengesetzte Linie, so lege man durch 0 eine auf ihr perpendikuläre Ebene und ziehe darin eine Linie A'°/t 1 so, dass, den Kopf nach P und die Füsse nach 0 gebracht, ihre Richtung nach links gellend erscheint, und von solcher Länge, dass das Dreieck OIP'K 1 : a . OA ,] A l : etc. = OP: OQ : etc. Dieses Dreieck wird die gesuchte Fläche V sein; es wird nämlich, wenn A {) A,, B 0 B l , ... und Iv ( ,K l die Projectionen von A"A l , ß"B', ... auf irgend eine durch 0 gelegte Ebene r sind, mit gehöriger Rücksicht auf die Zeichen (§. 37. Anmerkung) a . OA { ,A l + b . Oß 0 B 1 + ... = OK () Ii\ sein. §. 88. Seien r und I' zwei einander parallele Ebenen, 0 ein Punkt in der erstem, 0' in der letztem, und die Linie 00' auf ihnen perpendikulär. Die zwei Momente des Systems, wenn dieses das' einemal auf r und 0, das anderemal auf r' und 0' bezogen wird, sind dann einander gleich, weil unter der gemachten Voraussetzung von jeder Linie des Systems, wie von A"sV, die zwei Projectionen auf r und JP' offenbar einander gleich und parallel sind und resp. gegen 0 und 0' einerlei Lage haben. Bei ruhendem Schwerpunkte, wo (§. 86. Folgerung) das Moment für eine Ebene r unabhängig von dem Orte des Punktes 0 in derselben ist und mithin allein schon durch r bestimmt wird, — bei einem solchen System sind folglich 140 Zweiter Abschnitt. Fünftes Kapitel. die Momente für je zwei parallele Ebenen einander gleich, und wenn das Moment für eine gewisse Ebene seinen grössten Werth hat, so hat es denselben auch für jede andere ihr parallele Ebene. Die aus den Flächen a . OA"A x , etc. zusammengesetzte Fläche F wird daher, wenn der Schwerpunkt ruht, immer von derselben Grösse und Lage gefunden, wo auch im Raume der Punkt 0 angenommen werden mag, und — setzen wir nach §. 85. hinzu — welches auch der Zeitpunkt sein mag, auf welchen sich die zur Bestimmung von F angewendeten Geschwindigkeiten beziehen. Die Ebene von F, oder vielmehr die Reihe von Parallelebenen, in deren jeder Fliegen kann, wird deshalb die unveränderliche Ebene des S y s t e m s genannt. §. 89. Ruht der Schwerpunkt nicht und bewegt er sich daher geradlinig und gleichförmig, so ändert sich bei Annahme eines andern 0 im Allgemeinen auch die Lage und Grösse des darauf bezogenen Hauptmoments F. Indessen lässt sich auch in diesem Falle eine von 0 unabhängige unveränderliche Ebene leicht angeben. Denn da ein System mit fort- riickendcm Schwerpunkte in Bezug auf einen Raum, der nach derselben Richtung und mit derselben Geschwindigkeit fortrückt, als ein System mit ruhendem Schwerpunkte angesehen werden kann, so wird von den Momenten eines Systems der erstem Art alles Das gelten, was so eben von den Momenten eines Systems der letztem Art gezeigt worden, dafern man nur jene Momente auf Ebenen bezieht, welche, sich parallel bleibend, so forlriicken, dass jeder ihrer Punkte dieselbe Bewegung wie der Schwerpunkt hat, oder, was dasselbe ist: wenn man statt der wahren Bewegungen der Körper ihre relativen in Bezug auf den Schwerpunkt in Rechnung nimmt. Bei einem System von nur zwei Körpern ist hiernach die durch den Schwerpunkt gelegte und von ihm parallel fortgeführte Ebene, in welcher sich die zwei Körper selbst bewegen (§. 81.), als die unveränderliche Ebene zu betrachten. Erhaltung der Flächen. 141 Da bei unserem Sonnensystem von Einwirkungen fremder Sonnen auf dasselbe, bis jetzt wenigstens, keine Spur sich gezeigt hat, so muss sich auch bei ihm eine unveränderliche Ebene nachwxisen lassen, also eine Ebene, die sich immerfort parallel bleibt, während die Ebenen, in denen sich die Planeten und Kometen um die Sonne und die Monde um ihre Planeten bewegen, zu Folge der gegenseitigen Störungen aller dieser Körper, stets, wenn auch nur sehr langsam, ihre Lage ändern. Da man die Lage dieser Ebene zu jeder Zeit leicht wieder finden kann, so eignet sie sich ganz besonders zu einer Grundebene, auf welche man die Bahnebenen jener Körper bezieht und die allmähligen Aende- rungen derselben bestimmt. In Bezug auf die Lage, welche die Ekliptik zu Anfänge des Jahres 1750 hatte, ist die vom damaligen Frühlings- äquinoctium an gerechnete Länge des aufsteigenden Knoten der unveränderlichen Ebene — 102° 57' 30" und die Neigung derselben = 1° 35' 31". (Laplace Mecanique celeste, lome III., pag. 163.) §. 90. Um von unserem Sonnensystem und überhaupt von einem System sich anziehender Körper, deren Schwerpunkt fortrückt, die unveränderliche Ebene zu finden, hätte man nach dem Obigen vor Allem die Bewegung des Schwerpunkts zu bestimmen, indem auf diesen die Bewegungen der Körper bezogen werden müssen. Es lässt sich aber dem Ausdrucke für das Moment noch eine andere Form geben, bei welcher wir der Bestimmung des Schwerpunktes ganz überhoben sind. Bedeuten wiederum A ( ,A L , B t> B n C 0 C 1} ... die auf die Ebene selbst, für welche das Moment gesucht ward, proji— cirten Geschwindigkeiten der Massen a , b, c, ... zu einer gewissen Zeit, so ist das Bloment für den Punkt 0 der Ebene: i)/= a . OA 0 A l + b . OB 0 B l + c . OC () C L -f .... Setzen wir nun zuerst, dass der Schwerpunkt des Systems ruht, so ist M unabhängig von 0, und daher auch, 142 Zweiter Abschnitt. Fünftes Kapitel. wenn wir 0 nach und nach mit A„, B 0 , C 0 , ... zusammen- fallen lassen: M=b . A„B () B t + c.A.C.C, + ..., M a . B (l A„ A 1 + c . B lt C () C t -f- • • •, M = a . C 0 A 0 A 1 + b . C f) B () B l + ..., u. s. w., weil die Dreiecke A {) A { ,A n B I) B 0 B 1 , ... null sind. Man mulliplicire diese Gleichungen der Reihe nach mit a, b , c, ... und addire sie hierauf, so kommt: (fl + ^ H- c + ...) M — ab (A n B i) B l -f- B (t A n A L ) -f- ac (A ft G' 0 C 1 + C„ A lt A ,) -f bc (B n C () C 1 -f- C 0 B () IJ i ) + ... Es ist aber, wenn man A {) Q = A L B L (Fig. 33.) macht, A n A l B L Q ein Parallelogramm, und daher (§.37. Anmerk.) B l) A {) B i = B t) A () Q + B^A^Ay, oder was dasselbe ist: AM ~ ^1)^0 A„A 1 = der in der voranstehenden Gleichung mit ab multiplicir- ten Fläche. Weil nach dieser Construction B t) Q die auf die Ebene projicirte Geschwindigkeit von B ist, wenn A ruhend und die Bewegung von B gegen A unverändert angenommen wird (vergl. §. 81.), so ist diese Fläche A () B U Q die unter denselben Bedingungen statt habende auf die Ebene projicirte Flächengeschwindigkeit des Radius AB. Aehnliches gilt von den übrigen Gliedern auf der rechten Seite der Gleichung, und wir erhallen somit für den Fall, wenn der Schwerpunkt ruht, zur Berechnung des Moments des Systems in Bezug auf eine gegebene Eibene die nachstehende Regel: Man verbinde je zwei Körper des Systems durch einen Radius, bestimme die Flächengeschivindigkeit desselben, indem man bei unveränderter relativer Bewegung der beiden Körper den einen ruhend annimmt, und multiplicire diese Flächeng eschivindigkeit mit dem Producte aus den j Massen der beiden Körper. Die Summe der Projectionen dieser multiplicirten Flächen auf die gegebene Ebene, dividirt durch die Summe aller Massen, giebt das gesuchte Moment. Die aus den multiplicirten Flächen zusammengesetzte Fläche aber (§. 88.) wird, nachdem sie noch durch die Summe der Massen dividirt worden, das Hauptmoment, 1 « Erhaltung der lebendigen Kräfte. und die Ebene, in welcher sie liegt, die unveränderliche Ebene des Systems sein. Bewegt sich der Schwerpunkt, so gelten dieselben Vorschriften unter der Voraussetzung, dass die Ebene, auf welche projicirl wird, und so auch die Ebene des Hauptmomenls, sich parallel bleibend, mit dem Schwerpunkte fortrückt, und man erhält folglich das in §. 89. Gesuchte — aus dem Grunde, weil bei diesen Vorschriften bloss die relativen Bewegungen der Körper in Rechnung kommen, und die absolute Bewegung des Schwerpunktes ausser allem Betracht bleibt. III. Das Princip der Erhaltung der lebendigen Kräfte. §. 91. Unter der lebendigen Kraft eines sich bewegenden Körpers versteht man das Product seiner Masse in das Quadrat seiner Geschwindigkeit. Bei einem System von Körpern, auf welche keine andern Kräfte als ihre gegenseitige Anziehung wirken, und wo diese Anziehung je zweier Körper eine Function ihrer gegenseitigen Entfernung ist, besteht nun das in der Ueberschrift genannte Princip darin, dass sich immer eine gewisse von den Massen und den gegenseitigen Entfernungen der Körper abhängige Function angeben lässt, von welcher die Summe aller lebendigen Kräfte des Systems, oder kurz: die lebendige Kraft des Systems selbst, stets um dieselbe Grösse verschieden ist; das also, wenn man die Massen der Körper und ihre gegenseitige Lage in irgend zwei Zeitpunkten kennt, man damit ohne Weiteres den Unterschied der Werthe der lebendigen Kraft des Systems in dem einen und dem andern Zeitpunkte zu bestimmen im Stande ist. Da von diesem Princip in der Folge kein Gebrauch gemacht werden wird, obschon es bei tiefer in die Mechanik des Himmels eingehenden Untersuchungen grossen Nutzen zu leisten vermag, so will ich es hier bloss für ein System zweier nach dem Newton’schcn Gesetze sich an- 144 Zweiter Abschnitt. Fünftes Kapitel. ziehender Körper A und B , deren Massen a und b sind, beweisen. Seien A„A 1 und B 0 B, die Wege von A und B während des Zeitelements T () T V Nun ist A a B () =■- der Summe der Projeclionen von A n A L , A l B i und B, //,, auf A lt B t) . Setzt man daher cos B () A tl A l — P, cos A i) B i) B l — Q, und bemerkt, dass der Cosinus des Winkels von A t B t mit A„B 0 , wegen der unendlichen Kleinheit des letztem, 1 ist, so hat man: A.B^B.A^ + A.B, + Q.B 0 B l . Man setze noch A () B n — r, die Geschwindigkeiten' von A und B zur Zeit 7 0 , = v und w, und m . T () 7, — 1 (§. 10.), so ist m . A„A l = », m . B (l B t w und m (A, B l — A„A tl ) = der Geschwindigkeit /, mit welcher r seine Länge ändert. Die vorige Gleichung wird damit (1) Pb + Qw= — r. Die Kraft, mit welcher a von b angezogen wird, ist — Kb\rr\ folglich die nach A () B () gerichtete Tangentialkraft = FKb : rr. Letztere ist aber auch der Kraft bei einer geradlinigen Bewegung gleich, deren Geschwindigkeit sich nach demselben Gesetze, wie bei der krummlinigen ändert (§. 23. c.), also — v' (§. 21.), folglich (2) = v, und eben so (3) = w' - der auf B wirkenden Tangentialkraft. Man multiplicire (2) mit av, (3) mit bw, und addire hierauf diese Gleichungen, so kommt in Verbindung mit (1): avo + bww' + Kab — = 0. rr Die linke Seite dieser Gleichung ist aber die Geschwindigkeit von \ avD + \bicw — Ky (§. 11.), und diese Geschwindigkeit, in Folge derselben Gleichung, — 0; mithin (4) avv + bww — 2/t ^ — einer unveränderlichen Grösse; d. h. die lebendige Kraft des Systems ist von der Function 2Kab : r stets um dieselbe Grösse verschieden. 145 Erhaltung der lebendigen Kräfte. Zusätze, a. Ruht der Schwerpunkt des Systems, so haben v . und io entgegengesetzte Richtungen, und es ist av = bw (§. 77.); die Geschwindigkeit des einen Körpers gegen den andern ist aber = v + w, welche u heisse. Es folgt hieraus v — — u und w — •— -7—r u , womit (4) in n + ti « + J ’ uu — 2 K ~ — = einer constanten Grösse, übergeht. Da in dieser Gleichung keine die absoluten Bewegungen der beiden Körper betreffenden Grössen Vorkommen, so muss sie auch für den Fall gelten, wenn der Schwerpunkt sich bewegt. Sie ist übrigens mit der schon in §. 52. gefundenen Gleichung (11) identisch, indem das dortige k 2 = a 3 n 2 {§. 44.) = K (AI + m) (§. 65.) ist. Die constante Grösse in der hier erhaltenen Gleichung ist nach §. 52., = — K(a-\-b), dividirt durch die halbe grosse Axe des Kegelschnitts, welchen der eine Körper um den andern beschreibt. b. Durch Betrachtungen, die ganz auf denselben Gründen, wie die vorigen, beruhen, findet man die lebendige Kraft eines Systems von drei oder mehrern nach dem New- ton’schen Gesetze sich anziehenden Körpern A, B, C, ... deren Massen — a, b, c, ... sind, = 2 K (^' 4- ^ ^ + • • •) + einer const. Grösse. c. Yon einem beliebigen Punkte 0 ausgehend, mache man OA, OB, OC, ... = den Geschwindigkeiten von A, B, C, ... und OS = der Geschwindigkeit des Schwerpunktes S von A, B, C, ..., so ist (§. 79.) (a + b -f c + ...) OS aus a . OA, b . OB, c . OC, ... zusammengesetzt, also (§.74.) (a + b + ...) OS = a . OA 4- b . OB 4- = a (OS4-SA) 4- b (OS 4-SB) 4- ... folglich 0 == a . SA 4- b . SB 4- ...; d. h. S ist der Schwerpunkt der in A, B, C, ... befindlichen Massen a, b, c, ... (§. 78. Zusatz). Moebius, Mecli. d. Himin. 10 146 Zweiter Abschnitt. Fünftes Kapitel. Nach einem bekannten Satze in der Lehre vom Schwerpunkte ist aber, wo auch der Punkt 0 angenommen werden mag: («) a . OA 2 + b . OB 2 + • •• = (a -1- b + ..) OS 2 + a . SA 2 + l) • SB 2 + ... Lässt man hierin 0 nach und nach mit A, B, ... Zusammenfällen, multiplicirt die dadurch entstehenden Gleichungen resp. mit a, b, ..., addirl sie alsdann, dividirt mit 2 und setzt nb . AR 2 + nc . AC 2 + bc . BC 2 + ... _ T W) ' „ + * + c + ... so kommt: L — a . SA 2 + b . SB 2 + c . SC 2 + ..., und hieraus in Verbindung mit (a): a . OA 2 + b . OB 2 + ... = (fl + b + ...) OS 2 + L. Der gemachten Conslrnction gemäss ist nun die linke Seite dieser Gleichung = der lebendigen Kraft des Systems der Körper A, B, C, ...; die auf der rechten Seite in L, zu Folge von (ß), enthaltenen Linien AB, AC, BC, ... drücken aber die relativen Geschwindigkeiten von B gegen A, von C gegen A , von C gegen B, etc. aus, und man sieht somit, wie die lebendige Kraft eines Systems durch die Geschwindigkeit seines Schwerpunktes (OS) und durch die Geschwindigkeiten, welche die Körper des Systems gegen einander haben, dargeslelll werden kann. Bei einem System nach dem Newton’schen Gesetze sich anziehender Körper ist hiernach nb . Ali 2 + <‘c . AC 2 + bc . BC 2 + ... „p/«i . «c . ie . \ a + b + e ^ KJTl "*■ AC + ÜC + •' V + einer constanten Grösse, indem wegen der gegenseitigen Anziehung die Linie OS constant ist, und folglich das Glied (« + b + ...) OS 2 mit der zu Ende gesetzten constanten Grösse zusammenfliesst. Dritter Abschnitt. Von den Störungen des Mondes durch die Sonne. 10* Erstes Kapitel. Das Problem der drei Körper. §• 92 . Das Hauptgeschäft der auf den Himmel angewendeten Mechanik bestellt darin, die kleinen Abweichungen oder Störungen zu bestimmen, welche in dem ohne dieses elliptischen Laufe der Planeten um die Sonne und der Trabanten um ihre Hauptplaneten dadurch entstehen müssen, dass jeder dieser Körper nicht bloss von demjenigen, um welchen er sich bewegt, sondern immer zugleich von allen übrigen Körpern angezogen wird. Eine vollständige Lösung dieser verwickelten Aufgabe ist bei dem gegenwärtigen Zustande der Analysis schlechthin unmöglich. Indessen hat man zum praktischen Bedarf vollkommen hinreichende Methoden gefunden, welche die Aufgabe durch Näherung lösen. Die Möglichkeit einer solchen Näherung ist hauptsächlich darin begründet, dass die Kräfte, durch welche die rein elliptische Bewegung eines Planeten um die Sonne oder eines Trabanten um seinen Planeten gestört wird, theils wegen der Kleinheit der Massen der störenden Körper gegen die Masse der Sonne oder des Hauptplaneten, theils wegen der sehr grossen Entfernung jener Körper, immer nur sehr gering gegen die Kräfte sind, welche die elliptischen Bewegungen selbst erzeugen. Auch wird die genäherte Lösung der Aufgabe dadurch noch besonders begünstigt, dass die Bahnen, in denen sich die Planeten und ihre Trabanten bewegen, von der Kreisform nur wenig abweichen, und dass die Ebenen dieser Bahnen nur kleine Winkel mit einander machen. 150 Dritter Abschnitt. Erstes Kapitel. §. 93. Bei jeder die Störungen betreffenden Aufgabe kommen demnach gleichzeitig zum wenigsten drei Körper in Betracht: ein Hauptkörper S, ein ihn umkreisender Körper P und ein diese Bewegung störender Körper P'. Sind bloss zwei Körper, S und P, vorhanden, welche sich nach dem Newton’schen Gesetz anziehen, so beschreibt PumÄ einen Kegelschnitt, dessen einen Brennpunkt S einnimmt, und der Radius Vector SP überstreicht den Zeiten proportionale Flächen. Durch das Hinzukommen des dritten Körpers P', welcher die zwei erstem nach demselben Gesetz anzieht, wird aber die Bewegung von P um S gestört, so dass die Bahn von P um S nicht mehr ein vollkommener Kegelschnitt ist, und auch die vom Radius SP beschriebene Fläche nicht mehr genau der Zeit proportional zunimmt. Die Aufgabe, welche diese nur von einem Körper hervorgebrachten Störungen zu entwickeln verlangt, heisst das Problem der drei Körper. Aber auch hiervon ist die Auflösung noch "mit solchen Schwierigkeiten verknüpft, dass man sich dabei nur mit Näherungsmethoden begnügen muss. §• 94. Den Anfang der hierzu nöthigen Untersuchungen macht eine nähere Bestimmung der dabei thätigen Kräfte. Man setze die Massen der Körper S, P , P', = M, m, m'\ seien ferner die Entfernungen SP — r, SP' = r', PP' — p, wobei S, P, P' nur die Mittelpunkte der dadurch ausgedrückten Körper bedeuten; endlich sei K die Kraft, mit welcher ein Körper, dessen Masse 1, einen andern in einer Entfernung — 1 von ihm befindlichen Körper anzieht. Alsdann wirken nach dem Gesetze der allgemeinen Schwere und nach dem Salze von sich anziehenden Kugeln (§. 71. c.) auf S die Kräfte — und nach SP und SP', auf P die Kräfte ^ und ^ nach PS und PP', r* q* J auf P' die Kräfte und ^ nach P'S und P'P. r 1 Das Problem der drei Körper. ir>i Da es sieh aber nicht um die absoluten Bewegungen von S, P und P', sondern nur um die relativen, und zwar von P und P' um S, bandelt, so wollen wir uns den Körper S ruhend vorstellen und demgemäss die auf ihn wirkenden Kräfte nach entgegengesetzten Richtungen auf P und P' übertragen (§. 24. «.). Auf P wirken alsdann ausser den zwei nach PS und PP' gerichteten Kräften Kßl : r 2 und Km': q- noch die zwei Kräfte Km : r 2 und Km : r' 2 nach PS und nach einer mit P'S parallelen Richtung, d. i. die drei Kräfte ~ und ^ nach PS, PP' und parallel mit P'S, r z 3 (i* r 1 1 und eben so auf P' die drei Kräfte + und ~ nach P'S, P'P und parallel mit PS. Unsere Aufgabe ist hiermit darauf zurückgebracht, die von den drei auf P wirkenden Kräften erzeugte Bewegung dieses Körpers um den als ruhend zu betrachtenden Körper S zu bestimmen. Offenbar wird hierzu die Bewegung von P r als bekannt vorausgesetzt, zu deren Bestimmung aber aus gleichem Grunde die Kennlniss der Bewegung von P erforderlich ist. Da aber die Wirkungen von P' auf P oder die Störungen, welche P' in dem Laufe von P hervorbringt, verhältniss- mässig nur schwach sind, so hat man die Bewegung von P' nicht mit der äussersten Schärfe zu wissen nötliig. Insbesondere können daher die von P in der Bewegung von P' erzeugten Störungen, wenigstens bei einer ersten Annäherung, fast immer aber gänzlich, ohne Furcht eines für die Beobachtungen merkbaren Fehlers, vernachlässigt werden. Mau kann folglich die Bewegung von P', als allein durch die Kraft K(31 + m) : r 2 bewirkt, d. i. ;als eine rein elliptische um S ansehen. §. 95. Es kommt nunmehr darauf an, aus den drei vorhin gefundenen auf P wirkenden Kräften die Bewegung von P, oder vielmehr die Störungen zu bestimmen, welche die zweite 152 Dritter Abschnitt. Erstes Kapitel. und dritte dieser Kräfte in der von der ersten ungleich starkem Kraft erzeugten elliptischen Bewegung von P hervorbringen. Die Mittel hierzu liegen in den in §§. 34., 30. und 38- erhaltenen allgemeinen Relationen zwischen Bewegungen und den sie bewirkenden Kräften. Zu dem Ende haben wir zuerst die gedachten drei Kräfte in drei andere T, V, W umzuwandeln, von denen T in der Richtung des Radius Yec- tor SP, V normal auf dem Radius in der Ebene, in welcher sich P um 5 bewegt, und W normal auf dieser Ebene wirkt. Die erste dieser Kräfte, T, ist positiv, w r enn sie P von S zu entfernen sucht; die zweite V ist es, w r enn sie in der Ebene nach derselben Seite von PS hin gerichtet ist, nach welcher sich P bewegt; die dritte W sei es, wenn sie P über die nördliche Seite der Ebene zu erheben strebt. Yon den oben erhaltenen drei Kräften K (M+m) : r 2 , etc. ist hiernach die erste ein Theil von T. Man fälle ferner von P' auf die Ebene der Bewegung ein Perpendikel P'Q (Fig. 34.) und von Q auf SP ein Perpendikel QR, so zerlegt sich die zweite nach PP' gerichtete Kraft Km : q 2 in drei nach PR, RQ, QP' gerichtete und daher resp. zu T, V, W gehörige Kräfte Km PR Km RQ Km’ QP' s 2 Q ’ (> 2 ' Q ’ (> 2 ■ ~' Eben so zerfällt die dritte nach P’S gerichtete Krallt Km': r' 2 , oder die nach SP' gerichtete Kraft — Km : r' 2 , in die drei Kräfte Km’ SR Km' RQ Km' QP' r ' 2 ' r ’ r ' 2 ' r ’ r ' 2 ’ r ’ welche die Richtungen SR, RQ, QP' haben und mithin gleichfalls Theile von T, V, W sind. Es ist demnach vollständig: t=-’LW+jü) + E^. FII -^.sr, r 2 C >J r J 7 V=---™.RQ-™.RQ, W — . QP' — . QP'. Sei nun in der Ebene der Bewegung von P, SO die Linie, von welcher an die Längen gerechnet werden (§. 45.). Das Problem der drei Körper. m Man setze die Winkel ÖSP, OSQ, als die Längen von P, resp. = /, l', also PSQ — l' — l, und noch den Winkel QSP', als die Breite von P', = V. Hiermit wird QP' - ---- r sin //, SQ = r cos. b', BQ = SQ sin (l' — l) — — r cos b' sin ( l — /'), SB = SQ cos (f — l) = r cos b’ cos ( l — l’), PB — r' cos b' cos ( l — V) — r, und die Werthe von T, V, W gehen damit über in Wie man sieht, ist es das erste Glied der Kraft I\ welches die rein elliptische Bewegung erzeugt, während durch die zwei übrigen Glieder von T, so wie durch die Kräfte V und IF, weil sie insgesammt m zum Factor haben, die Störungen hervorgebracht werden, und zwar durch I und V in Verbindung die Störungen des Radius Yector und der Länge, durch W aber die Störungen der Breite. Da durch r und l der Ort von P und durch r, l\ b’ der Ort von P' bestimmt ist, so wird durch diese Grössen auch der gegenseitige Abstand von P und P’ bestimmt sein. In der That hat man q 2 = PQ 1 + QP’ 2 = PB 2 + BQ 2 + QP' 2 , und wenn man für PB, BQ, QP' ihre vorhin bemerkten Werthe setzt, nach gehöriger Reduction: Q = Y [r 2 — 2 rr cos b' cos (l — l') + r' 2 ]. Dieser Ausdruck für q ist demnach in den Formeln für T, V, IF noch zu substituiren, ehe man mit ihnen weitere Rechnungen anstellt. Werde hier noch bemerkt, dass der in T, V, W und p vorkommende Cosinus von b' in dem Folgenden stets == 1 gesetzt, werden wird. Wegen der Kleinheit der gegenseitigen K (M + m) -1- Kid — 4^ r cos b' cos (l — V) Km ' ( t i — Ä) r ' cos h ' sin {> ~~ l '^ §. 96 . 154 Drittel- Abschnitt. Erstes Kapitel. Neigungen der Bahnen werden wir nämlich bei Berechnung der Störungen bloss die ersten Potenzen der Neigungen berücksichtigen. Es ist aber der grösstmögliohe Werth von b' — der Neigung i der Bahn von P' gegen die Bahn von P, also auch der grösstmögliohe Werth von 1 ■— cos b' = 1 — cos i = 2 sin ^( 2 < ^ i 2 ; folglich u. s. w. Indem man aber das Quadrat der Neigung vernachlässigt und damit cos b' = 1 setzt, werden T und V von der Neigung offenbar ganz unabhängig; mithin auch die durch T und V bewirkten Störungen des Radius Yector und der Länge; d. h. bei Berechnung dieser Störungen kann man ohne merklichen Fehler die schon an sich wenig gegen einander geneigten Bahnebenen des störenden und des gestörten Körpers als zusammenfallend betrachten. Anders verhält es sich mit den durch W erzeugten Störungen der Breite. Denn weil W den Factor sin b' enthält, so sind diese schon von der ersten Potenz der Neigung abhängig. §. 07 . Die Ausdrücke für V und 11’, wie sie nach der Substitution des Werlhes für q hervorgehen, lassen sich in dieser Gestalt zur Bestimmung der Störungen noch nicht unmittelbar anwenden, sondern müssen deshalb noch auf zweckdienliche Weise umgeformt werden. Diese Umformung ist aber eines der mühevollsten Geschäfte bei der ganzen Störungsrechnung, selbst wenn man mit einer ersten Annäherung sich begnügen will. Nur die Berechnung der Störungen, welche der Mond bei seiner Bewegung um die Erde von der Sonne erleidet, hat jener mühevollen Entwickelung nicht nölliig, sobald man nämlich bei einer ersten Näherung stehen bleibt. Denn im Gegenlheil erfordert die Berechnung der Mondsslörungen, wenn sie mit einer den Beobachtungen genügenden Genauigkeit verlangt werden, ungleich mehr Arbeit und Umsicht, als irgend eine andere Störungsrechnung. Wegen dieser Leichtigkeit der Entwickelung von T, V und W bei der Mondstheorie, wenn man bloss die ersten Glieder beibehält, und weil die hiermit sich ergebenden Den Mond störende Kräfte. 155 Mondsstörungen so beträchtlich sind, dass sie schon von den älteren Astronomen wahrgenommen wurden, und daher noch ein historisches Interesse haben; aus diesen Gründen wollen wir auch gegenwärtig, um uns von den Störungsrechnungen zuerst einen übersichtlichen Begriff zu verschaffen, mit der Mondstheorie den Anfang machen. Zweites Kapitel. Von den Kräften, durch welche die Bewegung des Mondes um die Erde gestört wird. §. 98. Bei den Störungen, welche die Sonne im Laufe des Mondes um die Erde hervorbringt*), tritt der eigenlhüinliche Fall ein, dass die Masse der Sonne, als des störenden Körpers , mehr als 300000 mal grösser ist als die Masse der Erde (§. OG.), welche die Stelle des Hauptkörpers einnimmt, während bei den Planetenstörungen die Masse der Sonne, als des Hauptkörpers, die Masse des störenden Planeten bei weitem überwiegt. Weil aber die Sonne gegen 400 mal weiter, als der Mond, von der Erde entfernt ist und sie folglich auf Erde und Mond nahe mit gleicher Kraft wirkt, so sieht man schon im Voraus, dass die zu entwickelnden Störungen, als welche nur in dem Unterschiede jener Wirkungen bestehen, der Grösse der störenden Masse ungeachtet, doch nicht allzu bedeutend sein können. Die nachfolgende Rechnung wird dieses bestätigen. *) Die Störungen, welche der Mond von den Planeten erleidet, sind höchst unbedeutend. Nach Damoiseau’s Mondstafeln kann die Störung der Länge des Mondes durch Venus, als denjenigen Planet, welcher ihm am nächsten kommen kann, nur bis auf 1",3, und die Störung durch Jupiter, als den massenreichsten Planet, nur bis auf 0",8 steigen, lo6 Dritter Abschnitt. Zweites Kapitel. §. 99. Zu diesem Ende haben wir zunächst die im Vorigen für das Problem der drei Körper hergeleileten allgemeinen Formeln dem gegenwärtigen Falle anzupassen. Sie gründeten sich auf die Voraussetzung, .dass die absolute Bewegung des Hauptkörpers nach entgegengesetzter Richtung auf die beiden andern übergetragen ist, und wir haben uns daher im Folgenden die Erde, als den jetzigen Hauptkörper, als ruhend, und — ganz dem sinnlichen Scheine gemäss — den Mond und die Sonne in den Zeiträumen eines Monats und eines Jahres in nahe kreisförmigen und nahe in derselben Ebene liegenden Bahnen sich um die Erde bewegend zu denken. Weil die vorhin mit S, P und P' bezeichnten Körper jetzt die Erde, der Mond und die Sonne sind, so bedeuten nunmehr in jenen Formeln jJ/, m, m die Massen von Erde, Mond und Sonne, r, r' die Entfernungen des Mondes und der Sonne von der Erde, q die Entfernung der Sonne vom Monde, l, l' die in der Mondsbahn gerechneten Längen von Mond und Sonne, b' die Breite der Sonne in Bezug auf die Mondsbahu, T, F, W die auf den Mond wirkenden rechtwinklig coordi- nirten Kräfte, von denen T, V in der Ebene der Mondsbahn selbst, T nach der Richtung des Radius Vector des Mondes, wirken. Der Umstand, durch welchen die weitere Entwickelung jener Formeln bei der Mondstheorie vorzugsweise begünstigt wird, ist die Kleinheit des Verhältnisses r:r. Denn da dieses nahe nur 1 : 400 ist, so können von ihm die zweiten und hohem Potenzen, vor der Hand wenigstens, ganz vernachlässigt w r erden. Hiernach, und wenn wir cos b' immer = 1 setzen (§. 96.), ergiebt sich Den Moml störende Kräfte. 157 (.-»YD-Zlcos (i-O + S] = r Y [l — 2 r ? cos (l — 0] = r' [l — £ cos (l — O]*)» folglich p-3 = f /-3[l +3 ^ COS (/ — O] und i-Ä=34cos (l-V). Die Substitution hiervon in den Ausdrücken für T, U, W (§. 95.) giebt: J= _ K(M + «0 + 3 KmV cos (l - l'Y - ^ r 4 ’ r o KmV r F = FF , KmV . f cos (f — l'), cos (l — l') sin (l — T), 3 ^ cos (l — V) sin b '; oder nach bekannten trigonometrischen Umformungen, und weil im Ausdrucke für T das 4te Glied gegen das 2te und 3te wegzulassen ist: r= — g(M r2 ‘^ + j [1 + 3 cos 2 (l - l ')], sin 2 (*-/')• Seien endlich n und ri die mittlern Bewegungen von Mond und Sonne, wie selbige durch Beobachtungen gefunden werden; a und d die daraus nadh der elliptischen Theorie folgenden mittlern Entfernungen des Mondes und der Sonne von der Erde, so ist (§. 65.) K (BI + m) = n 2 a 3 und K (id 4 - M) = ri 2 d 3 *) = r — r cos 0 — O- Dieser Wertli von q kann, wie man leicht wahrnimmt, auch schon dadurch gefunden werden, dass man von P (Fig. 34.) auf SP' ein Perpendikel Pp fällt und wegen des sehr kleinen Winkels SP P an der Sonne die Linien pP' und PP' als gleich lang betrachtet. 158 Dritter Abschnitt. Zweites Kapitel. — Km sehr nahe, weil M noch niclit der 300000ste Theil von m ist (§. CG.); also, wenn wir noch n 2 = n 2 w setzen: Km' — n 2 a 3 w. Mil Einführung dieser Werthe von K (M -f m) und Km' in den Gleichungen für T, V, W, und nachdem man noch jede von ihnen mit n 2 a dividirt und der Kürze willen die mit T, V, W proportionalen — = r — = v — — w n- « 1 ’ u 2 a * ’ n 2 a 1 gesetzt hat, findet sich: 21 = -^ + V-. ~w [1 + 3 cos 2 (/-/')], Vt=*-h r a-£ w sin 2 (*-0, Wj — 3 £ . w cos (l — l') sin b'. §. 100 . Die letzlerhaltenen Ausdrücke geben eine sehr klare Uebersichl von dem gegenseitigen Verhalten der Kräfte und ihrer Theile. Es kommen nämlich darin, ausser den trigonometrischen Functionen, noch drei Zahlen % und w vor. Von diesen sind die beiden ersten nur wenig von der Einheit verschieden; die letzte aber, mit welcher die störenden Kräfte mulliplicirl sind, ist sehr klein. Denn es verhält sich n: ri = 365,256:27,322 (§. 66.) = 13,36875:1 -1:0,074801, woraus _l_ 178,72 folgt. Der Unterschied der Zahlen - und " von der Einheit r r rührt hauptsächlich von den Excentricitäten e und e der Monds- und Sonnenbahn her. Wir w r erden diese Excentricitäten (beiläufig — T V und ¥ V)> so wie die gegenseitige Neigung der Bahnen t (— 5 U 9' = t 't Theilen des Halbmessers) und den Exponenten des Verhältnisses n : n (— T V), Den Mond störende Kräfte. 159 als kleine Zahlen der ersten Ordnung betrachten. Hiernach werden auch die Unterschiede zwischen irgend welchen Potenzen der Zahlen - und und der Einheit zur ersten Ord- r r nung, dagegen w zur zweiten Ordnung gehören. Alle von der Störung herrührenden Glieder werden mithin, weil sie w zum Factor haben, gleichfalls von der zweiten, oder einer höheren Ordnung sein. Wegen der nöthigen Schranken unserer Untersuchung wollen wir aber — einige besondere Fälle ausnehmend — im Folgenden nur noch die Störungsglieder der dritten Ordnung berücksichtigen, also überhaupt nur diejenigen, welche entweder w allein, oder eiv, e'w, iw zum Factor haben, — nicht etwa die mit i 2 w mulliplicirten Glieder, was damit znsammenstimmt, dass im Vorigen cos b' — 1 gesetzt wurde. Insonderheit können deshalb in der Gleichung für W L , weil sin b' mit i von einerlei Ordnung ist (§. 9G.), die Fac- toren - und ^4 unbeachtet bleiben, wodurch diese Glei— chung sich in IFj = 3 io cos (l — f) sin b' zusammenzieht. §. 101 . Im Folgenden werden wir zunächst die Störungen des Radius Yector und der Länge, also die von den Kräften T und V herrührenden Störungen zu entwickeln suchen. Weil hierbei die kleine gegenseitige Neigung der Monds- und der Sonnenbahn nicht in Betracht kömmt (§. 96.), so werden wir uns bei diesen Rechnungen beide Körper, als in einer und derselben Ebene um die Erde sich bewegend, Yor- stellen. Ehe wir aber die Rechnungen beginnen, wird es gut sein, uns von der Art, wie die störenden Kräfte nach der verschiedenen Stellung des Mondes gegen die Sonne ihre Werlhe ändern, einen übersichtlichen Begriff zu verschaffen. Nehmen wir dabei die Kraft, mit welcher der Mond, ohne die Störung durch die Sonne, nach der Erde getrieben wird, zur Einheit, so sind, nach §. 99. und wegen der ge- 1(>0 Dritter Abschnitt. Zweites Kapitel. ringen Abweichung der Verhältnisse a : r und a' : r von 1:1, die störenden Kräfte in der Richtung des Radius Vector und in der darauf perpendikulären Richtung nahe = \w [1 + 3 cos 2 (l — T)] und — | w sin 2 (l — l'). Die erstere dieser Kräfte besteht aus einem constanlen und einem veränderlichen Theile. Der conslante Theil, wel- cher zugleich den mittlern Werth dieser Kraft darstellt, ist = \w — sif. Weil die im Radius wirkende Kraft als positiv angesehen wird, wenn sie den Mond von der Erde zu entfernen und daher seine Schwere gegen die Erde zu vermindern strebt, so schliessen wir hieraus, dass die Schwere des Mondes gegen die Erde durch die Sonne durchschnittlich um ihren 357sten Theil vermindert wird. Der veränderliche Theil kann bis zum Dreifachen des constanten nach der einen und andern Seite anwachsen, wodurch das einemal eine Verminderung der Schwere, viermal so gross als die mittlere, entsteht, das anderemal aber eine Verstärkung der Schwere erzeugt wird, welche dem Doppelten der mittlern Verminderung gleich kommt. Ersteres ist der Fall, wenn cos 2(1 — /') = 1, also für l — T — 0 und = 180°, d. h. im Neu- und im Vollmonde oder in den Syzygien; letzteres geschieht, wenn cos 2 (l — T) = — 1, also wenn l — l' = 90° und — 270°, d. h. im ersten und im letzten Viertel oder in den Quadraturen. Der mittlere Werth hat statt für cos 2 (/— T) = 0, also für l — l' = 45", 135", 225°, 315", d. i. in den zwischen den Syzygien und den Quadraturen mitten inne liegenden Punkten oder in den Octanten. Was ferner die auf dem Radius Vector perpendikuläre Kraft = — | w sin 2 (l — l') anlangt, so ist sie in den Syzygien und Quadraturen null, weil daselbst sin 2(1 — l') — 0 ist. Ihren grössten Werth — | w = -rj-y erreicht sie in den Octanten, und dieser ist abwechselnd negativ und positiv, d. h. dem Sinne der Bewegung des Mondes entgegen gerichtet und mit ihm übereinstimmend (§. 95.), weil — sin 2(1 — T) für l—l’ = 45°, 135", 225", 315" resp. = — 1, + 1, — 1, + 1 wird. Die auf dem Radius perpendikuläre Kraft strebt Den Mond störende Kräfte. 161 hiernach den Mond derjenigen Syzygie, welcher er am nächsten ist, noch näher zu bringen, nämlich vom letzten bis zum ersten Viertel dem Neumondspunkte und vom ersten bis zum letzten Viertel dem Vollmondspunkte. Dieses Streben ist am grössten in den Octanlen, wo es dem Dreifachen des mittleren Wertlies der in der Richtung des Radius störenden Kraft gleich kommt. Was wir jetzt über die beiden störenden Kräfte besonders bemerkt haben, lässt sich leicht in Einem Satze vereinigt darstellen. Wir haben deshalb nur die zwei Kräfte zu Einer zusammenzusetzen, von deren Richtung und Stärke Folgendes gelten wird: Während jedes synodischen Umlaufs des Mondes um die Erde dreht sich auch die Richtung der störenden Kraft einmal um ihn herum, nur nach entgegengesetztem Sinne (oon der Linken nach der Rechten), so dass sie in den Syzygien abwärts von der Erde, in den Quadraturen nach ihr zu gerichtet ist. Dabei hat sie in den Syzygien ihren grössten Werth =- \ w, in den Quadraturen ihren kleinsten — | w; in den Octanlen ist sie nahe = § w, genauer = 11 y 10 . w. Man sehe Fig. 35., worin N, V, E, L die Punkte des Neu- und Vollmondes und des ersten und letzten Viertels sind, und wo die Richtung und Stärke der störenden Kraft durch die Richtung und Länge kleiner Pfeile angedeutet ist. §. 102 . Zusätze, a. Dass durch die Sonne die Schwere des Mondes gegen die Erde um ihren 357slen Theil geschwächt wird, ist eben so viel, als ob die Summe der Massen M 4- m, welcher diese Schwere proportional ist, um ihren ebensovielten Theil verringert worden wäre. Das Product aus dem Quadrate der mittlern Bewegung des Mondes in den Würfel seiner mittlern Entfernung von der Erde wird folglich beim gestörten Monde nicht =-= K (M + m) (§. 65.), sondern = I( (M + m) (1 — ^ w) sein, also in dem Verhältnisse von 1 zu 1 — \ w sich verringern. Wenn wir daher die mittlere Bewegung beim gestörten Monde von derselben Grösse n, wie beim ungestörten, annehmen (§. 99.), und die mittlere Moehius, Mech. d. Himm. ff U>2 Dritter Abschnitt. Zweites Kapitel. Entfernung des ungestörten = a, des gestörten = a t setzen, so wird sein: n 2 a 3 — (1 — 4-w) n 2 a 3 , woraus a t — (1 — ^w) a -- -{#44 • a folgt- Diese kleine Verminderung der mittlern Entfernung werden wir bald noch auf andere Weise bestätigt linden. b. Ob wir uns die Verminderung des Produetes n 2 a 3 durch eine Verminderung von a allein, oder von n allein, oder durch eine gleichzeitige Aenderung von a und n erklären, ist offenbar gleichgültig. Ueberhaupl wird sein, wenn wir die mittlere Bewegung und die mittlere Entfernung beim gestörten Monde n t und a t nennen: n~ a 3 = (1 — 4 w ) n ~ oder, w r enn wir die Verhältnisse n/.n und a/.a nur sehr wenig von der Einheit abweichend annehmen und deshalb n l — (1 + pw) ii und a t (1 + cw) a setzen: (1 + pw) 7 (1 + cw) 3 —1 — 4 w, d. i. 2p + 3 c — — 1 ... (k) Hieraus folgt, wie vorhin, bei der Annahme, dass n t mit n gleichen Werth hat, und daher p = 0 ist: c = — i und damit a j (i — 4») a. Wollte man dagegen die mittlern Entfernungen a und a t bei beiden Bewegungen gleich gross annehmen, so würde c -= 0, folglich p -= — J- und n - (1 — j w) n sein. Um auch ein Beispiel einer gleichzeitigen Aenderung von n und a zu geben, wollen wir setzen, dass die vom lladius beschriebene Fläche bei der gestörten Bewegung stets eben so gross als bei der ungestörten sei. Weil bei der durch a und n bestimmten Bewegung die vom Radius in der Zeiteinheit beschriebene Fläche — \na- ist, so ist unter der gemachten Voraussetzung: na 2 —■ n, a 2 — (i + pw) 11 . (1 + 2 cw) a 2 , mithin p + 2c = 0, woraus in Verbindung mit der Relation (a ), p = — 1 und c — 4 , folglich n t — (1 — w) n und a- t = (1 + 4 w) a hervorgeht. — Wir können hieraus noch schliessen, dass wenn die den Mond störende Kraft bloss aus ihrem mittlern Den Moml störende Kräfte. 103 ihn von der Erde direct abziehenden und daher die Flächen- geschwiudigkeit nicht ändernden Tlieile bestände, ohne den I-Iinzulrilt dieser Störung seine mittlere Entfernung uin ihren 357sten Theil kleiner und seine mittlere Bewegung um ihren 178sten Theil grösser sein würde. §. 103. Zu noch besserer Einsicht in die Natur der störenden Kräfte wollen wir uns die in §. 101. aus den analytischen Ausdrücken für T und V abgeleiteten Resultate durch geometrische Betrachtungen aus den Grundbedingungen der Aufgabe unmittelbar zu beweisen suchen. Man bezeichne Sonne, Erde und Mond mit S, T und Z; die Kraft, mit welcher T von S angezogen wird, setze man vl, und die Linien ST = 1, TL — a, wo daher a nahe = ?ijü. Sei nun Z zuerst zwischen S und T (Fig. 36. a.), also im Neumonde, so ist SL — 1 — a, und folglich die Kraft, mit welcher Z von S angezogen wird, -(T^j3"(‘ + 2« + 3« s + ...) A Die Kräfte, mit denen 7’und Z von S angezogen werden, haben demach im Neumonde einerlei Richtung, und wenn sie auch gleiche Stärke hätten, so würde durch sie die relative Lage von T und Z nicht geändert und Z in seiner Bewegung um T nicht gestört werden. Es ist aber die auf Z wirkende Kraft um (2 a + 3a 2 + ...) Ä grösser als die auf T wirkende A. Dieser Ueberschuss, welcher etwas mehr als 2aA, = ^ -A, beträgt, strebt Z von T nach S hin zu entfernen und ist eben deshalb die den Mond zur Neumondszeit störende Kraft der Sonne. Wenn zweitens Z im Vollmonde ist, also wiederum mit «S und T in gerader Linie, aber ausserhalb S und T auf der Seite von T sich befindet (Fig. 36. b.), so ist SL — 1 + «• Die Kraft, womit Z von S angezogen wird, ist daher := ( T-l-„)2 = (i — 2« + 3a 2 — ...) A, also kleiner, als die Kraft, mit welcher T nach derselben Richtung getrieben wird. Es wird folglich T von Z weggell* 1(54 Dritter Abschnitt. Zweites Kapitel. zogen, oder vielmehr, weil es hier nur auf die relative Bewegung von L gegen die als ruhend zu denkende Erde ankommt, L von 7’weggezogen, und dieses mit einer Kraft, welche dem Unterschiede jener Kräfte gleich, also =■--- (2a — 3a 2 + ...) A , also etwas kleiner als ^ A ist. Die Sonne sucht also im Vollmonde sowohl, als im Neumonde, den Mond von der Erde zu entfernen. In beiden Fällen wirkt diese störende Kraft nahe mit derselben Stärke, mit dem 200sten Theile der ganzen Kraft A, mit welcher die Sonne die Erde anzieht. Doch ist die störende Kraft im Neumonde um Ga 2 A, d. i. um söjhnr^> stärker als im Vollmonde. Hat L irgend eine andere Stellung gegen T und S, so trage man (Fig. 37.) von T nach 5 za eine Linie TU = A und von L nach S zu eine Linie LM, die sich zu TU wie TS 2 zu LS 2 verhält, und die folglich >•, =, C TU ist, jenachdem TS >, =, < LS. Die Linien TU und LM stellen alsdann die Kräfte vor, mit denen T und L von S angezogen werden. Man mache nun TN= UM und LO = NM, = TU, und zerlege somit die Kraft LM in LN und LO. Die auf T und L wirkenden einander gleichen und parallelen Kräfte TU und LO bringen aber keine Aendernng in der gegenseitigen Lage von T und L hervor, und es ist mithin die noch übrige Kraft LN allein, welche auf L störend wirkt. Nehmen wir nun erstens an, dass T und L gleichweit von S eutfernt sind, welches, sehr nahe wenigstens, in den Quadraturen der Fall ist. Alsdann ist auch TU — LM, folglich UM parallel mit TL, und N ein Punkt in TL (Fig. 38.). Es verhält sich daher 1 : a — TS: TL = NM: NL = A : NL, woraus NL — aA folgt. Uebereinstimmend mit dem Obigen ist demnach in den Quadraturen die störende Kraft LN nach der Erde gerichtet und halb so gross als die den Mond in den Syzygien von der Erde entfernende Kraft, = 2 aA. Ist nicht LS =- TS, so liegt der Punkt N nicht in TL, aber doch in der Ebene TLS, und zwar mit S auf einerlei Seite von TL, oder auf der entgegengesetzten, jenachdem LS < oder > TS. Denn ist TS LS (Fig. 37.), und wäre dann UM parallel mit TL, so würde LM < TU sein. Fis ist Von der Variation. 163 aber alsdann LM > TU ; mithin müssen TL nnd UM diver- giren, und N muss mit S auf einerlei Seite von TL fallen. — Aelmlicherweise wird der Satz für den zweiten Fall bewiesen, und es erhellet somit, wie sich — übereinstimmend mit dem Obigen — die Kraft LN um L nach rechts dreht, während sich L nach links um T bewegt. Weil endlich die Kräfte, mit denen T von S und L von T angezogen werden, sich im Mittel wie ri 2 a : n 2 a (§. 22.) — w:a verhalten, so ist, wenn wir, wie im §. 101., die von T auf L ausgeüble Anziehung zur Einheit der Kraft wählen: A — w:a, wodurch, wie gehörig, die zuletzt erhaltenen Ausdrücke 2 «A und aA für die störende Kraft in den Syzygien und den Quadraturen sich in die vorher gefundenen Ausdrücke 2 w und w derselben Kraft verwandeln. Da die Kräfte, mit denen S auf T und Lj wirkt, nahe einander gleich sind, so folgt hieraus noch, dass auch die Kräfte, mit denen L von S und T angezogen wird, sich nahe wie w : a = 400 : 179 = 2-^:1 verhalten, und dass daher der Mond mit einer mehr als doppelt stärkeren Kraft nacli der Sonne, als nach der Erde hin, gezogen wird. Dass dessen ungeachtet der Mond nicht die Erde verlässt und der Sonne zueilt, kann für uns kein Paradoxon mehr sfein. Drittes Kapitel. Von den vorzüglichsten Störungen des Mondlaufs und insbesondere von der Variation. §. 104. Die vorzüglichsten Störungen des Radius Vector und der Länge des Mondes, zu deren Entwickelung wir jetzt übergehen, sind von dreierlei Art, indem sie entweder von den Excentricitäten der Sonnen- und der Mondsbahu ganz unabhängig sind, oder von der erstem, oder von der letztem Excentricität abhängen; sie führen hiernach resp. die Namen 160 Dritter Abschnitt. Drittes Ivupilel. der Variation, der jährlichen Gleichung und der Evection. Da bei diesen von den Krallen T und V erzeugten Störungen Sonne und Mond als in derselben Ebene sich bewegend angenommen werden (§. 101.), so wollen wir zu ihrer Entwickelung zunächst von den in §. 34. gefundenen Formeln Gebrauch machen, durch welche für eine durch die Polarcoordinatcn r und l gegebene nahe kreisförmige und gleichförmige Bewegung eines Körpers in einer Ebene die Kräfte T und V bestimmt werden, welche die Bewegung hervorbringen. Waren nämlich r und l von der Form r — a (l + f’ tos X + f" cos A" + ...) I — A + (j sin A' + g" sin A" + ..., wo a und A die mitllern Werlhe von r und f; /', ' ' \ h■=-- A 4- gw sin A x , wo f und g endliche constante Zahlen sind, und zur Abkürzung Aj statt 2 (A — X) geschrieben worden. Hieraus folgt zunächst ^ = 1 — 2 cw — 2 fw cos Aj, und nach Substitution desselben in (1): — 1 + + 2c ) w + (1 + 2 f) w cos k L , ' ' \ Fj = — ij w sin A x . Aus (2) aber fliessf nach den Formeln in §. 34.: T — — a (1 + cw) | n- + [(n 2 + n l 2 ) f-\- 2nn l g ] w cos A x | F = — a (1 + cw) (2nn 1 f + n L 2 g) w sin A x , wo n l die Geschwindigkeit von A x bedeutet; und wenn wir mit n 2 a dividiren (§. 99.) und n l — kn setzen: / T i = — 1 — cw — [(1 4- k 2 ) f + 2kg) w cos l i , ' \ Fj = — [2 kf + k 2 g\ w sin A,. Diese unmittelbar aus (2) gefolgerten Werthe von T, und F x müssen nun, wenn anders die Voraussetzung (2) richtig war, mit den Werthen (3) derselben Grössen durch gehörige Bestimmung der Constanten c, f und g identisch gemacht werden können, so dass die Coefficienten von cos A x und sin A, und das noch übrige constante Glied in (4) den entsprechenden Grössen in (3) gleich werden, dass also c - - 4 -f* 2c, - (1 + k 2 ) f- 2kg = | + 2 f, 2kf + k 2 g = |. Von der Variation. IG» In der That lassen sich aus diesen Gleichungen c, f und g ohne Widerspruch bestimmen, nämlich c — — wie schon in §. 102. a. gefunden wurde; t_ * * + 2 „ , V- + 2h + 3 I n ■ k (fc-i — 1) 1 ( J - Ti ■ Ifl |*2 — 1) • Die in (2) angenommene Form von r und l ist demnach die richtige, und die darin eingeführten Constanten c, f und g müssen die jetzt gefundenen Werthe haben, wenn die aus (2) herzuleilenden Kräfte mit den in (1) gegebenen, wie verlangt wird, übereinstimmen sollen. §. 106. Es bleibt uns noch übrig die Werthe von fw und gw numerisch zu entwickeln. — Die Geschwindigkeit, mit welcher sich /Lj, = 2 (A — X), ändert, ist = n l — 2 (n — ri ); folglich k «i _ 0 n — ri n 12,36875 n ~~ Z n — z ■ 13,36875 (§. 100 .) = 1, 8504. Hiermit findet sich f= — 1, 2876, g = 1, 8297, also (§. 100.) fw gw 1,2876 = 178,72 1,8297 _ 1 178,72 97,677 = 0,010238. Bei diesem Werthe von gw wird die Länge l, in welcher er vorkömmt, in Theilen des Halbmessers ausgedrückt vorausgesetzt. Soll aber, wie gewöhnlich, l in Graden, Minuten und Secunden bestimmt werden, so muss dieses auch mit gw geschehen. Nun ist w, in Secunden ausgedrückt, 1 1 " 178,72 ' sin l" 1154", 1 = 19' 14", 1, und daher gw = 1, 8297 X 1154", 1 = 35' 12". Nach diesem Allen wird r = o, [1 — 0,007204 cos 2 ß — A')], 1 = A + 35' 12" sin 2 (A — A'). 170 Drill er Abschnitt. Drittes Kapitel. S- 107. Die somit gefundene Bewegung des Mondes weicht von seiner mittlern gleichförmigen Kreisbewegung dergestalt ab, dass seine wahre Entfernung von der Erde um den 139sten Theil der mittlern bald grösser, bald kleiner, als die mittlere ist, und dass, von der Erde aus gesehen, der wahre Ort des Mondes bis auf 35' dem mittlern bald vorauseilt, bald hinter ihm zurückbleibt. Am grössten ist die Entfernung, nämlich für cos 2 (A — A') ----- —1, also in den Quadraturen (§. 101.); am kleinsten, —• 4üg a ,i für cos 2 (A — A') ~ 1, also in den Syzygien, und der Mond beschreibt hiernach eine Art Ellipse, in deren Mittelpunkte die Erde steht, und deren kleinster Durchmesser in die Linie der Syzygien fällt. Siehe Fig. 38. Hinsichtlich der Länge fällt der wahre Mondsort mit dem mittlern zusammen für sin 2 (A — A') - 0, also in den Syzygien und Quadraturen; dagegen ist der wahre Ort XV dem mittlern M am weitesten, nämlich um 35', voraus für sin 2 (A — A') —^ 1, d. i. in den Milten A und C des ersten und des dritten Quadranten; und um ebensoviel hinter dem mittlern Orte zurück für sin 2 (A — A') - - — 1, d. i. in den Mitten B und D des zweitem und des vierten Quadranten. Von D bis A und von ß bis C ist folglich die wahre Geschwindigkeit des Mondes grösser als die mittlere; dagegen von A bis B und von C bis D kleiner als die mittlere. Dasselbe ergiebt sich auch, wenn man aus der Gleichung für l die Geschwindigkeit, mit welcher l wächst, bestimmt. Nach §. 35. ( C) findet sich dieselbe = n + «j gw cos l L — n [1 + kgw cos 2 (A — A')], wo kgw --- ^ . Der grösste und der kleinste Werth dieser Geschwindigkeit ist hiernach von ihrem mittlern Werllie n um den 53sten Theil des mittlern verschieden. Am grössten ist sie in den Syzygien, am kleinsten in den Quadraturen; in den Octanten hat sie ihren mittlern Werth. Uebereinstimmend mit dem Vorigen, nimmt sie daher Von der Variation. 171 im ersten Quadranten ab, im zweiten zu, und so fort abwechselnd. §. 108. Es ist nicht schwer, sich von der Richtigkeit dieser Resultate im Allgemeinen auch ohne Rechnung zu überzeugen. Zuerst erklärt sich die von einem Quadranten zum andern abwechselnd ab- und zunehmende Geschwindigkeit des Mondes sogleich dadurch, dass der auf dem Radius Veclor perpendikuläre und daher nahe in der Richtung der Bahn wirkende Theil der störenden Kraft den Mond derjenigen der beiden Syzygien, welcher er am nächsten ist, noch näher zu bringen strebt (§. 101). Wäre ferner die Kraft, welche den Mond nach der Erde treibt, überall gleich gross, so würde schon deshalb, weil die Geschwindigkeit in den Syzygien am grössten und in den Quadraturen am kleinsten ist, die Bahn in den erstem Punkten am schwächsten, in den letztem am stärksten gekrümmt sein; denn je grösser die Geschwindigkeit eines Körpers ist, desto weniger wird er durch eine auf seiner Bahn perpendikuläre Kraft von der Bahn abgelenkt. Da aber die den Mond nach der Erde ziehende Kraft durch die Sonne in den Syzygien geschwächt und in den Quadraturen verstärkt wird, so muss um so mehr die Krümmung in den Syzygien schwächer, als in den Quadraturen sein. Dieses ist aber nicht anders möglich, als wenn sich der Mond in den Quadraturen weiter als in den Syzygien von der Erde entfernt; — auf ähnliche Art, als wie bei der in §. 24. 2. betrachteten elliptischen Bewegung eines Körpers die nach dem Mittelpunkte der Ellipse gerichtete Kraft am stärksten bei der grössten Entfernung des Körpers vom Mittelpunkte und am schwächsten bei der kleinsten Entfernung war. §. 109. Die Glieder, welche zu den miltlern Werlhen des Radius Vector und der Länge addirt werden müssen, um die wahren Werthe dieser Grössen zu erhalten, nennt man Gleichungen. Sie sind in der Regel Produele aus Constantcn in Cosinusse 172 Dritter Abschnitt. Drittes Kapitel. (beim Radius) und in Sinusse (bei der Länge) von Winkeln, welche vom miltlern Stande des gestörten und des störenden Körpers gegen einander und gegen ihre Apsiden ab- hängen und folglich der Zeit proportional wachsen. Es sind daher diese Gleichungen periodischer Natur, und die durch sie ausgedrückten Störungen periodische Störungen. Die Zeit, in welcher der Winkel um 360" wächst, ist die Periode der Gleichung oder Störung und wird gefunden, wenn man die Geschwindigkeit seines Wachslhums in 360" dividirt (§. 34. Zusatz). Der Winkel selbst heisst das Argument und die in seinen Cosinus oder Sinus multiplicirte Constante der Coefficient der Gleichung. Letzterer giebt zugleich den grössten Werth an, bis zu welchem die Gleichung nach der positiven und der negativen Seite anwachsen kann. Mit den in §§. 105. und 106. entwickelten Werthen von r und l haben wir demnach zwei Gleichungen, die eine für r, die andere für l, gefunden, deren jede zu ihrem Argumente die doppelte Winkelentfernung des Mondes von der Sonne, und folglich zu ihrer Periode einen halben synodischen Monat hat. Die Argumente dieser Gleichungen aber sind — 0,007204. a t und 35' 12". Die Folge wird lehren, dass, ungeachtet die Mondsbewegung nicht so einfach ist, als wie sie durch die jetzt für r und l erhaltenen Werlhe dargestellt wird, unter den vielen zu den miltlern Werthen von r und l hinzuzufügenden Gleichungen immer auch die zwei jetzt gefundenen mit Vorkommen. Von diesen ist besonders die Gleichung der Länge für die Beobachtungen sehr merkbar, da ihr Werth bis über einen halben Grad anwachsen kann. Sie wird die Variation genannt und ist von Tycho de Brahe (geb. 1546, gest. 1601) durch Beobachtungen entdeckt worden. §. 110 . Die Veränderungen des Radius Vector des Mondes geben sich durch Beobachtung seines scheinbaren Halbmessers und seiner Horizonlalparallaxe zu erkennen, indem diese letztem dem Radius Vector umgekehrt proportional sind. Eben deshalb wird auch jede Gleichung des Radius Vector eine Von der V ariation. 173 Gleichung des scheinbaren Halbmessers und der Horizontalparallaxe zur Folge haben. In der That sei;; die Aequatorial- horizontalparallaxe oder der Winkel, unter welchem der Halbmesser des Erdäquators vom Mittelpunkte des Mondes aus bei einer Entfernung des Mondes von der Erde r erscheint. Der mittlere Werth dieses Winkels oder derjenige, welcher für r = a t statt hat, beträgt 57' 1". Mithin ist p = — . 57 1 . r r Substituirt man hierin für r seinen in §. 10G. gefundenen Werth, so wird p = (1 + 0, 007204 cos 2 (l — X )). 57' 1" = 57' 1" + 24", G cos 2(1 — A'), und man hat somit das Glied 24", G cos 2 (4 — A'), als Gleichung der Horizontalparallaxe, erhallen. Eben so findet sich der scheinbare Halbmesser des Mondes = (1 + 0, 007204 cos 2 (A — A')) . 15' 33", 5 = 15' 33", 5 + 6", 7 cos 2(1 — A'); denn 15' 33", 5 ist der scheinbare Halbmesser des Mondes in seiner mittleren Entfernung von der Erde. Weil bei astronomischen Rechnungen die Horizontalparallaxe des Mondes häufiger, als sein Radius Yector, gebraucht wird, so geben die Tafeln, die man zur Berechnung des Mondlaufs construirt hat, unmittelbar die Horizontalparallaxe p, aus der man, wenn es nöthig ist, den Radius nach der Formel r — a . herleiten kann. ' P §. 111 . Bei der Vernachlässigung der höheren Potenzen von und w, die wir uns hier gestatten (§§. 99. und 100.), können wir nicht erwarten, dass die Coefficienten der erhaltenen Gleichungen und derer, welche wir noch entwickeln werden, mit den Coefficienten, welche bei Berücksichtigung jener Potenzen sich finden, ganz übereinstimmen werden, so wie aus demselben Grunde bei einer schärfer geführten 174 Dritter Abschnitt. Viertes Kapitel. Rechnung eine bei weitem grössere Anzahl von Gleichungen, als hier, sich ergeben wird. In Damoiseau’s Monds- lafeln, welche von den Beobachtungen sich nur um wenige Secunden entfernen, sind von den Gleichungen für die Länge und die Horizontalparallaxe, welche 2 (A •— X) zum Argumente haben, die Coefficienten 39'29", 7 und 28", 5 statt der hier gefundenen 35' 12" und 24", 6. Ueberhaupt aber sind in diesen Tafeln die von den Excentricilälen der Mondsund Sonnenbahn unabhängigen Gleichungen der Länge: — 2' 2", 1 sin ö + 39' 29", 7 sin 28 + 0", 4 sin 3 8 + 14", 2 sin 4Ö der Horizontalparallaxe: — 1", 0 cos ö + 28", 5 cos 2d + 0", 2 cos 48, wo 8 — Ä — X. — Historisch werde hierbei noch bemerkt, dass die erste dieser Gleichungen mit dem nicht unbeträchtlichen Coefficienten von 2' 2" daher rührt, dass der Mond im Neumonde etwas stärker als im Vollmonde von der Erde abgezogen wird. Das Verhältniss zwischen diesen Abziehungen hängt von dem Verhältnisse zwischen den Entfernungen des Mondes und der Sonne von der Erde ab (§. 103.); und da letzteres Verhältniss einerlei mit dem zwischen den Horizontalparallaxen der Sonne und des Mondes ist, so wird jene Gleichung auch die parallaktische Gleichung genannt. Viertes Kapitel. Von der jährlichen Gleichung. §. 112 . Eben so, wie uns im Vorigen das Vorhandensein von Störungsgleichungen, deren Argument 2 (l — X) war, durch die in w multiplicirten Glieder von T und V, welche dasselbe Argument hallen, angedeutet wurde, so können sich auch die Argumente aller übrigen Gleichungen durch nichts an- Von der jährlichen Gleichung. 175 deres, als die weitere Entwickelung dieser in w multiplieirten Glieder, zu erkennen geben. Auch wird uns dieselbe Methode, nach welcher wir die Coefficienten der Gleichungen, deren Argument 2 (A— A') war, bestimmten, zur Ermittelung der Coefficienten der übrigen Gleichungen dienen können, so lange wir noch, nie in §. 105., voraussetzen, dass die Bewegung des Mondes von einer vollkommen kreisförmigen und gleichförmigen Bewegung bloss wegen der Störung durch die Sonne ab weicht. In der That sei durch weitere Entwickelung der in w multiplieirten Glieder 2 T l = — ^ cos A, + F>w cos A, 4- • • • V l = G l w sin A 2 + G 2 id sin A 2 + ... gefunden worden, wo F L , G n F,, ... endliche Constanten, uud A i; A 2 , ... mit den constanten Geschwindigkeiten n 1} n 2 , ... sich ändernde Winkel bedeuten. Hiernach werden auch die Coordinaten r und l mit w behaftete periodische Glieder, deren Argumente A 2 , A 2 , ... sind, und keine andern, enthalten. Wir setzen deshalb, und wegen der zu erwarten stehenden Aenderung der elliptischen Relation zwischen n und a (§. 102.): (r — a (1 4- cw) [1 4- /i w cos A x 4- f 2 w cos A 2 4-...] ' ’ = A 4- ffi w sin A 2 + g 2 w sin A 2 4- • • • Aus der ersten dieser Gleichungen folgt: „2 pj = 1 — 2 m — 2 f L w cos A, — 2 f 2 w cos Aj — ..., und es wird damit /o\ fl i = — 1 4-G 4-2c) w 4- (F ± 4- 2fi) w cos A x 4- • • • ' ' l Y t = G 2 w sin l L 4- G 2 w sin A 2 4- ... Entwickelt man aber nach §. 34. die Kräfte, von welchen die durch (2) ausgedrückte Bewegung hervorgebracht wird, dividirt dieselben durch n 2 a und setzt zur Abkürzung — Ä^n, n 2 = k 2 n , etc., so kommt (vergl. §. 105.): m f t l = — 1 — cw — [(1 4- 2 ) fi + 2k,gj w cos l L —... ) V { —— +A 1 2 (/ l ]wsinA J — [2/i,/)4- k 2 ~!/ 2 iw sinA., —... 170 Dritter Abschnitt. Viertes Kapitel. Da nun diese Werthe von T l und \\ mit denen in (3) von einerlei Form sind, so wird die durch (2) dargestellte Bewegung, eben so, wie sie eine Folge der Kräfte (4) ist, auch als eine Folge der Kräfte (3) oder (1) angesehen werden können, wenn wir die Coefficienten in (2) so bestimmen, dass die in (3) und (4) entsprechenden Gliedern zugehörigen Coeflieienten einander gleich werden, dass also — c = -2 + 2c, - (1 + V) fi - 2k, g,=F t + 2/i, - 2kJ L - k,*g, = G l , - (1 + V) f 2 — 2k.,g 2 = F 2 + 2/a, — 2kJ., - k., 2 g 2 = G ,, u. s. w. Aus der ersten dieser Gleichungen fliesst aber c = — wie in §. 105.; aus den zwei folgenden: f _ h Fl - 2Gi ^ 2?.- t f l - (3 4- h 2 ) a , . h hih 2- ir Bx- — 0 aus den zwei nächstfolgenden: e _ l- 2 F 2 - 2G 2 „ _ 2hF 2 - (3 + h-) 0 2 . h i.h 2 - l) ’ h ‘ h' 1 (h 1 - i) u. s. w., wodurch die Coeflieienten in (2), und damit die gesuchte Bewegung, vollkommen bestimmt sind. §. 113. Im vorigen Kapitel haben wir bei Bestimmung der einfachsten Bahn, welche der von der Sonne gestörte Mond beschreiben kann, die Bewegung der Sonne genau kreis- und gleichförmig angenommen. Wir wollen aber jetzt die in der Natur von dieser Hypothese statt findende Abweichung nicht mehr unberücksichtigt lassen und den Einfluss untersuchen, den die Excentricität e' der Sonnenbahn auf die Mondsbewegung ausübt. Weil auch jetzt noch r und l von ihren miltlern Werlhen a und k nur um Glieder verschieden sein sollen, welche von der Störung herrühren und daher w zum Factor haben, und weil von w immer nur die erste Potenz berücksichtigt werden soll, so haben wir 177 Von der jährlichen Gleichung. T, = - p + ^ w [1 + 3 cos 2 (A - 0], F x — — 4 ^5 w sin 2 (A — T), worin für 7 - ' und V ihre elliptischen Werthe zu substituiren sind. Diese sind, wenn d die mittlere Anomalie der Sonne bezeichnet: r' — d (1 — e' cos d) und /' = A' + 2e r sin d (§. 43.). Hieraus folgt: ^3 = 1 + 3e' cos d , 2 (A — /') = A x — 4c' sin d, wenn wiederum 2 (A — A') = A x gesetzt wird; mithin cos 2 (A — l’) — cos A x + 4e' sin d- sin A x *) — cos A x + 2e' cos (A x —«') —2e' cos (A x + a'), sin 2 (A — l') = sin A x — 4e' sin «' cos A' *) == sin A x + 2e r sin (A x — d) — 2e' sin(A x + d), ^3 cos 2 (A— /') = cos A x + 2/ cos (A x — d) — 2e' cos (A x + «) + 3e' cos d cos A x — cos A x +1 d cos (A x — a)■—\e cos(A x + d) und eben so ^ sin 2 (A— V) = sin A x -f \ e sin (A x — d) — | e sin (A x + d). Die Substitution hiervon in den obigen Werlhen von T L und F x giebt: 1\ = — ^ { w + l w cos A x + i dw cos d + ^ e'w cos (A x — d) — | e’w cos (A x -f a), F x = — | w sin A x — 2-L e ' w s j n -j_ | g'w sin (A x + d). Hiermit sind die Ausdrücke für T L und F x auf die im vorigen §. angenommene Form (1) gebracht, und es wird *) und Nach den Formeln cos (x — i) = cos x -1- i sin x sin (x — i) = sin x — i cos x, wenn von i nur die erste Potenz beibehalten wird. Moebius, Mecb. d. Himm. 12 17S Dritter Abschnitt. Viertes Kapitel. sich nun die aus ihnen folgende Bewegung nach den daselbst entwickelten Formeln leicht bestimmen lassen. — Zuerst sind die dortigen Argumente A^ - A 3 , A., — a , A 3 A 3 oz , A 4 — A 3 cc , also n k = 2 (n — n) (§. 106.); n 2 = n', weil «' = A' — «' (§. 45.), und weil die Länge des Perigäums der Sonnenbahn to' constant ist, wenigstens hier als constant angesehen werden kann; % =■ n L — n 2 ; % = n L + n 2 . Ferner sind die dortigen Coefficienten *i = l, F 2 - -5e', F z = ^e, F i = - G 1 — f, G 2 — 0, t? 3 = -j- e , t ?4 = f c • Mit diesen Werthen von F 1 , G L , F 2 , ... und den aus n it n 2 , ... fliessenden Werthen von = 2 (l — £), = £■, A- 3 = — ä 2 , A 4 = / Cl + finden sich nun für f t und g i die bereits in §. 105. erhaltenen Ausdrücke und nächstdem fz — f 6 r* = - t ■ 1 - A-2 * 2 ’ 2 J 2 + A 3 4 *3 (* 3 2 - 1) 2 + (A 4 2 — 1) ’ O 2 — » 03 = T e ' • ffi =--- — I e' 1 ‘ 1-2 Ü -***)’ 3 4- 2A 3 -p A 3 2 h 2 (* 3 2 - i.l ’ 3 + 2 * 4 + A 4 2 ' h 2 (A + 2 - 1) ’ und hiermit die gesuchten Coordinaten: r = 0 , [1 4 - f L w cos A ± + f. 2 w cos d + f^w cos (A 2 — d) + /> cos (A 1 + «)], 1 = 14- sin A, 4- A/oW-' sin k 4 - g?w sin (A 3 — d) + g 4 w sin (A L 4 d). §. 114. Wegen der Excentricität der Sonnenbahn kommen demnach sowohl für den Radius Vector, als für die Länge, drei Gleichungen hinzu, welche die Anomalie der Sonne und den doppelten Winkelabstand des Mondes von der Sonne, das einemal um die Anomalie der Sonne vermindert, das andere- mal um dieselbe vermehrt, zu Argumenten haben, und deren 17 » Von der jährlichen Gleichung. Coefficienten Producte aus der Excentricität d der Sonnen- hahn in gewisse Functionen des Verhältnisses n : n zwischen den mittlern Bewegungen von Sonne und Mond sind. Um diese Coefficienten jetzt numerisch zu bestimmen, so ist e - 0, 01G792, k, = £ = 0, 074801, folglich /i'j = - - 2 (1 — Ä 2 ) = 1, 8504, * 3 — k L — k 2 = 1, 7756, k x = k L + k, — 1, 9252. Mit diesen Werthen für e, k 2 , ... und mit w (= k 2 2 ) — 0, 005595 finden sich die Werllie von f 2 w = 0, 000142, f 3 to - — 0, 000487, / 4 w = 0, 000053. Ferner ergeben sich, wenn man für w seinen in Secun- den ausgedrückten Werth == 1154", 1 (§. IOC.) nimmt: ( j 2 w = — 13' 2", g z w = 2' 25", g 4 w - — 15"; und es wird daher und nach §. 106. : - -- 1 — 0, 007204 cos l L + 0, 000142 cos d — 0, 000487 cos ß L — d) + 0, 000053 cos + cc), 1 = 1 -f- 35' 12" sin — 13' 2" sin d -f 2' 25" sin — d) — 15" sin (A x + d). Aus dem Werthe für r fliesst noch die Horizontalparallaxe (§. 110.) = J . 57' 1" = 57' 1" + 24", 6 cos X L — 0", 5 cos d 4- 1", 7 cos (1, — d) — 0", 2 cos (Aj 4- d). Nach Damoiseau sind die Coefficienten der drei letzten Glieder für die Länge — 11' 13", 0; 4- 2' 45", 5; — 24", 6; für die Horizontalparallaxe: — 0", 3; 4- 1", 9; — 0", 3. §. 115. Unter den jetzt gefundenen von der Excentricität der Sonnenbahn lierrührenden Gleichungen ist die bei weitem beträchtlichste die Gleichung für die Länge, deren Argument die mittlere Anomalie der Sonne und deren Coefficient nach unserer Rechnung — 13', richtiger — 11', ist. Sie ist eben 12* 180 Dritter Abschnitt. Viertes Kapitel. so, wie die Variation, von Tycho de Brahe entdeckt worden, und wird, weil sie zu ihrer Periode ein Jahr (ein anomalistisches) hat, die jährliche Gleichung genannt. Das Argument dieser Gleichung ist dasselbe, welches die Mittelpunktsgleichung der Sonne, + 2e' sin a, hat, nur das Zeichen das entgegengesetzte. Lassen wir daher die übrigen Gleichungen unberücksichtigt, so ist zufolge der jährlichen Gleichung der wahre Mondsort desto mehr — bis auf 11' — dem mittleren voraus oder hinter ihm zurück, je mehr der wahre Sonnenort hinter dem mitllern zurück oder ihm voraus ist. Es wird mithin auch die wahre Winkelgeschwindigkeit des Mondes grösser oder kleiner als die mittlere sein, je nachdem die wahre Winkelgeschwindigkeit der Sonne kleiner oder grösser als ihre mittlere ist. Dasselbe giebt auch geradezu die aus der Länge l — 11' 13" sin« nach §. 35. gefolgerte Geschwindigkeit = 7 1 — 11' 13". sin l".?i' cos a = n (1— 0,000244 cos a) zu erkennen, wonach der grösste und der kleinste Werth der wahren Geschwindigkeit = 1 ± 0, 000244 der mittlern sind und für a — 180" und — 0, also dann statt finden, wenn die Sonne in der Erdferne und in der Erdnähe ist und daher ihre kleinste und ihre grösste Geschwindigkeit hat. Auf ähnliche Weise verhält es sich auch mit dem Radius Vector des Mondes. Denn die Gleichung für denselben, welche mit der jährlichen Gleichung einerlei Argument hat, ist 0, 000142 cos d, und folglich der Radius des Mondes am grössten, wenn a — 0 und mithin der Radius der Sonne am kleinsten ist; dagegen ist der Radius des Mondes am kleinsten für d — 180°, wo der Radins der Sonne am grössten ist. hi dem Halbjahre also, in welchem sich die Sonne von der Erde entfernt und ihre Geschwindigkeit sich verringert (vom 1. Januar bis 2. Juli)kommt der Mond der Erde näher und seine Geschwindigkeit wächst. In dem folgenden Halbjahre aber, in welchem sich die Sonne der Erde wieder nähert und ihre Geschwindigkeit zunimmt, entfernt sich der Mond von der Erde und seine Geschwindigkeit nimmt ab. 1S1 Von der jährlichen Gleichung. §. 116. Um uns den Grund dieser Erscheinung unmittelbar aus der Natur der störenden Kraft deutlich zu machen, dürfen wir nur erwägen, dass diese Kraft, abgesehen von einem bestimmten Orte des Mondes in seiner Bahn, den Mond von der Erde zu entfernen strebt (§. 102.), und dieses offenbar desto stärker, je näher die Sonne der Erde ist. Das Glied, welches diese von einem bestimmten Orte des Mondes unabhängige Kraft darstellt, ist das in 7j vorkommende \ ^ w (§. 113.) und giebt damit zu erkennen, dass diese Kraft dem Würfel der Entfernung der Sonne von der Erde umgekehrt proportional ist. Je nachdem sich daher die Sonne der Erde nähert oder von ihr entfernt, muss der Radius des Mondes wachsen oder abnehmen; und da die Kraft selbst, welche dieses bewirkt, in der Richtung des Radius wirkt, mithin seine Flächengeschwindigkeit unverändert lässt, so wird im erstem Falle seine Winkelgeschwindigkeit kleiner, im letztem grösser werden. Zusatz. Dass sich bei der jetzt in Rede stehenden Ungleichheit die Flächengeschwindigkeit nicht ändert, geht aucli leicht aus den diese gestörte Bewegung ausdrückenden Formeln r = s,[l + f 2 w cos «'] und l = A -f- g 2 w sin d hervor. Bedeutet nämlich, wie in §. 35., V die Geschwindigkeit von l, so ist l' n + ng 2 w cos d — n (1 4- k> g, w cos d) und damit die doppelte Flächengeschwindigkeit (ebendas.) — rrl' = a~n (1 + 2 f 2 w cos d) (1 -)- g 2 w cos d) = a~n [1 + (2/) + k 2 g 2 ) w cos «'] = a~ n , also constant, weil nach den in §. 113. für /, und g 2 gefundenen Werlhen 2 f, + k 2 g 2 = 0 ist. 182 Drill er Absclinill. Fünftes Kapitel. Fünftes Kapitel. Yon der Evection. §. 117. Wir haben in dem Vorhergehenden eine sehr nahe kreis- und gleicliförmige Bewegung gefunden, welche der in seinem Laufe um die Erde von der Sonne gestörte Mond möglicher Weise haben kann, und in dem Falle auch wirklich haben würde, wenn irgend einmal seinem Radius Yector und seiner Länge, so wie den Geschwindigkeiten, mit denen sich beide ändern, diejenigen Werlhe zugekommen wären, welche aus den vorhin (§. 114.) für r und l erhaltenen Ausdrücken fliessen (§ 25'.). Statt dieser Bewegung, die sich von einer vollkommen kreis- und gleichförmigen nur durch die mit w behafteten Glieder unterscheidet, geben aber die Beobachtungen deutlich genug eine Ellipse als Grundform der Mondsbahn zu erkennen. Die Excentricität dieser Ellipse ist = , und die daraus folgende Mittelpunktsgleichung (§. 43.) hat einen Coefficienlen, = 6° 17', der bedeutend grösser als der Coeffi- cient jeder Störungsgleichung ist. Wir wollen daher in dem Folgenden statt der vorigen Kreisform diese elliptische der Rechnung zum Grunde legen und untersuchen, ob und was für neue Ungleichheiten bei dieser Hypothese zum Vorschein kommen; denn nur auf solche Weise können wir hollen, die Formeln der Theorie mit den Beobachtungen in die zu wünschende Uebereinstinunung zu bringen. S- 118. Bezeichnet e die Excentricität der Mondsbahn und a die mittlere Anomalie des Mondes, so wird sein elliptischer Ort, mit Weglassung der zweiten und höheren Potenzen von e, durch r = a (1 — e cos a) und l — X + 2e sin a bestimmt. Um daher die bei dem elliptischen Laufe des Von der Evection. 18 » Mondes statt habenden Störungen zu finden, wollen wir zunächst diese elliptischen Werthe von r und l in den mit w mulliplicirten Gliedern von T und V substituiren. Denn damit werden T und V noch immer bis auf die erste Potenz von w genau und somit alle die Störungen zu liefern im Stande sein, welche w und ew, so wie e'w, zu Factoren haben. Weil ferner das Glied mit dem Factor ee'w, als einer höheren Ordnung angehörig, hier ausser Betracht bleibt (§. 100.), und wir daher auch jetzt mit Berücksichtigung von e keine andern Glieder, als die schon in §§. 113. und 114. entwickelten, finden würden, so nehmen wir gegenwärtig für die Sonnencoordinaten r und F schlechthin ihre mitllern Werlhe a! und X und schreiben demnach statt der in §. 99. für 1\ und F x aufgestellten Formeln: '1\ = - £ + i r -w [1 + 3 cos 2 (/ - A')J, V t = — | £ w sin 2 (l — X). Nun ist mit Anwendung der elliptischen Werthe von r und l (vergl. §. 113.): 2(1 — X) = A x + 4e sin a , wo A x — 2 (A — X), cos 2 (l — X) = cos A x — 2e cos (A x — ß) + 2e cos (A x -f- a), sin 2 (l — X) = sin A x — 2e sin (A x — a) +2e sin (A x + «), cos 2 (l — A') = cos A x — \ e cos (A x — «) 4- f e cos (A x -j- ß), ^ sin 2 (l — X) = sin A x — ^ e sin (A x — a) + \ e sin (A x -f «). Hiermit wird (1) T l = — 2^ + -^ew cos « + I w cos A x — ±£-ew cos (A x — ß) 4-1 ew cos (h + tt )i (2) F x = — | w sin A x + -^ ew sin (A x — ß) — \e,w sin (A x + a). Wir erkennen hieraus, dass r und l, bei Berücksichtigung der Excentricität der Mondsbahn, ausser den nns schon bekannten Gliedern, welche A x zum Argument und w zum Factor haben, noch mit ew multiplicirle Störungsglieder erhalten, deren Argumente ß, A x — ß und A x + « sind. Indem 184 Dritter Abschnitt. Fünftes Kapitel. wir daher alle diese Glieder zu den elliptischen Werthen von r und l hinzufügen und den mitllern Werth von r um die Constanle acrc vergrössern (§. 105.), setzen wir: (3) ^ = 1 — e cos cc + cw + f () ew cos « + f x w cos l L + f b ew cos — a) + f ü ew cos + «), (4) l l + 2e sin a + g {) ew sin a + g,w sin l l + g^ßw sin (X L — a) + g ü ßw sin (A, x + a), und suchen nun die Zahlen c, f„, g lt , ... so zu bestimmen, dass die aus (3) und (4) zu folgernden Kräfte mit (1) und (2) identisch -werden. Hierzu sind aber die in §. 34. entwickelten und bisher benutzten Formeln nicht mehr ausreichend, weil jetzt nicht mehr, wie dort vorausgesetzt wurde, alle die zu den mittlern Werthen von r und l hinzu- gefiiglen Glieder so klein sind, dass ihre Producte in einander vernachlässigt werden können. Es ist nämlich r sowohl, als l, von der Form A 4- Be + Cw -f I)ew , und es kann daher das Product aus den Gliedern Be und Cw gegen das letzte Glied Deic nicht unbeachtet bleiben. Auch würde, weil nach der Annahme in §. 100. e von der ersten und w von der zweiten, also ew von der dritten Ordnung ist, noch das Quadrat und der Cubus von Be mit zu berücksichtigen sein. Da aber die Glieder ohne w zur rein elliptischen Bewegung gehören, und wir es hier nur mit der Entwickelung der von der Störung herrührenden und daher in tc mulliplicirlen Glieder zu lliun haben, so brauchen wir auf die hohem Potenzen von e keine Rücksicht zu nehmen. Um, diesen Bemerkungen gemäss, zuerst das in (1) vorkommende Glied ■— a- : r 2 zu entwickeln, setzen wir — e cos a + cic + f (l ew cos « + f L w cos ^ + ...=x und damit r : a 1 + x. Hieraus folgt, bis auf die zweite Potenz von x genau: a 2 : r- = 1 — 2x + 3x 2 . Von (1er Evection. 185 Es ist aber mit Weglassung der zweiten Potenzen von e und w: 3x 2 — — 6e cos a {cw + f L w cos A x ) = — 6cew cos a — 3/i ew [cos (/t x — «) + cos (it x + a)], folglich „2 ^ = 1 + 2e cos a — 2 cw — (6c + 2 [,) ew cos a — 2f L w cos /l x — (3/i + 2f.) ew cos (A x — a) - (3/i + 2/ 0 ) ew cos (l x +«). Dieses in (1) substiluirt und der Kürze willen l ± — « =A 5 und /t x -J- a = X ü gesetzt, erhalten wir: (1*) I L = — 1 + (2c+ •£) w — 2e cos et + (6c + 2f () — ew cos a + (2/i + !) w cos A, + (3/i + 2/: — U) ew cos A- + (3/i + 2/i + f) cos , (2*) F x = — | w sin Aj, + ~ew sin A 3 — \ ew sin §. 119. Wir haben nunmehr T L und V, aus den in (3) und (4) für r und l angenommenen Werthen herzuleiten. Da aus den angegebenen Gründen von der Methode in §. 112. hier kein Gebrauch gemacht werden kann, so wollen wir die allgemein gültigen Formeln (D) in §. 36. anwenden. Bedeuten demnach im jetzigen §., wie dort, r und l' die Geschwindigkeiten von r und l, r" und l" die von ?•' und l\ und setzen wir die constanten Geschwindigkeiten, mit denen sich die Argumente 1, a, 1,, k -, ändern, resp. = n, k 0 n , /ijft, k-ii , k. ü n, wobei noch zu bemerken, dass k () entweder = 1, oder von 1 doch nur sehr wenig verschieden ist. Denn bezeichnet co die Länge des Perigäums des Mondes, so ist k = k, — co (§. 45.). In der elliptischen Theorie ist aber co von constanler Länge, folglich die Geschwindigkeiten n und k () n von l und « einander gleich, folglich ä„= 1. Sollte daher k () von 1 abweichen, also co sich ändern, so könnte dieses nur in Folge der Störung geschehen, und es muss mithin der Unterschied zwischen k () und 1, wenn anders ein solcher statt findet, von gleicher Ordnung mit w sein; woraus noch folgt, dass in allen den ISO Dritter Abschnitt.. Fünftes Kapitel. Gliedern, welche bereils io als Factor enthalten, A 0 geradezu = 1 gesetzt werden kann. — Es findet sich somit: ~ = k () e sin a — f () ew sin a — k,f,ic sin l, — k$f 6 eio sin A. — li ü [,ew sin A„, — — A„ 2 e cos a — f 0 ew cos a — k, 2 f,w cos A 1 — k s 2 f 6 ew cos A- — k { ?[ ü ew cos A (i , = 1 -f- 2A 0 ccos « + g u ew cos a + k,g L w cos X, -f- k-jj^ew cos A s + %ü^cosA (i , = — 2A 0 2 e sin ß — g () ew sin a — k, 2 g,w sin A, — etc. Hieraus folgt weiter mit der Berücksichtigung, dass cos ß cos X, — £ cos A 5 + ? cos A 0 , sin ß cos A a = — sin A 3 + 4 sin A 0 , cos ß sin A x = ^ sin A ä + ^ sin A 0 ist: — = 1 + 4/r 0 e cos ß + 2(/ 0 ew cos ß + 2k,g,w cos X, + 2 (A^i + A 3 tf 3 ) ew cos A ä + 2 (A, g, +■ k ü g t ^) ew cos A (i , y1~ — = 1 4- cm -f (4A 0 — 1) e cos ß + (4c + 4- 2g 0 ) ew cos ß + (fi + 2k,g L ) w cos X, + (f- + 2 f t + k,g L + 2 k-j s ) ew cos A s + (/o + 2/; + + 2k ü g 0 ) ew cos A ß ; folglich (5) je = ——— = — 1 — cw + F ( ,e cos ß + F,w cos X, + F^ew cos A 3 + F ü ew cos A ;i , wo F 0 -= - 4A° + 1 + V - 2 (2c+ f () + -* + *’• Es ist aber, wenn wir in x und x 2 bloss die Glieder, deren Argumente A 5 und A (i sind, berücksichtigen: x == f.etc cos Aj + f (t m cos A (i , x 2 — — f t ew cos A- — l\ew cos A ; (ebends.). Die hierher gehörigen Gleichungen der Parallaxe sind demnach: — 57' 1" . etc [(y 5 + f t ) cos A- + (/;, + f L ) cos A (i ] = + 31", 9 cos A ä + 2", 8 cos A (i , wo A- — 2 (A — A') — « und A (i — 2 (A — A') + «. Bei Damoiseau sind die Coeflicienlen dieser Gleichungen für die Länge: + 1" IG" 28", 2, + 3' 12",2, für die Parallaxe: + 34", 4, + 3", 1. §. 122 . Die grösste unter den somit gefundenen Gleichungen, so wie unter allen Slörungsgleichungen überhaupt, ist die Gleichung für die Länge, welche 2 (A — A') — a, d. i. das Doppelte der mittlern Winkelentfernung des Mondes von der Sonne, vermindert um die mittlere Anomalie des Mondes, zum Argumente hat. Sie wird die Eveclion genannt und kann die Länge des Mondes bis auf 1° IG' 28" (nach D) ändern. Im Neu- und Vollmonde ist 2 (A — A') = 0 und 3G0 () , folglich sin A- — — sin a, und die Evection - — 1° IG' sin a. Letztere vermengt sich daher in den Syzygien mit der Mittel— punklsgleichung = G () 17' sin a, die dadurch 5° 1' sin a, also um den ganzen Werth der Evection kleiner wird. In den Quadraturen dagegen, wo 2 (A— A') = 180° und 3G0 (, + 180", wird die Evection — + 1" IG' sin a, und die Mittelpunktsgleichung scheint dadurch in 7° 33' sin « übergegangen, also um die ganze Eveclion vergrössert zu sein. In den frühesten Zeiten bestimmten die Astronomen den Mondlauf nur aus Finsternissen, also aus Beobachtungen 190 Drifter Abschnitt. Fünftes Kapitel. von Neu- und Vollmonden, und fanden hiernach die Miltel- punktsgleichung um den ganzen Betrag der Evection zu klein. Hipparch, Astronom der alexandrin’schen Schule im zweiten Jahrhunderte vor unserer Zeitrechnung, scheint der erste gewesen zu sein, welcher den Mond auch in den Quadraturen beobachtete und dabei grosse Abweichungen von der bis dahin angenommenen Theorie fand. Ptolemäus, Astronom derselben Schule im zweiten Jahrhunderte nach Christus, bestimmte das Gesetz und die Grösse dieser Abweichungen und ward dadurch der Entdecker der Evection. §. 123. So wie die Evection die grösste unter den Störungsgleichungen der Länge ist, so zeichnet sich auch die Gleichung des Radius Vector, welche mit der Evection dasselbe Argument hat, als die grösste unter den Gleichungen des Radius aus. Die Wirkung, welche diese beiden Gleichungen in Vereinigung hervorbringen, lässt sich, wie ich noch zeigen will, durch eine nach einem sehr einfachen Gesetz erfolgende Aenderung der Form und Lage der Mondsellipse vorstellig machen. — Weil ß = >l—ca, so ist das Argument 2 (X — X') — a = X — (2X' — co). Nun hat 2X' ■— co, welches wir — co, setzen wollen, im Vergleich mit X eine nicht sehr beträchtliche Geschwindigkeit. Es ist ferner nach unserer Rechnung das Verhällniss g rj : = — 2, 33 : 1, also nicht sehr vom Verhältnisse — 2:1 verschieden; um eben so viel nach Damoiseau, wo f- u ew = — und g 6 ew = 1° 16' 28", 2 . sin 1" = ^, also g 6 :f i = - 2, 32 : 1 ist. Setzen wir daher g^ew = 2e n so ist nahe f^ew = — e,, und die zwei in Rede stehenden Gleichungen der Länge und des Radius werden 2e sin (X — co) und — e cos (X — co), also von derselben Form, wie bei einer rein elliptischen Bewegung, wo die Excentricität = e t und die Länge des Perigäums = ro / ist. Von ilcr Evection. 191 Abgesehen von allen übrigen Störungen, ist demnach r : a t = 1 — e cos (A — co) — e, cos (A — co) l = A + 2e sin (A — co) + 2e, sin (A — a ); d. h. zu der elliptischen Ungleichheit, welche e zur Excen- tricität und co zur Länge des Perigäums hat, tritt wegen der Evection eine zweite hinzu, deren Elemente" — ij'ü = i . tV = 1 e , un d , = 2A' — co, sind. Diese zwei elliptischen Ungleichheiten lassen sich aber leicht zu einer einzigen verbinden. Denn löst man die Cosinus und Sinus auf bekannte Weise auf und setzt alsdann r : a t = 1 — E cos (A — £1) und l — A + 2 E sin (A — Sl). Die Evection in Verbindung mit der ursprünglichen durch e und co bestimmten elliptischen Bewegung des Mondes erzeugt daher wiederum eine elliptische Bewegung, welche durch E und £1 bestimmt ist, nur dass letztere zwei Elemente sich ziemlich schnell und ungleichförmig ändern, während e constant ist, und co, wie das folgende Kapitel lehren wird, langsam und der Zeit proportional zunimmt. Das durch die Formeln (a) ausgedrückte Gesetz der Aenderung von E und £1 lässt sich leicht graphisch veranschaulichen. Sei in T (Fig. 39.) die Erde, TX die in der Ebene der Bewegung gezogene feste Linie, von welcher an die Längen gerechnet werden, und c der Mittelpunkt der Ellipse, welche der Mond ohne den Einfluss der Fiveclion um T beschreibt, so ist XTc= 180° + co und, wenn man a t — 1 setzt, Tc = e. Sei ferner TX A cC = 180" + und cC — e t , so ist, wenn man die Seiten des Dreiecks TcC das einemal auf TX, das anderemal auf eine die TX rechtwinklig schneidende Linie projicirt: TC cos XTC = — e cos ew cos a und g () ew sin a hinzufügen, ist daher eben so viel, als eine andere Excenlricität e t zur Berechnung von /•, eine andere e t) zur Be- Vorwärtsgelien der Apsiden. 193 rechnung von l anwenden. Durch die Theorie der Störungen kann aber nichts weiter, als der Unterschied zwischen diesen Excentricitäten, welcher e, — e, = ([> + 4 g n ) ew = 4 hew ist, ermittelt werden. — Mit andern Worten: in den Formeln für r und l ist der zu bestimmenden Conslanten eine zu viel ( e , f () , g () statt e , e t ) angenommen worden, und es kann folglich eine der Zahlen f () und g () nach Belieben bestimmt werden, z. B. f () — 0, wodurch die beiden Excentricitäten = e und — e + ig„ew werden, und wo daher 4 g 0 ew ihr zu ermittelnder Unterschied ist. Was ferner die in den Gleichungen [2] und [6] noch enthaltene Zahl k () anlangt, so erhellet augenblicklich, dass diese nicht, wie bei der elliptischen Bewegung, der Einheit gleich sein kann, indem sich damit die Gleichungen auf die einander widersprechenden — (2/t — w = 0 und (h — 4) w = 0 reduciren würden. Mithin ist k t) von 1 verschieden, und die zwei Gleichungen, aus denen wir anfangs f (} und g n bestimmen zu können erwarteten, werden uns statt dessen zur Bestimmung des Aggregats von 2[ t + g 0 oder h und der Differenz k () — 1 dienen. In der That, setzt man letztere, weil sie nur von der Störung herrührt, =j>w, also A 0 = 1 + pw, so wird — 4/f 0 + 3 + V = — 2 pw und 2 k t) — 2V = — 2 pw, und die Gleichungen [2] und [6] gehen damit über in [2*] — (2p + 2/t — ~) w =■ 0, [6*] - (2p + h — 4) w = 0, woraus h = und p = — f, also e u = e t (1 4- und k () = 1 — \w folgt. Es ist aber co = l — a, und daher die Geschwindigkeit des Winkels co oder der Apsidenlinie = der Geschwindigkeit von A cc, —n — lt t) n = \nw. Die Apsiden haben demnach eine gleichförmige und positive, d. i. vorwärtsgehende, Bewegung und ihre Umlaufszeit ist 13 * 196 Dritter Abschnitt. Sechstes Kapitel. = 360« :*»» = !• 3?. £ (§• 99.) ^ — - . “ siderischen Jahren — 17, 825 siderischen Jahren, weil die siderische Umlaufszeit der Sonne und = n *i 13, 369 (§. 100.) ist. §. 126. Abgesehen von den Ungleichheiten, welche vom scheinbaren Stande des Mondes gegen die Sonne oder dem Winkel l —X abhängen, ist nach vorigem §. und nach §. 118.: r — a (1 — — c / cos a ), l — l + 2e, (1 + w ) sin a j oder, wenn man e y = e 0 (1 — l w )> und damit e, (1 + -f i w) = e t> (i — i w) (1 + -li w) = e 0 (1 +1 w) setzt: (■ a ) r — a (1 — ^w) (1 — e„ cos a) l = A + 2e„ (1 + J «p) sin a ; wozu noch, wegen der Excentricität der Sonnenbahn, die wir aber jetzt unberücksichtigt lassen, in r sowohl, als in l, ein Glied mit dem Argumente a hinzutritt (§. 114.). So wie jene Ungleichheiten in den vom Winkel l — l' abhängigen Theilen der störenden Kraft ihren Ursprung haben, so sind die mit w multiplicirten Glieder, welche in den jetzt hingeschriebenen Ausdrücken für r und l Vorkommen, aus dem von jenem Winkel freien Theile der Kraft, dem Gliede -J £ . in T y (§. 99.), entstanden. Der von der gegenseitigen Stellung der Sonne und des Mondes unabhängige Theil der störenden Kraft bewirkt demnach: erstens eine Verringerung, in dem Verhältnisse von 1 zu 1 — £tp, der milllern Entfernung a des Mondes, welche aus seiner miltlern Bewegung n folgt; zweitens eine Verschiedenheit, = | e () w, der Excenlricitäten, mit denen der Radius Vector und die Länge des Mondes zu berechnen sind, und drittens ein mit der Geschwindigkeit \nw erfolgendes Vorrücken der Apsiden der Mondshahn. 197 Vorwiirtsgehen der Apsiden. Es lassen sich aber die zwei letztem Wirkungen auf eigen- thiimliche Art vereinigt darstellen. Weil nämlich A — s + nt (§. 45.) und k (> — 1 — 4 w ist, so wird (b) l — s + p [k,,n( -f- 2e 0 sin a\. Nun ist k {) n die Geschwindigkeit von a (§. 119.), und es wird folglich durch die Gleichungen («) und (c) l () = £ + k u nt + 2e 0 sin « eine rein elliptische Bewegung dargestellt. Ersichtlich stehen aber die Geschwindigkeiten, mit denen sich l und l () ändern, in dem constanten Verhältnisse 1 : Ä„. Die Verschiedenheit der Geschwindigkeiten von 1 und a oder die gleichförmige Drehung der Apsidenlinie und die Verschiedenheit der Ex- centricitälen für r und l in der rein elliptischen Bewegung können wir uns daher mit einem Male dadurch erzeugt denken, dass bei der durch ( a ) und (c) ausgedrückten elliptischen Bewegung die Winkelgeschwindigkeit des Radius Vector in dem Verhältnisse k n : 1, — 1 : 1 + $w, vergrössert wird, und folglich in + 4 wl <> übergeht, wo l () ' die Winkelgeschwindigkeit bei der elliptischen Bewegung bezeichnet. Wir können uns daher auch vorstellen, dass während der Mond nach den Formeln ( a ) und ( c) elliptisch um die Erde läuft, die Ellipse selbst mit einer der Geschwindigkeit des Radius stets proportionalen Geschwindigkeit \ nach derselben Richtung um die Erde gedreht wird. §. 127. Zusätze, a. Betrachten wir überhaupt zwei Körper A (> und A, welche sich in einer Ebene um einen festen Punkt 0 derselben dergestalt bewegen, dass ihre Radien OA 0 und (JA stets einander gleich sind und sich mit constanten Flächengeschwindigkeiten 4 c„ und 4 c um 0 drehen Sei r der gemeinschaftliche Werth der Radien, und l 0 ' und l' ihre Winkelgeschwindigkeiten, so ist (§. 35.) (a) c 0 = rrl ( ' und c = rrl '; mithin stehen auch die Winkelgeschwindigkeiten in dem constanten Verhältnisse der Flächengeschwindigkeiten, welches 198 Dritter Abschnitt. Sechstes Kapitel. — k„ : 1 gesetzt werde, und mail kann sich die Bewegung des einen Körpers A aus der des andern A 0 dadurch entstehend denken, dass die Bahn, in welcher A () fortgeht, mit einer Winkelgeschwindigkeit um 0 gedreht wird, welche sich zu der von A„ wie 1 — k 0 zu k () verhält. Heissen noch T (j und T die Kräfte durch welche die Bewegungen von A„ und A erzeugt werden; sie sind nach 0 gerichtet (§. 37.), und es ist (§. 3G.) T<> = r" — rl’ 2 = r" — wegen («), und eben so T-^r" — ^, folglich (A) T-T n = -?-^£. „Bewegt sich demnach ein Körper A„ in einer Ebene „um einen festen Punkt 0 derselben mit conslanter Flächen- „geschwindigkeit, und wird aus dieser Bewegung eine zweite „hergeleitet, indem man, während A„ in seiner Bahn fort- „gelit, die Bahn selbst mit einer Winkelgeschwindigkeit, „welche der von A 0 proportional ist, um 0 sich drehen „lässt, so ist von den zwei Kräften, durch welche diese „zwei Bewegungen von A„ hervorgebracht werden, und welche „beide nach 0 gerichtet sind, der Unterschied umgekehrt „dem Würfel des Radius OA () proportional.“ — Princ. philos. nat., lib. I. propos. 44. b. Man sieht leicht, dass sich mit Hülfe der Relation (Ä) die Bewegung der Mondsapsiden gleichfalls ermitteln lassen muss. Es ist nämlich bei der wirklichen Mondsbahn, also bei der sich drehenden Ellipse (voriger §.), die doppelte Flächengeschwindigkeit c = naf *); dagegen ist bei der ruhenden Ellipse, c () A„c = h^na -, und die zur Bewegung in dieser Ellipse nöthige Kraft T () — — k^n-a* : r 2 (§. 55.). *) Eigentlich c—n a r (§• 52). Der Factor y'~ kann aber hier weggelassen werden, weil er von der Einheit nur um je 2 unterschieden ist (§. 49.). Y'onvärtsgelien der Apsiden. 11)0 Hieraus folgt nach (A) die Kraft bei der sich drehenden Ellipse, also die den Mond treibende Kraft oder, wenn wie vorhin k n = 1 + pw gesetzt wird: T = -K(M + m)Q i -l£ s v>). Dies giebt die Gleichung: («) «'V [l + 2 pw (1 — J)] = K (M + m) (l — i ^ w), welche unabhängig von einem bestimmten Werlhe von r bestehen muss. Für r = a t wird sie: (b) ii'-a} = K(31 + m) (1 — ^ w ), was mit dem schon in §. 102. Bemerkten übereinstimmt. Man dividire nun ( a ) durch ( b ), so findet sich oder, weil die Bewegung nahe kreisförmig, und daher nahe r — a t ist: p ^ — f, woraus das Uebrige, wie in §. 125., fliesst. Es ist dieses eine ungefähre Angabe des höchst sinnreichen Verfahrens, durch welches Newton die Bewegung der Apsiden zu bestimmen gesucht hat. Princ. lib. I. sect. IX. §. 128. Die vorwärtsgehende Bewegung der Mondsapsiden ist eine schon seit den ältesten Zeiten beobachtete Thatsache. (1 + 2 pw) + 2 pw Dieselbe Kraft ist aber nach §. 99.: r,, K (M + tri) , , Km'r 1 ~ oder, weil M ™ m — ist (ebendaselbst): 1 + 2 pw (l - J) = 1 + hw (l - £) und hieraus i r r 3 + « r 2 + n^r 200 Dritter Abschnitt. Sechstes Kapitel. Allein merkwürdiger Weise ist die aus den Beobachtungen folgende Umlaufszeit der Apsiden nur von 8, 850 siderisehen fahren, also nahe nur halb so gross, als diejenige, welche sich uns im Vorigen ergab, und welche auch Newton und späterhin die zu ihrer Zeit ausgezeichnetsten Geometer Clairaut, Euler und d’Alembert fanden, als sie diesen Gegenstand theoretisch zu untersuchen anfingen. Clairaul, der erste, welcher (im Jahre 1743) die Mondsstörungen mit Hülfe der Analysis zu entwickeln unternahm, wurde durch diesen so auffallenden Unterschied zwischen der Theorie und den Beobachtungen zu der Vermuthung geleitet, dass das Gesetz der Anziehung nicht so einfach sei, als man es seit Newton angenommen habe, und dass in seinem Ausdrucke dem Gliede, welches dem Quadrate der Entfernung umgekehrt proportional ist, ein zweites hinzugefügl werden müsse, welches, nur für die Bewegung der Apsiden von beträchtlicher Wirkung, auf die übrigen Ungleichheiten des Mondes und auf die Bewegungen der Planeten keinen merkbaren Einfluss habe. Als er aber, um dieses Glied näher zu bestimmen, alle Rechnungen mit noch grösserer Schärfe, als früher, von Neuem unternahm, machte er die wichtige Entdeckung, dass, wenn nur die Entwickelung weit genug fortgesetzt wird, und Grössen nicht vernachlässigt werden, die man wegen ihrer Kleinheit anfangs fast für einflusslos zu hatten geneigt ist, die Apsidenbewegung des Mondes sich eben so gross als in der Natur findet. Von dieser schärfern Rechnung werden die folgenden §§. einen ungefähren Begriff zu geben suchen. §. 129. Die durch die bisherige Rechnung gefundenen Werthe der Coordinalen r und l sind bis auf die erste Potenz des Störungscoefflcienten w, und damit bis zu den Slörungs- gliedern der dritten Ordnung (§. 100.), richtig. Um diese Werthe zu erhallen, fingen wir damit an, in den mit w multiplicirten Gliedern von 7j und (j, oder in P und Q, wenn r - 2 - + wP und V) =- wQ i 201 Vorwärtsgehen der Apsiden. gesetzt wird, für r, l, r, l', w’ovon P und Q Functionen sind, die bis zur ersten Ordnung richtigen Werthe dieser Coordinaten, also ihre bis zur ersten Potenz der Excenlri- citälen ,-4 kfif\ ,= 4 (1 _ k,) k l Fg l +i(l+/0) KGl \, und hieraus h eliminirt, ergiebt sicli P = -l-\{G-\F) + \A-B-\Ff i -, (G ( k L = 1,8504, k*= 0,8504, h== — 1,2876, F = — 0,1625, g,= 1,8297, G — 0,3781, 206 Dritter Abschnitt. Siebentes Kapitel. findet sich aber diese Correclion = 0,3795, und damit p = — 1,7834 + 0,3795 = — 1,4039, woraus die Umlaufszeit der Apsiden = 9,522 Jahren folgt, welche die wahre von 8,850 Jahren nur um den 13len Theil der letztem übertrilft. Siebentes Kapitel. Von der Seculargleichung des Mondes. §. 132. Zum Schlüsse Dessen, was über die Ungleichheiten des Radius Veclor und der Länge des Mondes hier füglich mit- gelheilt werden konnte, mag noch in Kurzem die Theorie einer dahin gehörigen Ungleichheit gegeben werden, die zwar an sich eine der am wenigsten bemerkbaren ist, die aber dadurch, dass sie, so lange Beobachtungen existiren, immer nach einerlei Seite hin gewirkt hat, und dass die Geometer, sie aus dem Gesetze der allgemeinen Schwere zu erklären, lange Zeit sich vergeblich bemüht haben, ein grosses Interesse gewonnen hat. Bei Vergleichung von Beobachtungen, die um mehrere Jahrhunderte von einander entfernt liegen, hat man nämlich gefunden, dass der Mond in jedem folgenden Jahrhunderte einen Bogen von etwa 21 Secunden mehr beschreibt, als in dem vorhergehenden. Der englische Astronom Halley (geb. 1656, gest. 1742) war der erste, welcher auf diese Beschleunigung der Mondsbewegung aufmerksam machte (im Jahre 1693). Allein erst den Bemühungen eines Laplace (geb. 1749, gest. 1827) gelang es (im Jahre 1787), auch diese Erscheinung auf das Gesetz der Schwere zurüek- zuführen und ihren Grund in der durch die Einwirkung der Planeten sich allmählig ändernden Excentricität der Erdbahn nachzuweisen. 207 Seculargleichung des Mondes. In der That ist, sobald man noch die zweite Potenz dieser Excentricität mit berücksichtigt, der Radius Vector der Sonne (§. 51.) r — d (1 — e r cos d + e' 2 sin d 2 ) = d (1 + #), folglich = (1 + a?) 3 = 1 — 3x + 6x- — 1 + 3e cos d — 3e' 2 sin d 2 4- 6e' 2 cos d 2 = 1 4- 3e cos d + | e 2 (14-3 cos 2k'). Hiermit wird, wenn man in T t = — a 2 r~ 2 4- wP und V L = wQ bloss die nicht periodischen Glieder von P und Q in Betracht zieht: r= ^ ■ - 4 (1 + ! e' 2 ) und Q = 0 (§. 99.). Wegen der Excentricität der Erdbahn wird demnach der mittlere Werth der störenden Kraft, welche den Mond von der Erde zu entfernen sucht, um \e 2 w vergrösserl; der mittlere Werth der auf den Radius Vector in der Bahnebene perpendikulär wirkenden Kraft bleibt aber, wie vorher, null. Wenn folglich diese Excentricität nicht conslant ist, sondern, wie es bisher geschehen, sich allmählig vermindert, so wird auch die störende Kraft, als welche im Mittel den Mond von der Erde abzuziehen strebt, immer kleiner werden, mithin auch die Entfernung des Mondes von der Erde sich allmählig verringern, seine Winkelgeschwindigkeit aber zunehmen (vergleiche §. 116.). §. 133. Der Werth von e zu Anfänge des Jahres 1800 war = 0,01679226 = C, und die Abnahme von e' in je hundert Jahren ist = 0,00004299 = IV; also, wenn der Anfang von 1800 zur Epoche genommen wird, und t die Zahl der seitdem verflossenen Jahrhunderte bedeutet: e = C — Nt. 208 Dritter Abschnitt. .Siebentes Kapitel. Mit Vernachlässigung des Quadrats und der hohem Potenzen von N können wir alsdann e" 2 = C 2 — 2 CNt = C 2 — 2C sin Nt — C 2 + 2C cos (90° -f- -MO setzen, wodurch (vor. §. ) T t = — ^ + {10 (1 + * c 2 ) 4-1 C-w cos (90° + Ni) und 1 i = 0 wird. Aus der somit dem Ausdrucke für 1) gegebenen Form lässt sich nun die gesuchte Bewegung ganz auf dieselbe Weise folgern, als wie in §. 113. aus dem Gliede e'w cos d in i\ — der Coefficient. von sin a in 1) war null — die Glieder mit dem Argumente a in r und l hergeleitet wurden. Es wird nämlich r = a t [1 + fw cos (90" + A7j], / ----- l + gw sin (90" + Nt ), »o/’=?C r 4p. Ä-fisl- Mit Weglassung der zweiten und hohem Potenzen von (V, und folglich auch von /£, wird aber f cos (90° + Nt) = — fsm Nt = — | CNt , g sin (90° + Nt) = g cos Nt = — ^ (l + ~^r — 2 N 2 t 2 ), und damit r — a t [1 — | CNwf ], i = + | CNnw . P. N n 12 In Folge der erstem dieser Gleichungen nimmt r in jeder Zeiteinheit um \ CNw . a t ab. In Folge der letztem ist die Geschwindigkeit, mit welcher sich l ändert, — n + 3CNnw . t (§. 10.), und nimmt folglich in jeder Zeiteinheit um 3CNnw zu. Die Abnahme von r ist für die Beobachtungen nicht merklich, wohl aber die Zunahme der Geschwindigkeit von l. Weil die Zeiteinheit im Gegenwärtigen ein Jahrhundert ist, und daher n die mittlere Bewegung des Mondes in 100 juliauisehen Jahren oder 36525 Tagen bedeutet, so ist (§. 66.) n — 360 J? 32,7 60 X 36 5 25 Secunden. 209 Seculargleichung des Mondes. Mit diesem Wertlie von n und mit den oben bemerkten Werthen von C und N findet sich das hundertjährige Wachs- thum der Mondsbewegung ■iCNnw ■= 21", 00. Zusatz. Zu demselben Resultate kann man auch schon durch den Satz gelangen, dass, wenn die den Mond nach der Erde treibende Kraft in dem Verhältnisse 1:1 \w ab- oder zunimmt, die mittlere Entfernung und die mittlere Bewegung in den Verhältnissen 1 : 1 + \w und 1:1 + w sich ändern (§. 102. b.). Denn da in jedem Jahrhunderte e' 2 um 2CiV kleiner, folglich— T s , = a 2 r~ 2 — \ w (1 + f e' 2 ), um %CNw grösser, und mithin jene Kraft in dem Verhältnisse 1:1 + §CNw grösser wird, so muss in jedem Jahrhunderte a t um f aCNio abnehmen und n um 3 nCNw wachsen. §. 134. Das stets positive Glied %CNnwt 2 , = 10", 50 . t 2 , womit nach vorigem §. die mittlere Länge des Mondes verbessert werden muss, wird die Seculargleichung des Mondes genannt. Sie ist am Ende des ersten, zweiten, dritten etc. Jahrhunderts nach der Epoche und am Anfänge des ebensovielten vor derselben = 10", 5; 42", 0; 1'34", 5; etc. Setzt man sie = 1°, so wird t — = 18, 5, d. h. zu der mittlern Länge des Mondes, welche mit den zur Zeit der Epoche statt findenden Elementen für einen Zeitpunkt berechnet worden ist, der 18| Jahrhunderte vor oder nach der Epoche liegt, muss ein ganzer Grad addirt werden. Um sich die Wirkung dieser Gleichung zu noch klarerer Anschauung zu bringen, denke man sich den mittlern Weg des Mondes während mehrerer Jahrhunderte in eine gerade Linie ausgedehnt. Zur Zeit der Epoche sei der Mond in A (Fig. 40.). Seien ferner A L , A 2 , A 3 , ... und t A, 2 A, 3 A,.... seine Oerter, erstere 1, 2, 3, ... Jahrhunderte nach der Epoche, letztere eben so lange vorher, wenn er stets dieselbe Geschwindigkeit, wie in der Epoche selbst, hätte, so dass die Theile, in welche die Gerade durch diese Punkte getheilt wird, sämmtlich von gleicher Länge sind. Man Moeliius, Mecli. d. Himm. 210 Dritter Abschnitt. Siebentes Kapitel. mache nun in der Richtung der Bewegung A l B l = 1 A l B.— x, A, B,, = 2 A ,,B --- Ax, A 3 B 3 = 3 A 2 B — 9x, etc., wo x — 10", 5, so sind ... ,B, t B, A, B t , B.,, ... die Oerler des Mondes bei der durch die Seculargleichung beschleunigten Bewegung, und man sieht leicht, wie von den alsdann in den einzelnen Jahrhunderten durchlaufenen Wegen ... 3 /?,ß, 2 B 1 B, JiA, AB 1 , B . } , B,B 3 , ... jeder folgende um 2x grösser als der nächstvorhergehende ist. Die Theorie der Planetenstörungen lehrt übrigens, dass die Excentricität der Erdbahn zwar mehrere Jahrhunderte hindurch, als der Zeit proportional sich ändernd, angesehen werden kann, dass aber hei längeren Zeiträumen das Quadrat und noch höhere Potenzen der Zeit mit in Rechnung genommen werden müssen, indem die Excentricität innerhalb gewisser ziemlich enger Grenzen in Perioden, deren Dauer viele Jahrtausende beträgt, abwechselnd grösser und kleiner wird. Dasselbe wird daher auch von der Aenderung der miltlern Mondsbewegung gelten, in welcher sich jene Aenderung der Excentricität gleichsam wie in einem vielfach ver- grössernden Spiegel abbildet, und die jetzige Beschleunigung dieser Bewegung wird einst in eine Verzögerung übergehen. Nach Damoiseau ist die Seculargleichung bis zur dritten Potenz der Zeit genau und für den Anfang des Jahres 1801 als Epoche: 10", 8780 . P + 0", 015981 . P, wovon das zweite Glied für Zeitpunkte, welche vor die Epoche fallen, seiner Natur nach negativ ist, und dessen Berücksichtigung nothwendig wird, wenn man z. B. bis zu der von den Chaldäern 720 Jahre vor Chr. beobachteten und von Ptole- mäus uns aufbewahrten Mondünsterniss zurückgehen will. Mag noch bemerkt werden, dass nach Laplace’s weiteren Forschungen (Mec. cel., Tome DI. pag. 175.) auch die Länge der Apsiden und die der Knoten des Mondes durch die Verminderung der Excentricität der Erdbahn seculare Aenderungen erfahren, wodurch die vorwärtsgehende Bewegung der Apsiden und die rückwärlsgehende der Knoten verzögert werden, während die des Mondes selbst be- 211 Störungen (1er Breite des Mondes. schleunigt wird, und dass die Seculargleichungen dieser drei Bewegungen in den Verhältnissen 3:0,74:1 zu einander stehen. Achtes Kapitel. Von den Störungen der Breite des Mondes. §. 135. In dem Bisherigen, wo wir die hauptsächlichsten Störungen der Länge und des Badius Vector des Mondes zu bestimmen suchten, nahmen wir den Mond und die Sonne sich in derselben Ebene bewegend an, da bei der hier beabsichtigten Genauigkeit die kleine Neigung, welche die Bahnebenen von Sonne und Mond gegen einander haben, auf diese Störungen keinen Einfluss hatte. Die Neigung der beiden Bahnen kann aber durchaus nicht mehr unberücksichtigt bleiben, sobald wir die Störungen in der Breite des Mondes bestimmen wollen, als welche eben daher rühren, dass die Sonne bei ihrem jährlichen Umlauf um die Erde in dem einen Halbjahr über, in dem andern unter der Ebene der Mondsbahn steht, und wodurch zu den zwei in der Ebene selbst wirkenden Kräften T und V eine dritte auf ihr perpendikuläre W hinzukommt, welche den Mond bald nach der einen, bald nach der andern Seite hin von der Ebene zu entfernen strebt. Der Werth dieser Kraft, so genau, als wir seiner hier bedürfen, und nachdem er mit n-a dividirt worden, ist (§. 100.) W ± — 3 w cos (l — l') sin b', worin b' die Breite der Sonne in Bezug auf die Mondsbahn bedeutet. Da cos (l — l') von l — V -- 90° bis — 270°, also vom ersten bis zum letzten Viertel, negativ ist, so hat während dieser Zeit W L das entgegengesetzte Zeichen von b', d. h. der Mond wird in der von der Sonne entfernteren Hälfte seiner Bahn nach derjenigen Seile seiner Bahnebene ' ’ . 14 * 212 Dritter Abschnitt. Achtes Kapitel. getrieben, auf welcher die Sonne nicht steht. Vom letzten bis zum ersten Viertel dagegen, wo er sich in der der Sonne nähern Bahnhälfle bewegt, treibt ihn die Kraft W nach der Seite der Sonne hin. Um den Grund hiervon unmittelbar einzusehen, denke man sich die Bahnebene horizontal und die Sonne über derselben stehend. Von den nach verticalen Richtungen geschätzten Kräften, womit irgend zwei in der Ebene befindliche Körper A und B von der Sonne S angezogen werden, wird alsdann die Kraft für den der Sonne näheren Körper, welcher A sei, die grössere sein, und dieses nicht allein deswegen, weil A mit einer grösseren Kraft, als B , nach S direct gezogen wird, sondern auch, weil von den Richtungen AS und BS die erstere einen kleinern Winkel, als die letztere, mit der Verlicale macht. Da nun vom ersten bis letzten Viertel die Erde, und vom letzten bis ersten der Mond der Sonne näher steht, so wird im erstem Zeiträume die Erde, im letztem der Mond, stärker nach oben getrieben. Die störende Kraft W ist aber der Unterschied dieser zwei verticalen Kräfte (vergl. §. 103.) und treibt folglich den Mond nur im letztem Zeiträume nach oben, im erstem dagegen nach unten*). Dasselbe ergiebt sich auch leicht aus dem in §. 103. gefundenen Resultate, dass die ganze den Mond L störende Kraft LN (Fig. 37.) in der Ebene TLS wirkt und den Mond von seinem Radius TL nach der Seite zu, auf welcher die *) Analytisch werden diese Schlüsse durch den in §. 95. tür W erhaltenen Ausdruck dargestellt, worin z, einerlei mit dem dortigen QP', der Abstand der Sonne von der Ebene der Mondsbahn, q und r' die Entfernungen des Mondes und der Erde von der Sonne, und damit . - und . ~ (j- 4 q r 4 r die nach der Richtung von z geschätzten. Kräfte sind, mit denen der Mond und die Erde von der Sonne angezogen werden. W, als er Unterschied dieser Kräfte, hat hiernach mit s einerlei Zeichen, oder das entgegengesetzte, jenachdem q < oder > r ist. 213 Störungen der Breite des Mondes. Sonne S steht, oder nach der entgegengesetzten, zu entfernen sucht, jenachdem T oder L der von S entferntere Körper ist. Denn denken wir uns noch durch TL die Ebene der Mondsbahn gelegt, so wird L im erstem Falle von dieser Ebene weg nach derjenigen Seite zu getrieben, auf welcher sich S befindet, folglich u. s. w. §. 136. Ehe wir zu den von der Kraft W erzeugten Wirkungen übergehen, müssen wir dem analytischen Ausdrucke von W eine zu diesem Zwecke dienlichere Gestalt zu geben suchen.— Heisst, wie im Früheren, i die gegenseitige Neigung der Bahnebenen von Sonne und Mond, und &' die Länge des aufsteigenden Knotens der Sonnenbahn auf der Mondsbahn, so ist sin b' = sin t sin (T — ■&') (§. 47.) und damit W t — 3 w sin i cos (l — T) sin ( l ' — 0 / ). Da aber iw yon der dritten Ordnung ist, und hier über Grössen der dritten Ordnung hinaus nicht gegangen werden soll, so können wir in dieser Formel i statt sin t, und statt l und V ihre mittlern Werthe X und X setzen. Hierdurch wird W L = 3 iw cos {X — X) sin (X — &') = \liü (sin A l — sin A .,), wo der Kürze willen A L und A 2 für l — & und X — 2X + geschrieben worden. Durch die Kraft W wird nun der Mond von der Ebene, in welcher er in jedem Augenblicke fortgehen will, und deren Lage durch die Richtung seiner jedesmaligen Geschwindigkeit und den Ort der Erde bestimmt wird, bald auf die eine, bald auf die andere Seite getrieben und damit die Lage der Ebene selbst fortwährend geändert. Unter allen den verschiedenen Ebenen, in welche die Mondsbahn auf solche Weise nach und nach gebracht wird, wird es aber eine gewisse mittlere geben, die, wie es wenigstens für den Anfang scheint, unverändert bleibt, und von welcher sich der Mond um periodisch ab- und zunehmende Grössen entfernt, die nur von der Ordnung m sind, so dass sowohl seine 214 Dritter Abschnitt. Achtes Kapitel. auf diese Ebene bezogene Breite, welche man b nenne, als der Winkel, den mit ihr seine jedesmalige Bahnebene macht, und welcher I heisse, iw zum Factor haben. Um daher die Wirkung der Kraft FF zu ermitteln, wollen wir die Bewegung des Mondes auf diese mittlere Ebene als Grundebene beziehen und seine rücksichtlich derselben statt findende Breite b zu bestimmen suchen. Die Kraft, welche diese Breite erzeugt, ist perpendikulär auf der Grundebene und werde mit U bezeichnet. Weil die ganze auf den Mond wirkende Kraft aus T, V, W zusammengesetzt ist, so ist U — der Summe der Projectionen von T, V, W auf ein auf die Grundebene gesetztes Perpendikel, = der Summe von T, V, FF, nachdem jede dieser Kräfte mit dem Sinus des Winkels multiplicirt worden, den ihre Richtung mit der Grundebene macht. Für die in der Richtung des Radius wirkende Kraft T ist dieser Winkel = b. Für die Kraft F sei er — er ist kleiner als /, weil die Richtung von F*in der Ebene der Mondsbahn liegt, und der grösste Winkel, den eine Linie dieser Ebene mit der Grundebene machen kann, = I ist. Die Kraft FF endlich ist auf der Ebene der Mondsbahn perpendikulär und macht daher mit der Grundebene einen Winkel = 90° + I. Hiernach wird V — rsin b + Fsin V + FF cos /, folglich auch, wenn man U: n'-a = U 1 setzt: U ± = T l sin b -f V ± sin V + cos I. Es ist aber J, = — a-r ~ 2 4- • • • = — 1 — 2e cos a +... (§. 118.). Da ferner e von der ersten, V t von der zweiten, H'i aber, so wie b, / und V von der dritten Ordnung sind, und alle Grössen von der vierten Ordnung an vernachlässigt werden sollen, so zieht sich die Formel zusammen in U^-b+W^ wo also das zu FF, noch hinzugefügle Glied — b von der den Mond anziehenden und damit nach der Grundebene zurücktreibenden Kraft der Erde herrührt. Substituirt man darin für FF, seinen obigen Werth, so kömmt: (1) U 1 = — b+ | ho (sin A l — sin A 2 ), 21S Störung der Breite des Mondes. worin man jetzt unter dem Winkel i und dem Bogen von welchem A l und A 2 Functionen sind, die Neigung und die Knotenlänge der Sonnenbahn in Bezug auf die Grundebene oder die mittlere Mondsbahn verstehe, indem davon dieselben auf die wirkliche Bahn bezogenen Elemente, oder i und &' in ihrer anfangs festgesetzten Bedeutung, ersichtlich nur um Grössen von der Ordnung lw abweichen können. §. 137. Zu Folge des letzierhaltenen Ausdrucks für U i und nach Schlüssen, ganz denen ähnlich, durch welche aus den Ausdrücken für T\ und F, die Störungen im Radius Vector und in der Länge gefunden wurden, wird der Ausdruck für die durch die Kraft U erzeugte Bewegung, mithin auch die Breite b, aus Gliedern bestehen, welche A 2 und A., zu Argumenten und lw zum Factor haben. Wir setzen daher: (2) b - h L iW sin A, + Ii,lw sin A 2 . Hiermit wird einerseits . (3) U y = — h L ) lw sin A L — (| + A 2 ) lw sin A 2 . Andererseits folgt daraus der Abstand des Mondes von der Grundebene, = r sin b — ab = ah 2 LW sin A L + ah,LW sin A 2 , und hieraus nach §. 38 die auf der Ebene perpendikuläre Kraft, welche die dadurch ausgedrückte Bewegung hervorbringt: V— — n-q^ahyiw sin A ± — n-q.,-ah,LW sin A 2 , w o nqy und nq 2 die Geschwindigkeiten bezeichnen, mit denen sich die Argumente A L und A 2 ändern; folglich (4) Uy = — q L 2 hyLiv sin A t — q 2 2 h 2 LW sin A 2 . Durch Yergleichung dieses Ausdrucks für U y mit dem obigen (3) ergiebt sich aber (5) 3 _ , h = _ q 2 1h f (G) * + h 2 = q 2 2 h 2 , woraus nun h x und h 2 zu bestimmen sind. 21(5 Dritter Abschnitt. Achtes Kapitel. §. 138. Unter der Hypothese, dass die zur Grundebene genommene mittlere Lage der Mondsbahn ungeändert bleibt, und weil die Ebene der Sonnenbahn, oder vielmehr der Erdbahn, ihre Lage nur äusserst langsam ändert, sind die Knoten der Sonnenbahn auf der Grundebene gleichfalls als fest, und daher der Bogen fr' als constant zu betrachten. Hiernach sind die Geschwindigkeiten von l — fr' und 1 — 21' + fr', oder von A L und A 2) — n und n — 2ri ; mithin q ± = 1 und q 2 = 1 — ^ = 0,85040 (§. 100.). Es ist daher, der Gleichung (6) zufolge: und weil nach den Beobachtungen der mittlere Werth von t = 5° 8' 48'' = 18528", und w = 0,005595 ist: h oJ w = — 562" = — 9' 22", folglich das zweite Glied im Ausdrucke (2) für b: — 9' 22". ste ß — 21' + fr'). Dagegen wird mit q i = 1 die Gleichung (5): | — h L — — h L , was einen Widerspruch enthält, der, wie wir schon ahnen können, eine Folge der naturwidrigen, aber hier zu Grunde gelegten Hypothese ist, dass die mittlere Lage der Mondsbahn ungeändert bleibt. Denn im Gegentheile haben schon die alten Chaldäer die Beobachtung gemacht, dass während die Neigung der Mondsbahn gegen die Sonnenbahn durchschnittlich sich nicht ändert, die Knoten der erstem Bahn auf der letztem eine rückgängige Bewegung haben, mit welcher sie beiläufig aller 19 Jahre einen Umlauf vollenden. Sei daher, um diese Bewegung jetzt mit in Rechnung zu nehmen, KE (Fig. 41.) die Ekliptik, /r' 0 L„ die mittlere Lage der Mondsbahn in der Epoche, KL ihre mittlere Lage in einem spätem von der Epoche um die Zeit t entfernten Zeitpunkte. Hiernach ist L () K () E — LKE = t und K (> K die (in der Figur rechlläufig angenommene) Bewegung des Mondsknotens in der Ekliptik während der Zeit t. Die Geschwindigkeit dieser Bewegung setzen wir, da letztere von der 217 Störungen der Breite des Mondes. Störung durch die Sonne herrührt und mithin vom Coefft- cienten w abhängen muss, = Qnw, folglich K U K= Qnwt. Werde nun die mittlere Lage der Mondsbahn in der Epoche zur Grundebene gewählt, und werde der Zeitraum t der über alle Grenzen wachsen kann, vor der Hand nur so gross genommen, dass Qntw oder K 0 I( von gleicher Ordnung mit w bleibt. Abgesehen von allen periodischen Störungen der Breite wird sich der Mond am Ende von t in einem Punkte L der dann statt habenden mittlern Lage KL seiner Bahn befinden. Man errichte daselbst auf KL ein sphärisches Perpendikel LE, das wegen der Kleinheit von A ' 0 K sehr nahe auch K () L () in L 0 rechtwinklig schneiden wird. Alsdann ist bis auf Grössen der zweiten Ordnung genau L (j E = i sin K () E, LE = l sin KE = i sin (K t) E — /T 0 /i), folglich L () L oder die von periodischen Störungen freie Breite, welche in der Knolenbewegung ihren Ursprung hat, = i sin K 0 E — i sin (K 0 E — K () K ), oder, weil hierin statt K () E auch der davon um eine Grösse der zweiten Ordnung verschiedene Bogen K (j L () =l — ■&'= A L gesetzt werden kann: L 0 L = l sin A t — i sin (A k — Qntw) , und damit (2*) b = h L iw sin A x + <■ sin A t — <. sin (A L — Qntw) = h L iw sin A t -f- Qntiw cos A i , wenn das Glied mit dem Argumente A 2 jetzt ausser Betrachtung gelassen wird. Mit diesem Werthe für b kann nun in der That der Gleichung (1) vollkommen Genüge geleistet werden. Denn erstens wird damit die Gleichung selbst: (3*) U 1 = (| — Aj) iw sin A L — Qntiw cos A t . Da ferner die Quadrate der Geschwindigkeiten, mit denen sich die Bögen A t und A L — Qntw ändern, n 2 und (n — Qnw) 2 , = n 2 (1 — 2 Qw), sind, so ist die aus (2*) unmittelbar folgende Kraft, nachdem sie mit n 2 a dividirt worden; U L = — sin A, + t (1 — 2 Qw) sin (A l — Qntw) d. i. (4*) U L = — (IQ + hi) w sin A , — Qntiw cos A L . 218 Dritter Abschnitt. Achtes Kapitel. Dieser Werth von U L wird aber mit dem vorhergehenden (3*) identisch, sobald wir noch — 2Q 4 , also Q = — 4 setzen und damit den Mondsknoten eine Geschwindigkeit = — 4 nw beilegen. Es ist diese Geschwindigkeit ihrem absoluten Werthe nach eben so gross als diejenige, welche wir anfänglich (§. 125.) für die Apsiden gefunden hatten. Die Umlaufszeil der Knoten beträgt hiernach 17,825 siderische Jahre (ebendaselbst), was von dem aus den Beobachtungen sich ergebenden Umlaufe von 0793,3911 Tagen = 18,599 siderischen Jahren nicht beträchtlich abweicht. Endlich ist wegen des negativen Zeichens der Geschwindigkeit die Bewegung der Knoten rückläufig, was ebenfalls mit der Natur übereinstimmt. Was noch den Coefficienlen h i anlangt, so bleibt dieser bei der Vergleichung von (4*) mit (3*) unbestimmt. Auch hätten wir dieses schon voraussehen können, da das Glied h ± LW sin A l seiner Natur nach für keine Störung zu achten ist. Wäre nämlich dasselbe allein vorhanden, also b==h i LW siny/,, so würde sich der Mond in einem grössten Kreise bewegen, welcher mit dem durch die Knoten gelegten Kreise, auf welchen seine Bewegung bezogen wird, einen Winkel •= 4 ,m macht, so dass, weil i der Winkel der Sonnenbahn mit dem letztem Kreise ist, nunmehr i — hiw den die Neigung zu nennenden und schlechthin mit i zu bezeichnenden Winkel ausdrücken würde. Wir können daher h L geradezu = 0 setzen. Zusatz. Die mit der Epoche anfangende Zeit t darf nach dem Vorigen nur so lauge wachsen, als die Grösse Qnwt von einerlei Ordnung mit w bleibt, — also etwa einen Monat laug. Denn, für t 1 Monat, ist nt oder der während t vom Monde durchlaufene mittlere scheinbare Weg = einem ganzen Kreise = 3,14, und daher Qnwt = — | • 3, 14 . w = — 2, 36 . w. Diese kurze Dauer von t kann aber dem vorhin gemachten Schlüsse auf eine ununterbrochen und gleichförmig dauernde Knotenbewegung keinen Eintrag thun. Um nämlich den Lauf des Mondes länger als einen Monat zu verfolgen, dürfen wir nur den Anfang des folgenden Monats zu einer neuen Epoche, den 219 Störungen der Breite des Mondes. Anfang des darauf folgenden dritten Monats abermals zu einer neuen Epoche u. s. w. nehmen. So wie nun von der ersten bis zur zweiten Epoche oder während des ersten Monats die Geschwindigkeit der Knoten = — | nw gefunden wurde, so wird sie auch während des zweiten, dritten etc. Monats von derselben Grösse sein. §. 139. Dem Ausdrucke (1) für U L geschieht demnach vollkommen Genüge, wenn man den sphärischen Abstand des Mondes von der Grundebene zur Zeit t nach der Epoche, oder seine Breite, b — Qntiw cos (it — %•') + K iW sin (A — 2/1' + %■') setzt, worin Q — — \ und b,w — — , = — , 3n Das erste Glied hiervon, zu dessen Berechnung die Epoche etwa aller Monate erneuert werden muss, ist von dem Stande des Mondes gegen die Sonne unabhängig und drückt ein bei unveränderter Neigung gleichförmiges Rückwärtsgehen der mittlern Mondsbahn an der Sonnenbahn aus. Das zweite Glied, welches rein periodischer Natur ist, kann als die Breite des Mondes in Bezug auf die Lage, welche die mittlere Bahn zur Zeit t hat, angesehen werden. Das darin vorkommende & ist nach dem Obigen die Knotenlänge der Sonnenbahn auf der mittlern Mondsbahn in der Epoche. Da aber die Rechnung offenbar desto genauer wird, je öfter man die Epoche erneuert, so wird man unter noch besser die Knotenlänge zur Zeit t selbst zu verstehen haben. Zusätze, a. Man verlängere die Bögen K lt L 0 und KL zu beiden Seiten bis zu ihren gegenseitigen Durchschnitten M und N, so ist der Winkel MK () K = i — MKE — K () KN, folglich auch MKK t) = NK t] K. Die sphärischen Dreiecke K () KM und KK () N sind daher einander gleich, folglich K lt M = NK und KM = NK n , folglich K () M + KM = NK + KM — 180°. Ist folglich K 0 K sehr klein, und sind daher die Bögen I( {) M und KM nahe einander gleich, so ist jeder von 220 Dritter Abschnitt. Achtes Kapitel. ihnen nahe = 90°. Die Punkte, in denen sich zwei nächstfolgende Lagen der mittlern Mondsbahn schneiden, sind daher Yon den Knoten um 90° entfernt. b. Fällt man von K auf K 0 L 0 das Perpendikel KO, so ist OK = K () K sin i — i. Qntw, und es verhält sich OK : L t ,L = sin OM : sin L„3I= 1: cos K f) L {) , mithin L 0 L - OK cos K„L„ — Qntvw cos , wie vorhin auf andere Weise gefolgert wurde. §. 140. Der aufsteigende Knoten K der Sonnenbahn auf der Mondsbahn und der aufsteigende Knoten der Mondsbahn auf der Sonnenbahn sind offenbar zwei um 180" von einander entfernte Punkte. Setzt man daher die Länge des letztem Knoten = &, so ist 0 1 ' = ft + 180", und die in §. 138. gefundene periodische Ungleichheit in der Breite wird = + 9' 22" . sin (1 — 2X + %). Auch kann man diese Ungleichheit, wegen der Kleinheit von i, statt auf die Mondsbahn, auf die Sonnenbahn selbst beziehen, d. h. man kann um eben so viel den sphärischen Abstand von der Ekliptik, welchen der Mond bei der gleichförmigen Bewegung seiner Knoten haben würde, geändert ansehen. Bedeuten demnach und & die in der Ekliptik gezählten mittleren Längen des aufsteigenden Mondsknotens in der Epoche und zur Zeit t, und sind für letztere Zeit und in Bezug auf die Ekliptik, ß die Breite des Mondes, wenn er sich in seiner mittlern Bahn bewegte, b die wahre oder gestörte Breite, l die wahre Länge des Mondes in seiner Bahn (§. 47.), so hat man 1) ff := -{- Qnw . t , wo der Zeitraum t von jeder beliebigen Länge sein kann, und wo, wenn er in Tagen ausgedrückt ist, — «Ä5n— 3rw ’- n ‘'“> 2) sin ß — sin i sin (/ — fl), Störungen (1er Breite des Mondes. 221 wofür auch mit einer hier hinreichenden Genauigkeit ß = i sin (l — ft) = 5° 8' 48" sin (l — ft) geschrieben werden kann*), und damit nach Damoiseau 3) ä = 13 + 8' 47", 8 sin (l — 2A' + ft), mit Weglassung der Gleichungen, welche zur vierten und höheren Ordnungen gehören, und deren grösste nur bis 26" steigt. Die hier entwickelte Gleichung, welche den doppelten Abstand des Mondes von der Sonne, weniger dem Abstande des Mondes von seinem aufsteigenden Knoten, zum Argumente hat, ist daher unter allen Gleichungen der Breite bei weitem die grösste; sie ist eben so, wie die Variation und die jährliche Gleichung, von Tycho de Brahe entdeckt worden. §. 141. Da sich die mittlere Mondsbahn bei unveränderter Neigung gegen die Sonnenbahn an letzterer gleichförmig fortbewegt, so scheint es, dass sich die Theorie dieser Bewegung, wenn auch nicht die der periodischen Breitestörungen, etwas einfacher entwickeln lassen werde, wenn man die unbewegliche Ebene der Sonnenbahn selbst zur Grundebene wählt. Zu dem Ende wollen wir zu den ursprünglich auf den Mond wirkenden Kräften zurückgehen. Diese sind (§. 94.) erstens eine ihn nach der Erde treibende Kraft =K(M+m):r 2 , zweitens eine ihn nach der Sonne treibende Kraft = Km : p 2 , und drittens eine Kraft = Km : r' 2 , deren Richtung parallel mit der Richtung von der Sonne nach der Erde ist. Jede Es folgt nämlich aus 2) bis zum Würfel von i genau, und wenn i und ß in Secunden ausgedrückt sind: ß = /■ sin (? — fr) — T ’ ¥ i 3 (sin l") 2 [sin (1 — fr) 4- sin 3 (f — #)] = 5° 8' 41", 7 sin (f - — 6", 2 sin 3 (i — #). — Eben so ist, wenn L die Länge des Mondes in der Ekliptik bedeutet, tarig ß = tang / sin {L — />), woraus ß = i sin (L — fr) + T y i 3 (sin l") 2 [sin (L — fr) + sin 3 (L — #)] = 5° 9' 0",3 sin (L — fr) +■ 12", 4 sin 3 (L — fr) folgt. 222 Dritter Abschnitt. Achtes Kapitel. dieser Kräfte zerlegen wir in zwei, von denen die eine parallel mit der Ebene der Ekliptik, die andere auf dieser Ebene perpendikulär ist und daher hier allein in Betrachtung kommt. Sei nun die Entfernung des Mondes von dieser Ebene — z, und zwar positiv, wenn er nördlich von der Ebene absteht, so sind jene drei Kräfte, nach einer auf derselben perpendikulären Richtung geschätzt und positiv genommen, wenn sie den Mond nach Norden treiben: - K(J V”° • ™ • - und 0. r* r 7 q 1 i> Bezeichnen w r ir daher die Totalkraft, welche auf den Mond nach derselben Richtung wirkt, mit Z, so wird Z = -K(M+m)$-Km' oder, weil in' — (M + m) (§. 99.), und weil der Unterschied zwischen dem Quotienten a 3 : q 3 und der Einheit nur von der zweiten Ordnung ist (ebendaselbst): (A) Z = -K(M+m)(Z + %w), woraus die Bewegung des Mondes in Breite sich eben so genau, wie vorhin, ermitteln lassen muss. Es ist aber r = a (1 — £ w) + einem Aggregat von periodischen Gliedern (§. 118.). Da aus diesen letztem keine andern Glieder, als ebenfalls periodische, in dem für die Breite gesuchten Ausdrucke hervorgehen können, so ist, weil wir die periodischen Breitenstörungen jetzt unberücksichtigt lassen wollen, r schlechthin = a (1 — {w) — a t zu setzen, woraus (a) Z = — Ii (M 4- m) (1 + w) folgt. Gesetzt nun, dass der Mond, in der Entfernung a / von der Erde, gar nicht gestört würde, und dass daher w — 0 w r äre, so würde seine gegen die Ekliptik geneigte Bahnebene ungeändert bleiben, und folglich die Periode P seiner auf der Ekliptik perpendikulären durch Z erzeugten Bewegung seiner Umlaufszeit U in der Bahnebene, oder auch entlang der Störungen der Breite des Mondes. 223 Ekliptik, gleich sein, und man würde für U und P die Gleichungen haben (§. 65.): (1) K (M + m) = n 2 af = 4 % 2 a? : U 2 =.-= 4 % 2 a} : P 2 . Wirkt demnach auf den in der Entfernung a j von der Erde befindlichen Mond eine ihn perpendikulär gegen die Ekliptik treibende Kraft (b) Z = -K(M+m) so hat seine in derselben Richtung geschätzte Bewegung eine durch die Gleichung (1) bestimmte Periode P. — Auch kann dieses unmittelbar aus der in §. 25. gegebenen Theorie der schwingenden Bewegung gefolgert werden. Die Kraft Z in ( a ) ist aber in dem Verhältnisse 1 + w : 1 grösser als die Kraft Z in ( b ), und die Sonne wirkt daher in dieser Beziehung eben so, als wenn die Summe der sich anziehenden Massen M und m sich in demselben Verhältnisse vergrössert hätte. Mithin wird für die Periode P bei der durch die Sonne gestörten Bewegung K (M + m) (1 + w)= A% 2 a? : P 2 sein. Von der andern Seite ist für die Umlaufszeit U bei der nach der Ekliptik selbst geschätzten und durch die Sonne gestörten Bewegung (§. 102.) K(M + m) (1 — \w) = n 2 af = 4 % 2 a} : U 2 . Beim Hinzutritt der Sonnenstörung findet demnach zwischen U und P die Proportion statt: U 2 : P 2 = i + w : i — -^w = t : 1 — %io, also U: P=- 1 : 1 — d. h. die Periode P oder die Umlaufszeit des Mondes in Bezug auf die Knoten ist in dem Verhältnisse 1 — : 1 kleiner als seine Umlaufszeit in Bezug auf einen festen Punkt der Ekliptik. Die Knoten müssen folglich eine der Bewegung des Mondes entgegenkommende Bewegung haben, deren Geschwindigkeit sich zu der des Mondes wie | w zu 1 verhält. — Ohne Rechnung dürfte sich das Rückwärtsgehen der Knoten auf folgende Weise, der die eben gemachten Schlüsse gleichfalls zum Grunde liegen, am einfachsten erklären lassen: 224 Dritter Abschnitt. Achtes Kapitel. Die nahe kreisförmige Bewegung des Mondes in einer gegen die Ekliptik geneigten Ebene ist, wenn sie nach einer auf der Ebene der Ekliptik perpendikulären Richtung geschätzt wird, Pendelschwingungen vergleichbar, deren Dauer, so lange die Lage der Bahnebene unverändert bleibt, einer halben siderischen Umlaufszeil des Mondes gleich ist. Diese Schwingungen werden durch die nach derselben perpendikulären Richtung geschätzte anziehende Kraft der Erde erzeugt. Durch die Anziehungskraft der Sonne, die, wenn sie gleichfalls nach dieser Richtung geschätzt wird, den Mond stets nach der Ebene der Ekliptik hintreibt, wird aber jene Kraft vergrössert und folglich die Schwingungsdauer vermindert, eben so wie die Schwingungen eines Pendels bei zunehmender Schwerkraft schneller werden. Der Mond muss folglich eher wieder zu demselben Knoten als zu demselben Sterne zurückkehren; folglich u. s. w. Anmerkung. Um vermittelst der Gleichung (A) die periodischen Störungen der Breite zu finden, hat man, wie schon erinnert worden, die periodischen in r enthaltenen Glieder zu berücksichtigen. Die hierzu erforderliche Rechnung ist aber ungleich grösser, als bei der zu demselben Zwecke in §. 137. angewendeten Methode. Ohne hier näher darauf eingehen zu wollen, bemerke ich nur, dass die periodische. Störung, deren Argument 2(1 — A')— (A —-S') ist, aus der Variation oder derjenigen Störung der Länge und des Radius Vector entspringt, welche 2 (A — A') zum Argumente hat. §. 142. Die Neigung i und die Knotenlänge O- sind dasselbe in Bezug auf die Breite, was die Excentricilät e und die Länge des Perigäums hinsichtlich der Länge waren, Denn so wie die mittlere Länge A wegen der Excentricität durch die Mittelpunktsgleichung 2e sin (A — n) verbessert werden musste, so erhält der Ort des Mondes, der ohne Neigung der Bahn stets in die Ekliptik fallen würde, eine Breite — t sin (l — &). Auf gleiche Art sind rücksichtlich der Länge und der Breite das Vorwärtsgehen der Apsiden und das Rückwärtsgehen der Knoten einander entsprechende Bewegungen; denn beide sind von dem Stande des Mondes gegen die Sonne un- Störunge“» der Breite des Mondes. abhängig und geschehen gleichförmig. Gleicherweise ist endlich die vorhin gefundene Gleichung der Breite dasselbe für die Breite, was die Evection für die Länge war. Denn das Argument der erstem Gleichung ist 2 (A — A') — (A — ft), das der letztem 2 (A — A') — (A — «), und iw Factor der erstem, ew der letztem Gleichung. So wie nun die letztere auch durch eine fortdauernde Aenderung der Excentricität und der Lage der Apsidenlinie, oder kurz durch eine Bewegung des Mittelpunktes der Ellipse, dargestellt werden konnte (§§. 123. 124.), so wird durch ähnliche Mittel auch die erslere Gleichung durch eine Aenderung der Neigung und der Ivnolenlänge, und somit durch eine Bewegung der Ebene der Mondsbahn sich erklären lasseu. In der That ist die durch erstere Gleichung gestörte Breite b = tsin (l — fr) + h 2 iw sin (l — 2A' + fr) (§. 140.) Sie wird, wenn man , . fi cos fr -f- h.,iw cos (2A' — fr) = J cos 0 und ^ ' (t sin fr -j- b 2 iw sin (2A' — fr) — J sin © setzt: b J sin (l — ©). Man wird daher die gestörte Breite geradezu finden, wenn man sie wie die nichlgestörle, aber nicht mit den Elementen i und fr, sondern mit J und © berechnet, und man kann sich mithin die Störung in der Breite auch dadurch erzeugt vorstellen, dass die Neigung J und die Knotenlänge 0 nach dem durch («) ausgedrückten Gesetze veränderlich sind. Um uns dieses Gesetz zur Anschauung zu bringen, wollen wir die nach ihm bewirkte Aenderung der Lage der Mondsbahn, oder, was auf dasselbe hinauskomml, die Aenderung der Lage ihrer Pole, zu erforschen suchen. Sei bei der Projection auf die Kugelfläche der Kreis OKF (Fig. 42.) die Ekliptik, 0 der Anfangspunkt derselben, E ihr Nordpol, p der Nordpol der mitllern Mondsbahn, KOK' die nördliche Hälfte dieser Balm, also Ii der aufsteigende Knoten derselben. Durch die Mittelpunkte F und G der Halbkreise KFIi' und KOK' lege man einen grössten Kreis FGH\ dieser Mueltius, Mech. il. nimm. J5 226 Dritter Abschnitt. Achtes Kapitel. wird mit seinem Bogen FG den Winkel FKG oder die Neigung /. messen und durch E und p gehen, so dass FE — Gp — 90°, mithin auch Ep = FG — i, und der nach links gerechnete Winkel OEp =-.= OK + KF + FK'H=» + 270° ist. Eben so hat man, wenn P den Pol der gestörten oder wahren Mondsbahn bezeichnet: EP= Jund OEP— 270°4- 0. Nun ist das sphärische Dreieck EpP so klein, dass es hier als eben betrachtet werden kann. Macht man daher noch den Winkel OEX — 270", wodurch XEp — fr und XEP = 0 wird, und projicirt jenes Dreieck rechtwinklig das cinemal auf EX, das anderemal auf EO, so kommt: i cos fr + pP cos EX A pP — J cos 0, i sin fr + pP sin EX A pP = J sin 0. Die Vergleichung dieser Formeln mit (a) giebt aber: pP -- K,iw-= 8' 48" = und EX A pP= 2X — fr, also EX A pP — EX A Ep =- 2X - 2fr, d. i. Ep A pP=~ HpP — 2 (A' — fr) — 2 ES, wenn S der mittlere Ort der Sonne in der Ekliptik ist. Es beschreibt demnach der xcahre Pol P der Mondsbahn um den mittlern p einen Kreis mit einem Halbmesser, welcher der 35ste Theil der Entfernung des mittlern p vom Pole E der Ekliptik ist, und mit einer Winkelgeschwindigkeit in Bezug auf die Knotenlinie, welche doppelt so gross als die der Sonne in Bezug auf dieselbe Linie ist. Die auf diese Linie bezogene Umlaufszeit von P um p beträgt daher 173, 31 Tage, als die halbe Umlaufszeit der Sonne rücksichtlich der Knoten. Dabei liegt P von p auf der entgegengesetzten Seite von derjenigen, auf welcher E liegt, also nach H hin, wenn die Sonne durch den einen oder den andern Knoten geht. Denn für KS = 0 oder = 180° wird HpP-- =0. In diesen Zeitpunkten hat die wahre Neigung EP ersichtlich ihren grössten Werth -- 5° 8' 48" + 8' 48" = 5° 17' 36". Eben so erhellet, dass, wenn die Sonne zwischen den Störungen der Breite des Mondes. 227 beiden Knoten in der Mitte, also in F oder in H ist, die wahre Neigung am kleinsten -= 5" 8' 48" — 8' 48" = 5° 0' 0" ist. ln beiden Fällen ist der Winkel pEP = 0, und es coin- cidirl daher der wahre Knoten mit dem mittlern. Dagegen erreicht dieser Winkel seinen grössten Werth pP = 8' 48" Ep sin 1" 5° 8' 48" . sin 1" 1° 37' 58", und es ist folglich der wahre Knoten dem mittlern am weitesten, um 1° 38', voraus (hinter ihm zurück), wenn die Sonne dem einen oder dem andern Knoten um 45° vorausgeeilt (hinter ihm um 45° zurück) ist. In diesen letztem Fällen hat die Neigung ihren mittlern Werth. Zusatz. Aus den Gleichungen (a) folgt, wenn man sie ähnlicherweise, wie die Gleichungen (1),.. (4) in §. 32. behandelt: i + h 2 iw cos 2 (X — fr) = J cos (© — ff), h 2 iw sin 2 (X — ff) = J sin (© — fr). Weil nach der ersten dieser Gleichungen J mit i, und nach der zweiten J sin (© — fr) mit m, folglich © — fr mit w, von einerlei Ordnung ist, so kann man statt derselben auch schreiben: ./ — t = h.,m cos 2 (X — fr), © — fr = h 2 w sin 2 (X — fr). Hiernach ändern sich die Neigung und die Knotenlänge dergestalt, dass die Ungleichheit der erstem dem Cosinus, die der letztem dem Sinus des doppelten Abstandes der Sonne vom aufsteigenden Knoten proportional ist, und dass die erstere Ungleichheit bis 8' 48", die letztere bis 1° 37' 58" anwachsen kann. Dasselbe fliessl auch leicht aus der obigen Construction.: Denn fällt man von P auf Ep das Perpendikel PQ, so ist die Ungleichheit der Neigung = EP — Ep — pQ — pP cos HpP, und die Ungleichheit in der Bewegung der Knolenlinie oder der darauf perpendikulären EP, = dem Winkel HEP --- QP : EQ — QP : Ep nächstens = pP sin HpP : Ep. Es war aber HpP = 2ES, folglich u. s. w. 15 * 228 Dritter Abschnitt. Neuntes Kapitel. Neuntes Kapitel. Von der Bestimmung der Elemente der Mondsbewegung. §. 143. Im Bisherigen haben wir die Befriedigung gehabt zu sehen, wie mit zu Grunde Legung des Newton’schen Altrac- tionsgeselzes, und wenn wir von dem Störungscoeflicienten w auch nur die erste Potenz beibeliielten, doch alle schon vor Newton aus Beobachtungen erkannten Mondsstörungen mit ziemlicher Genauigkeit sich entwickeln Hessen. Wir nahmen iiierbei die elliptischen Elemente des Monds- und des Sonnenlaufs als historisch gegeben an und substituirten sie in den durch die Theorie erhaltenen Ausdrücken für die Coordinaten des Mondes. Wie die Elemente einer rein elliptischen Bewegung aus Beobachtungen gefunden werden können, ist in §. 53. gezeigt worden. Offenbar aber kann jene Methode nicht ohne Weiteres auch auf den Mond, eben seiner beträchtlichen Störungen wegen, angewendet werden. Um daher nichts übrig zu lassen, was nicht unmittelbar, sei es aus der Theorie, oder aus Beobachtungen, geschöpft werden könnte, und somit eine möglichst vollständige Einsicht in die Berechnung der Mondsbewegung zu erlangen, haben wir noch zu lernen, wie die elliptischen Elemente der durch die Störung nicht mehr genau elliptischen Bewegung des Mondes durch Beobachtungen sich ermitteln lassen. Ehe dieses aber geschieht, wird es gut sein, die Gründe übersichtlich zusammenzustellen, auf denen unsere Ueberzeugung von der Richtigkeit der analytischen Formeln beruht, die wir, von dem Newton’schen Gesetz ausgehend, für den gestörten Mondslauf gefunden haben. §• 144. Wenn bei einem sich bewegenden Körper das Gesetz gegeben ist, nach welchem die ihn treibenden Kräfte von Bestimmung der Momlselemente. 229 seinem jedesmaligen Orte, oder von der Zeit, oder von beiden zugleich abhängen, und wenn nächsldem sein Ort und die Grösse und Richtung seiner Geschwindigkeit für einen gewissen Zeitpunkt gegeben sind, so ist damit sein Ort für jeden andern Zeitpunkt vollkommen bestimmt (§.25.). Sind daher die Bewegung der Sonne um die Erde und für einen gewissen Zeitpunkt der Ort und die Geschwindigkeit des Mondes, und überdies die Verhältnisse zwischen den Massen von Sonne, Mond und Erde gegeben, so ist damit und unter der Voraussetzung der Richtigkeit des Newlon’schen Gesetzes die Bewegung des Blondes um die Erde vollkommen bestimmt, und es müssen sich die drei Coordinalcn des Mondes als Functionen der Zeit, und dieses nur auf Eine Weise, darstellen lassen. Siud folglich umgekehrt drei Functionen der Zeit, als die Coordinaleu des Blondes, gegeben, und besitzen diese erstens die Eigenschaft, dass die aus ihnen nach bekannter Weise herzuleitenden Kräfte einerlei sind mit denen, welche dem Newton’schcn Gesetze zufolge statt linden müssen; lassen sich aber auch zweitens den in den Functionen vorkommenden Constanten solche numerische Werlhe beilegen, dass die damit für einen gewissen Zeitpunkt gemachte Bestimmung des Orts und der Geschwindigkeit des Blondes mit derjenigen, welche für denselben Zeitpunkt die Beobachtung unmittelbar giebl, zusammenfällt: so kann man versichert sein, dass diese Functionen, und keine andern, die richtigen Coordinaten des Blondes sind. Beiden Forderungen wird nun durch die im Vorigen entwickelten Werlhe der Coordinaten r, l und b und unter der poslulirten Beschränkung auf die ersten Potenzen von w , e, e und i Genüge geleistet. Dass die erste Forderung erfüllt ist, geht aus der Vergleichung hervor, welche bei jenen Rechnungen, um die Coefficienten in den angenommenen Formen der Coordinaten zu bestimmen, zwischen den Wer- then der Kräfte, welche aus diesen Formen geradezu folgen, und denen, welche das Newton’sche Gesetz giebt, jederzeit angestellt wurde. Die Erfüllbarkeit der zweiten Forderung erhellet daraus, dass, wenn man in den Coordinaten die Störungsglieder weglässt, die Constanten in den übrig blei- 230 Dritter Abschnitt. Neuntes Kapitel. Lenden, eine rein elliptische Bewegung darstellenden, Gliedern numerisch immer so bestimmt werden können, dass der Ort und die Geschwindigkeit des Mondes, welche für einen gewissen Zeitpunkt aus den Coordinalen durch Rechnung lliessen, einerlei sind mit denen, welche den Beobachtungen zufolge in demselben Zeitpunkte statt finden. Es wird daher auch mit Berücksichtigung der Störungsglieder, als welche die nämlichen Constanlen enthalten, eine solche Uebereinstimmung zwischen Beobachtung und Rechnung durch Annahme etwas veränderter Werthe der Constanten oder der Mondselemente immer zu Stande gebracht werden können. §. 145. Was nun die Methode selbst anlangt, durch welche die Elemente der gestörten Mondsbewegung zu bestimmen sind, so geht aus dem eben Gesagten hervor, dass hierzu eben so, wie bei der rein elliptischen Bewegung, die für einen gewissen Zeitpunkt 7J, durch Beobachtung gefundenen Werthe der drei Goordinaten r, l, b und die Werthe der Geschwindigkeiten r, l', b', mit denen sie sich zu dieser Zeit ändern, hinreichen. Man hat alsdann 6 Gleichungen von der Form: r — B + ÖB, l = L + ÖL, b = B -f SB, ■ r' = IC + ÖR', V = L' 4- ÖL', b' - B’ + dB', wo B, L, B, R', L', B' die für die Zeit T n mit den Elementen des Mondes zu berechnenden elliptischen Theile von r, l , ... V ; öB, ÖL, ... öB' aber die Aggregate der hinzukommenden Störungen und daher durch die Theorie bekannte Functionen von der seit der Epoche bis 7J, verflossenen Zeit, von den Mondselementen und von den als bekannt vorauszusetzenden Elementen der Sonnenbewegung sind. Man berechne nun zuerst mit r, l, ... //, wie bei einer rein elliptischen Bewegung, nach der Methode in §. 53 die sechs Elemente des Mondes. Da man hierzu die Grössen B, L, ... B' hätte nehmen sollen, und diese von r, l, ... b’ um ÖR, ÖL, ... öB' unterschieden sind, so werden die gefundenen Elemente kleine Fehler von der Ordnung w ent- Bestimmung der Mondselemcnle. 231 halten. Mit diesen Elementen berechne man die Störungen öli, dL, .... Die somit sich ergebenden Werthe, welche < 5 / 4 , SL l , ... heissen, werden bis auf die erste Potenz von w incl. richtig sein, und wenn man daher mit r — öl} 1 , l — öL i , etc., statt mit r — dR, l — dL, etc. oder R, L , ..., die Elemente nach der gedachten Methode von Neuem berechnet, so werden die Fehler derselben nur noch von der Ordnung w 2 sein. Durch Wiederholung desselben Verfahrens und unter der Voraussetzung, dass dR, dL, ... selbst bis zur Ordnung w 2 genau entwickelt sind, wird man hierauf die Elemente, nur noch mit Fehlern von der Ordnung w 3 behaftet, finden. Eine abermalige Wiederholung der Rechnung giebt die Elemente bis auf Fehler von der Ordnung w* genau, u. s. w. §. 146. Zu diesem Verfahren die Elemente des Mondslaufs zu bestimmen ist es aber nölhig folgende Bemerkungen noch hinzuzufügen. 1) Bei der in §. 53. erklärten und hier zu Grunde gelegten Methode die Elemente eines Planeten zu bestimmen wurde die Formel k 2 = n 2 a z mit angewendet, worin li 2 eine von einem Planeten zum andern so gut als ganz constante Zahl bezeichnet. Es ist nämlich h 2 — K ( M + m) (§§. 62. und 65.), wo K eine für jedes Paar sich anziehender Körper gleich grosse Zahl, und M und m die Massen dieser zwei Körper im Vergleich zur Sonnenmasse bedeuten, wenn letztere als Einheit der Masse bei Bestimmung der Zahl K zum Grunde gelegt worden ist. In §. 53. ist daher M + m eine die Einheit äusserst wenig übertreffende Zahl. Im Gegenwärtigen aber sind M und m die Massen von Erde und Mond, und es muss daher ausser den drei Coordinalen und ihren Geschwindigkeiten noch ein siebentes Stück, nämlich die Summe der Massen von Erde und Mond im Vergleich zur Sonnenmasse, gegeben sein. Statt auf die Ermittelung dieser Massensumme auszugehen, wird es aber einfacher sein, beim Gebrauch der Methode in §. 53. die Formel k 2 = n 2 a 3 ganz zu beseitigen und dafür den Werth von n geradezu 232 Dritter Abschnitt. Neuntes Kapitel. durch Beobachtungen zu bestimmen zu suchen, was mit dem vorläufig hinreichenden Grade von Genauigkeit schon dadurch geschehen kann, dass man zwei der Zeit nach sehr weit, um ein Jahrzehend oder Jahrhundert, von einander entfernte Beobachtungen der wahren JJinge des Mondes mit einander vergleicht und den ganzen während dessen durchlaufenen Weg durch die Zwischenzeit dividirt. Mil der so bestimmten miltlern Bewegung n findet sich hierauf a durch Auflösung der cubischen Gleichung: t _ 2 _ fl r ii 2 ’ 2) Die bei diesen Rechnungen sich ergebenden Werthe der mit der Zeit proportional sich ändernden Elemente a> und & gehören dem Zeitpunkte T„ an. Die Geschwindigkeiten, mit denen diese Aenderungen vor sich gehen, sind gegebene Functionen des Verhältnisses ri : n, und man wird somit die zwei wahren Längen, die man zur Bestimmung von n angewendet hat, in mittlere, die man statt der wahren hätte brauchen sollen, näherungsweise verwandeln und damit einen genauem Werth von n finden können. Ueberhaupt sieht man hieraus, wie mit der allmähligen Verbesserung der sechs Elemente a, a, .. & gleichzeitig auch die als siebentes Element zu betrachtende Grösse n sich berichtigen lässt. Wenn übrigens das jetzt zur Elementenbeslimmung angegebene Verfahren für die Praxis auch nicht das geeignetste ist, und man insbesondere wegen der kleinen Fehler, womit alle Beobachtungen behaftet sind, ausser der hier vorausgesetzten Beobachtung zur Zeit T () und den zwei Beobachtungen, welche zur Bestimmung von n dienen sollen, noch eine möglichst grosse Anzahl zu andern Zeitpunkten gehöriger benutzen wird, so wird das Gesagte doch hinreichen, um von der Möglichkeit solcher Rechnungen und ihrer Beschaffenheit im Allgemeinen einen Begriff zu verschaffen. §. 147. Ganz besonders ist noch hervorzuheben, dass nach den für die drei Coordinalen des Mondes hier entwickelten Aus- Bestimmung der Mondselemente. 233 drücken und selbst nach den viel weiter gehenden Entwickelungen von Laplace und Andern bloss die Länge des l’erihels und die Länge des aufsteigenden Knotens der Zeit proportionalen Aenderungen unterworfen sind, während die übrigen Elemente constanl bleiben, — abgesehen von den kleinen Variationen, welche durch die Aenderung der Ex- centricilät der Erdbahn in der miniem Bewegung des Mondes und seiner davon abhängenden miltlern Entfernung, sowie in der gleichförmigen Bewegung seiner Apsiden und Knoten, hervorgebracht werden (§. 134.). — Namentlich ist daher die Neigung der Mondsbahn gegen die Erdbahn vollkommen constant, obgleich man vermuthen möchte, dass diese Neigung wegen der nicht ganz conslanlen Lage der Erdbahn gleichfalls kleine Aenderungen erlitte; allein wie Laplace durch die Theorie, übereinstimmend mit den Beobachtungen aller Zeiten, gezeigt hat, wird bei sich ändernder Lage der Erdbahn die Mondsbahn durch die Wirkung der Sonne unaufhörlich zu derselben Neigung gegen die Erdbahn zurückgebracht. §. 148. Es ist schon in §. 129. auf die Schwierigkeiten aufmerksam gemacht worden, welche mit einer den Beobachtungen genügenden theoretischen Entwickelung der Coeffi— cienten für die einzelnen Störungsgleichungen verbunden sind. Als man daher nach den ersten von Clairaut, Euler und d’Alembert angeslelllen Versuchen, die Ungleichheiten des Mondslaufs bloss durch die Theorie zu bestimmen, die Erfahrung gemacht hatte, dass die hiernach berechneten Tafeln von den Beobachtungen zu Zeilen noch bedeutend abwichen, so begnügte man sich die Theorie mehr nur zur Entwickelung der Argumente der Gleichungen zu benutzen, die Coeftlcieuten aber durch Vergleichung der somit bloss ihrer Form nach bekannten Gleichungen mit so viel als möglich Beobachtungen zu bestimmen. Auf solche Weise entstanden die vortrefflichen Mondstafeln von Tobias Mayer, Mason, Bürg und Burkhardt, von denen die des letztem noch gegenwärtig zur Vorausberechnung des Mondslaufs in 234 Dritter Abschnitt. Neuntes Kapitel. den Berliner astronomischen Jahrbüchern und in der Con- naissance des temps gebraucht werden. Ungeachtet der grossen Vollkommenheit dieser Tafeln musste aber die Theorie des Mondes so lange noch unvollkommen erscheinen, als man der Beobachtungen zu etwas Weiterem als den 0 oder 7 Elementen der Bewegung be- nölhigt war. Die Akademie der Wissenschaften zu Paris setzte daher im Jahre 1820 einen Preis auf eine Mondstheorie, bei welcher nur jene Elemente aus den Beobachtungen, alles Uebrige aber aus dem Gesetze der allgemeinen Schwere hergeleitet wäre. Zwei Theorieen erhielten den Preis: die eine von Plana und Carlini, die andere von Damoiseau. Letztere hat ihr Verfasser mit den hier zu Grunde gelegten Tafeln begleitet, die zu ihrer gänzlichen Vollendung nur wenig zu wünschen übrig lassen. Noch eine Mondstheorie ist im Jahre 1838 von Hansen erschienen: Fundamenla nova investujationis orbitae verae, quam luna perlustrat, etc. Ihr Verfasser hat sich darin höchst scharfsinniger und von den früheren ganz verschiedener Methoden bedient, um die so mühevolle Rechnung zu vereinfachen. Auch hat er nach diesen Methoden berechnete Tafeln versprochen, die aber bis jetzt noch erwartet werden. Eine nähere Angabe der Eigenthiimlichkeiten dieser verschiedenen Methoden würde hier nicht am Orte sein, da sie auf Kunstgriffen der hohem Analysis beruhen, die ich bei meinen Lesern nicht habe voraussetzen wollen. Statt dessen will ich zum Schlüsse dieses Abschnitts die Elemente, nach denen Damoiseau seine Mondstafeln*) berechnet hat, und die vorzüglichem Gleichungen der Länge, der Ilorizontal- parallaxe unter dem Aequator und der Breite nach denselben Tafeln hier noch zusammenstellen. *) Tables de la lune, formees par la seule theorie de raUraction, ... par Damoiseau, ... Paris 1828. 235 Bestimmung der Mondselemente. §. 149. Bezeichnet, wie im Obigen, A die mittlere Länge des Mondes, « seine mittlere Anomalie und & die Länge seines aufsteigenden Knotens, und wird jede Länge vom mittleren Friihlingsäquinoclialpunkte an gerechnet, so ist nach Da- moiseau’s Tafeln für die mittlere Pariser Mitternacht, welche den 31. December 1800 vom 1. Januar 1801 trennt, als Epoche: A = 111° 30' 42", 8, « = 205 29 58,4, & = 13 54 54,2. In 100 julianischen Jahren, d. i. in 3G525 Tagen, beträgt das Wachstimm von l ... 133G Umkreise + 307° 52' 41", 6, von « ... 1325 Umkreise + 108 49 55,0; & aber nimmt ab oder die Knoten gehen rückwärts 5 Umkreise + 134" 9' 57", 5. Hierzu kommen noch die Seculargleichungen von A ... 10", 8786 . t 2 + 0", 015981. P, von «... 50,0592 . t 2 + 0,073539 . P, von & ... 6 , 0090 . f 2 + 0,009797 . ^, wo t die Anzahl der seit der Epoche verflossenen Jahrhunderte ist. Endlich sind, wenn X und «' die mittlere Länge und die mittlere Anomalie der Sonne bedeuten, zur Zeit der Epoche X = 280'* 9' 32", 0, «' = 0 39 7,0, das seculare Wachsthum von X ... 100 Umkreise + O 1 * 45' 53", 0, von «... 99 Umkreise + 359 2 43,0. Hiermit kann man die Wertlie von A, «, 0-, A' und «' für jeden gegebenen Zeitpunkt berechnen. Die wahre in der Ekliptik gezählte Länge des Mondes ist alsdann, wenn man der Kürze willen A — X d und A — ff — g setzt: 236 Dritter Abschnitt. Neuntes Kapitel. A + 6° 17' 19", 7 sin a + 12' 48", 8 sin 2a + 3G", 1 sin 3 k + 1" 16' 28", 2 sin (25 — k) + 31", 0 sin (45 — 2a) — 2' 2", 1 sin 8 + 39' 29", 7 sin 2« — 11' 13",0 sin a — G' 51", 8 sin 2£ — 3' 31",9 sin (2a — 25) + 3' 12", 2 sin (25 + a) + 3' 26", 7 sin (25 — cc — a) 4- 2' 45", 5 sin (25 — «') + 2' 28", 0 sin (a — a') — 1' 49", 4 sin (a + «') — 45",2 sin (2g 4-«) - 39",4 sin (2£—a) — 56",5 sin (2g—25) + 38",5sin(45-a)-29",0sin(25+a -a)-24",6sin(2ö+a), wozu noch 65 andere Gleichungen kommen, nämlich 6, deren Coefficienlen zwischen 20" und 10" fallen, und 59, deren Coefficienten kleiner als 10" sind. Die hier milgetheillen 21 Gleichungen reichen daher nur hin um die wahre Länge bis auf etwa eine halbe Minute genau zu finden. Die drei ersten derselben machen die Mittelpunktsgleichung aus, die 4le und öle die Eveclion; die Gte ist die parallaktische Gleichung (§. 111.), die 7le die Variation, die 8le die jährliche Gleichung. Die 9le Gleichung ist die vorzüglichste unter denen, durch welche die Länge des Mondes in seiner Bahn auf die Ekliptik reducirt wird (§. 48. Anmerkung). Die Horizontalparallaxe ist nach denselben Tafeln: 57' 0",9 4- 3' 6", 5 cos a + 10", 2 cos 2a (Miltelpunklsgleich.) + 34", 4 cos (25 — a) + 3", 1 cos (25 4- a) (§. 121.) — 1", 0 cos 5 4- 28", 5 cos 25 (§. 111.) 4- 1", 9 cos (25 — a') (§. 114.) 4- 1", 4 cos (25 — d — a) 4- 1", 2 cos (a — a') 4- noch 13 andern Gleichungen, deren Coefflcieuten < 1". Bezeichnet man endlich mit A, z/, Z die Werlhe von a, 5, g, nachdem man zu jedem der letztem die Summe der Gleichungen der Länge hinzugefügt hat, so ist die Breite des Mondes 5" 8' 59", 8 sin Z 4-8' 47", 8 sin (2z/ — Z) (§. 140.) 4- 25",8 sin (2/1 — Z) 4- 22",0 sin (2 J— Z - «) 4- 23", 8 sin (Z 4- «') — 25", 1 sin (Z — d) 4- 13 Gleichungen, deren Coefficienten < 20". 237 Bestimmung der Mondselemente. Anmerkung. Unter den wegen ihrer Kleinheit hier weggelassenen Gleichungen sind besonders zwei merkwürdig, welche von der abgeplatteten Gestalt der Erde herrühren (§. 71. zu Ende). Die eine, welche die Länge betrifft, ist = 7",3, mul- tiplicirt in den Sinus der Länge des aufsteigenden Knoten; die andere, eine Gleichung der Breite, ist =—8", 6, multiplicirt in den Sinus der wahren Länge des Mondes. Die Coefficienten dieser Gleichungen, und zwar jeder von ihnen für sich, können, wenn sie geradezu aus Beobachtungen bestimmt werden, zur Ermittelung der Abplattung dienen. Bürg fand aus einer grossen Anzahl von Beobachtungen die Coefficienten = 6", 8 und — 8", 0, woraus L a p 1 a c e die Abplattung resp.. = ^ * Q5 und folgerte, zwei Resultate, die nicht nur sehr nahe unter sich, sondern auch mit der aus Gradmessungen geschlossenen Abplattung übereinstimmen. Damoiseau, welcher seine Coefficienten theoretisch bestimmt hat, muss hiernach eine etwas grössere Abplattung, = -a)n, wie ich sie aus seinen Coefficienten nach den Formeln in der Mec. cel. Tome III. pag. 251 etc. finde, zu Grunde gelegt haben. aäjaw aw ,;y ,, •..,., /. . A-ihnfteasF f, a* VtiJrtnin-iui rr-- ; ; öS 1->*.•••!:?;;• :ä) n*k)Jßiij -40.; r '• .•■.../ ,-IU^j;.'. : .M jiwsd oui?:wl »•.«-'ah'w..sch m/I ■ ! - aift ; Wpn• ! 'V !- '»ie..' .• ab üsai.*. üaL'Jai ,.9'r^-F r“':'fti - , ü i;J- ...iti jjauJDiuui aaia . xv-tms. n^faafjÄMäQk^Ku'•■..aSbnoM viv •.•im..! ‘^Hiwvib rxiuc m-.|. ijj ,n9nnlirf’ate^Bi;jfewrii m>/ - -J nws -uni. «mambai;. 1 i:?'.*§k- :.{'! ;■•.:■ i(iu'’..!»(ii/. ;iVih jiüui-jjiw» Isiü 8 : ü" iu'.i ‘ f : : . . ■■ ■<, :-i\, :■;■ -aiii- )!I hü hstt.vfi/-. ; -‘■'.•&-V b :i- "Itrii- /: •&■ 3 V 1> I «Hl .1' fcBßlOW iC. : £.ls£t ... '■■'■* * ‘‘ > ’ 3*W?,.aiK }.**k'>u ■•■•*«“' :•;• s-ia aih ’ ’ W^Üst^cfaK;«sgrfu>r.oii%iiiij iOh- iab J»a liiöo'niab SitlaaTtjMfrteV ,»e -H inrais0 .nsHttofefffgiaKti) «dqsinaiiL.8 *üoi , teil JmmilÄttfl dttftjfri 1 ns , ob«ft' IWt. .JIU^hwT'- -fci ' *SM£ .Wb ai aUianqH , ' • ',.- "'. : '. .uädfiii ’&<;]»».'.o’bwiO > . ■-.<•■•• ■ .-V -Ü -■■■■'. ■■ , vr . ■ •■■ X Vierter Abschnitt, Von den gegenseitigen Störungen der Planeten. Erstes Kapitel. Von den Störungen, welehe von den Excentrici- tälen und der Neigung unabhängig sind. §. 150. Fast keine Aufgabe hat den Astronomen grössere Schwierigkeiten entgegengeslellt, als die Entwickelung der Störungen, welche der Mond durch die Sonne erleidet. Der Grund hiervon ist hauptsächlich die Grösse der störenden Kraft, die bis zum 89slen Theile der Hauptkraft, welche den Mond nach der Erde zieht, amvachsen kann (§. 103.). Ungleich geringer sind die störenden Kräfte, welche die Planeten auf einander ausüben, im Vergleich zu den Kräften, welche sie um die Sonne zu kreisen nöthigen. Obgleich daher das im Vorigen angewendete Verfahren, um die Mondsslörungen zu berechnen, für die wirkliche Ausführung, wo eine die Beobachtungen befriedigende Genauigkeit erzielt werden soll, keineswegs das geeignetste ist und nur deshalb befolgt wurde, w r eil es am leichtesten verständlich war, so wird doch dasselbe Verfahren bei den Störungen der Planeten, wenigstens der älteren, deren Excentricitäten und Neigungen durchschnittlich nur gering sind, fast vollkommen Genüge leisten und uns alle von der elliptischen Bewegung wahrnehmbaren kleinen Abweichungen leicht finden lassen, — mit Ausnahme einiger wenigen, zu deren Erforschung eine tiefer gehende Bechnung nöthig ist. §. 151. Auch bei der Theorie der Planeten werden uns die drei für das Problem der drei Körper in §. 95. gefundenen Grundformeln Muehius, Mccli. (1. IJiuim. 16 2'l2 Vierter Abschnitt. Erstes Kapitel. T= — K + Km' .P, V = Km' . Q, Km . 11 als Ausgangspunkt dienen. In ihnen bedeuten jetzt M, m und m' die Massen der Sonne, des gestörten Planeten und des störenden; P, Q und R sind Grössen, die auf eine aus §. 95. zu ersehende Weise Yon den Radien Vectoren r, r der Planeten m, m, ihren heliocentrischen Längen /, beide in der Bahn von m gerechnet, und der heliocentrischen Breite b‘ von m in Bezug auf dieselbe Bahn abhängen; T, V und W endlich sind die drei auf m nach den ebendaselbst angegebenen Richtungen wirkenden Kräfte. Die in ihren Ausdrücken mit m’ multiplicirten Glieder sind die störenden Kräfte, und das Glied yon T, welches M + m zum Factor hat, ist die den Planet m nach der Sonne treibende Kraft. Der Grund, aus welchem die erstem gegen diese letztere jetzt sehr gering sind, ist die ausserordentliche Kleinheit von m gegen 3 /, während bei der Störung des Mondes durch die Sonne die sehr grosse gegenseitige Entfernung beider Körper im Verhältnisse zur Entfernung des Mondes von der Erde es war, weshalb die störende Kraft gegen die Haupl- kraft, welche die Bewegung des Mondes regulirte, so gering ausflel. §. 152. Bezeichne n die mittlere Bewegung yoh m, — und zwar zur Zeit der Epoche, dafern sicli diese Bewegung nicht völlig constant linden sollte. Die zu n nach der elliptischen Theorie gehörige mittlere Entfernung des m von der Sonne sei = a, also I( (31 4- m) = n 2 a 3 . Die Substitution des hieraus folgenden Werlhes von K in den Gleichungen für T, V, IFgiebl: T = r 2 ^ M + m . n 2 a*P, V — M + m . n 3 a 3 Q, W=~- M + m . n 2 a 3 R. Nun sind ^ und ~ sehr kleine Brüche, von denen, be- Von Excentric-itäten u. Neigung unabh. Störungen. 243 sondere Fälle ausgenommen, ihr Product, so wie die zweite und die höheren Potenzen immer vernachlässigt werden können. Setzt man daher nocli die Masse der Sonne M — 1, so kann man für —■ schlechthin tri schreiben, und die Formeln M + m ' werden, wenn man sie noch, wie in §. 99., mit n 2 a divi— dirt und T n-a = *i, n~a = W 1 n £ a 1 setzt, d. h. diejenige Kraft (= n 2 a ) zur Einheit nimmt, welche einen in der Entfernung a von der Sonne befindlichen Körper um letztere einen Kreis mit der Winkelgeschwindigkeit n zu beschreiben nöthigt: 7j = — Vy= ttia°-Q, W L = tria 2 R §. 153. Zunächst sind nun in diesen Formeln für P, Q, R ihre durch die Coordinalen r, l , r, l', b' ausgedrückten Werthe zu setzen. Es besteht aber jede dieser Coordinalen aus zwei Theilen, von denen der eine rein elliptisch ist, der andere die Störungen enthält und daher m' zum Factor hat. Da nun von m' bloss die erste Potenz beibehalten werden soll, so reicht es hin, in P, Q, R bloss die elliptischen Tlieile der Coordinalen zu substituiren. Wir wollen aber für’s Erste auch noch die Excentrici- täten der beiden Bahnen unberücksichtigt lassen, also annehmen, dass m' sich in einem Kreise um die Sonne bewege, und dass die Bahn von m , wenn keine Störung statt fände, gleichfalls kreisförmig wäre. Wir wollen ferner wegen der Kleinheit der gegenseitigen Neigung beider Bahnen die zweite und die höheren Potenzen der Neigung unbeachtet lassen. Alsdann ist, wenn die mittlere Entfernung des m' von der Sonne = a und die mittleren Längen von m und tri, l und X gesetzt werden: r — a, l — A, r — V — X, und es kommt, wenn man noch der Kürze willen u statt l — X schreibt: f6* 2Vl Vierter Abschnitt. Erstes Kapitel. P=(k- 4 ) <£ cos u - " - ^ s 4~ rt Vo-» a (J 3 } Ä =( t 73“A) cos « a ? «' sin 6', wo ^ = ( a 2 — 2art' cos « + a' 2 )~’ ist (§. 96.). Letzterer Ausdruck ist nun, um ihn für die folgenden Rechnungen brauchbar zu machen, in eine Reihe zu entwickeln, deren Glieder die Vielfachen von u zu Argumenten haben. Rei der Mondstheorie, wo ein sehr kleiner Bruch -j-ijir war, convergirte diese Reihe so schnell, dass für unsern Zweck die zwei ersten Glieder derselben vollkommen hinreichten. Anders verhält es sich gegenwärtig, wo nach den zwei Planeten, die zugleich in Betracht kommen, und nach den damit bald grossem, bald geringem Abweichungen des Verhältnisses a : a von der Einheit die Reihe bald ebenfalls ziemlich schnell, bald aber so langsam convergirt, dass man, um ein sattsam genaues Resultat zu erhalten, eine ziemlich grosse Anzahl von Gliedern entwickeln muss. Diese Entwickelung ist nun allerdings einer der mühsamsten, zugleich aber auch, wegen der merkwürdigen dabei vorkommenden Relationen, einer der interessantesten Theile der Störungsrechnungen. — Folgendes wird uns die nölhigen Begriffe davon verschaffen. §. 154. Werde a°- — 2 aa' cos u 4- a' 2 — U gesetzt und zuerst ganz allgemein die Entwickelung der Function U~ ‘ verlangt. — Man setze a — ab und damit U= a 2 (1 — 2b cos u + b 2 ), nnd denke sich nun das Trinomium 1 —... nach b in die zwei Facloren 1 — bx und 1 — by aufgelöst, so dass 1 — 2b cos u + b 2 = 1 — b (x + y) -f b 2 xy. Dies giebt («) ... x + y — 2 cos u und xy — 1, also y — Von Exceutricitäten u. Neigung uuabli. Störungen. 845 und es wird U~‘ ---= a~ 2 ’ (1 — bx)~* (1 — by) Es ist aber (1 — bx)~~‘ — 1 + abx -f- ßb 2 x 2 + yb'x 3 + ..., wo a und eben so (1 -by)~ a s.s+1 s.s+l.s + 2 , l ir= -rT~’ V = —T72T3-’ etc ‘ 1 + - + 2$ + ^ folglich 1 X 3Ü l X 5 ' 7 ° (b) u—•--= d - 2 * [1 + a 2 b 2 4 - ß-b 4 + f-b n . + • • • + (ab + aßb 3 4- ßyb 5 4- •••)(•» + - 1 ,) + (ßi 2 + „pH 4- ■ ■ •) 4- p) 4- (yb 3 +. • •) (* 3 + i) + • • J Nun ist nach (a) ... x 4- ^ = 2 cos u und mithin x 2 4- = (x 4- -V) 2 — 2 = 4 cos m 2 — 2=2 cos 2«, X e ’ \ XJ * 3 + h = (*“ + i) (* + 3 -* - i = 4 cos 2 u cos u — 2 cos u = 2 cos 3w, * t + 2 . = (* i +4)(* + ;)-* , -;k = 4 cos 3 u cos u — cos 2u — 2 cos 4w, u. s. w. Denkt man sich daher in ( b ) für a, ß, y, ... ihre durch s ausgedrückten Werthe subslituirt und setzt dann 2a'- 2 * [1 +pp 4- Cn^r) 3 ^ + (^k'y- 2 ) 2 ^* ■ •]=^ 2« - [sb + + *• + ..]-* 2a'- 2 * [ s -^ b 2 4- f 2 *'+••] = 2a ,__ 2s p- s i + 1 2 : g + 2 P 4- ...] = 2f 3 , u. s. w., so wird: U—‘ — \ 2C 0 4- cos u + 2f a cos 2 u 4- 3t s cos 3« 4- • • •, 246 Vierter Abschnitt. Erstes Kapitel. oder, wenn man noch annimml, dass ‘K— 1 - % l , 2£_ 2 — 2 f a , etc. : U —* = ... + -j 2 C _ 2 cos (— 2 m) + 2 cos (— u) + 2 ^0 + 2 C0S 11 + 2 2 t, cos 2 m + also mit Anwendung des Summenzeicliens Z: U~ s — 2T2f; cos iu, worin für i nach und nach alle positiven und negativen ganzen Zahlen, Null nicht ausgeschlossen, zu setzen sind. §. 155. Um in dem Folgenden mit Leichtigkeit operiren zu können, wird es gut sein, einige goniometrische Formeln und dahin gehörige Sätze, welche Summen von der eben erhaltenen Form betreffen, hier einzuschalten. I. Sind A i} B h ... beliebige Functionen von i , und bezeichnen /, m, ... beliebige constanle Zahlen, /; eine con- stanle ganze Zahl, so ist, wenn für i nach und nach alle Zahlen der Reihe ... —2, — 1, 0, 1, 2, 3, ... gesetzt werden: 25-i ( - + iI>i ?ll ... -= 2jAj /,■ -j- jBi 4 j -j. m ... Denn jeder der beiden Ausdrücke stellt eine nach beiden Seiten unendlich forlgesetzte Reihe vor, von welcher A l B m ... ein Glied ist, und wo jedes folgende Glied aus dem vorhergehenden dadurch erhalten wird, dass man die Indices von A, B, ... um 1 vergrössert. II. Ist eine ungerade Function von i, wie z. B. ai + bi 3 , so ist F_ { — — F t , und daher Z'F) = 0, mithin auch z. B. EFi cos in — 0, weil cos in eine gerade Function von i ist. Von jetzt an sollen unter A;, Bi, c { , ... ohne weiteren Zusatz nur gerade Functionen von i verstanden werden, so dass A_i — Ai, B_i=rBi, etc. Alsdann sind z. B. iAj und A t sin in ungerade Functionen von i, und daher 2 ,’Ll; = 0 und 2,'Aj sin in — 0 . Von Excenlrioitäten u. Neigung uiiiibh. St örungen. 2 ; l7 III. Man hat cos (iu + v) — cos iu cos v — sin iu sin v, mithin auch ZA ( cos (iu + v) = cos vEAi cos iu — sin 0 ZA 1 sin iu und Ui Ai cos (tu -f- v) — cos vZiA { cos iu — sin vZiA t sin iu. Es ist aber nach II... .2.4 { sin iu 0 und ZiA- x cos iu -- 0, folglich (a) cos vZA { cos iu ZA t cos (iu -f- »), (/)') sin vZiAi sin iu = — ZiA t cos (iu + v). Auf gleiche Weise findet sich durch Entwickelung von sin (iu + »): (c) sin vZA { cos iu = ZA X sin (iu + v ), (d) cos vZiAi sin iu = ZiA { sin (iu + v). IV. Ist u eine veränderliche, und A t für einen bestimmten Werth von i eine constante Grösse, und findet sich ZA X cos iu = 0, so hat man daraus zu schliessen: A 0 = 0, A l — 0, A 2 -= 0, A 3 — 0, etc. Aus ZiA, sin iu 0 aber folgt A v =0, A 2 = 0, etc., nicht auch A () — 0. Unter denselben Voraussetzungen, und wenn k eine constante Zahl bedeutet, hat man aus ZA k + { cos iu — 0 zu folgern: A k - 0, A 1; J[ _ t + A /; _ j = 0, A k + 2 J rA ,._2 0, u. s. w. und überhaupt A k + { + A k _ { 0, oder was dasselbe ist: Ai + k + A i _ . j — 0. Denn die durch ZA k + ; cos iu ausgedrückte Reihe ist: A k -{-(A k A k j) cos u + (Aj t 2 4 A k 2 ) cos2«-f-... Dasselbe folgt aucli aus ZiA k + f sin iu ^ 0, ausgenommen, dass nicht nothwendig auch A k = 0 ist. Aus ZA k + i sin iu sowohl, als aus ZiA k + ( cos iu =0, folgt ... A k + i — A k __ i = 0, für jeden Werth, von i. Aus ZA: cos iu = ZB ( , . cos iu folgt: 2 Ai = B i + l + Bi_i-, aus ZiA x sin iu Zßi + t sin iu folgt: 2U i = Bi + l — Bi _ u. s. w. 248 Vierter Abschnitt. Erstes K §• 15C. Wir wollen jetzt za der in §. 154. entwickelten Formel (1) U~ s =• 4 2/2f; cos iu , wo (2) U = a 1 — 2 ad cos u + a ' 2 ist, zurückkehren und das Gesetz zu bestimmen suchen, nach welchem die Coefficienlen 21 derselben von einander ab- hängen. Zu dem Ende werde, wenn s in s -f- 1 übergeht, 23; statt 2t; gesetzt, so dass (3) II— s — 1 4 2/23; cos iu. Es folgt hieraus 1, 272t,- cos iu r= 4 1/2:23; cos iu = -j(« 2 + «' 2 — 2 ad cos w) 2/23; cos iu. Nun ist cos w2/S8; cos iu = 2/23; cos («' + 1) w nach III. «. des vorigen §., == 2/23; _ j cos *w nach I., und daher 4 2/21; cos iw = 4 2/ [(« 2 + al 2 ) 23; — 2«a'23; _ j] cos iw; folglich nach IV. (4) 2t; = (« 2 + W 2 ) SB; - ««' (SB; _ t + SB; + j). Man hat ferner durch Differentiation (5) d . U-*= —sclU. U-*~ i, und wenn man (1) und (2) nach u differenliirt: ? + '5=- 2 ^-i- 2 ^» und das anderemal in Verbindung mit (4): s%i + n -^=-s (a' 2 -a 2 )t\, und wenn man in letzterer Formel für 23; seinen Werth aus (13) setzt: (IG) « (d 1 - ff 2 ) ~ = 2 (i 4- s- -1) ff ff 2t;_ j - {(i - 2s) a 2 +id 2 ) 2t;. 230 Vierter Abschnitt. Erstes Kapitel. e. Auf gleiche Art, wie (14), findet sich, wenn man (1) und (2) nach d differentiirt: < 17 ) 2 - - o 8 «- -1 + +o- Aus (14) und (17) aber folgt mit Berücksichtigung von (4): (18) «f +«'S = -2^, eine Gleichung, die auch schon aus dem bekannten Lehrsätze von homogenen Functionen fliesst, indem, zu Folge der Gleichungen (1) und (2), 21,- eine homogene Function der Grössen a und d von der Dimension — 2s ist. §. 157 . Man setze jetzt s ~ | und schreibe für diesen speeiellen Werth von s, A und B statt der vorigen 2( und 33. Die Gleichungen (7), (8), (12) und (13) des vorigen §. gehen damit über in: [1] (2 i + 1) aa%__ l + (2t— 1) «aß, + t = 2 i (a 2 + «'-) B,-, [2] (2i — 1) ad Ai _ j + (2 i -1- 1) aa Aj _j_ j = 2 i ( a 2 + a 2 ) A ; , [3] (2i + 1) [(«* + «'-) A { - 2 ö«'A; + j | == (d 2 - « 2 ) 2 B it [4] (2i — 1) 12«fl'A,- _ t — (a 2 + d 2 ) A ; ] = (a 2 — a 2 ) 2 B ( -. Ferner folgt aus §. 154. für s = 4: Beide Reihen sind convergent, also summirbar, wenn b = “ ein achter Bruch ist. Man lasse daher bei Summirung n dieser Reihen a die mittlere Entfernung des der Sonne nähern, d die des entferntem der zwei Planeten m und id bedeuten. Hat man somit die Werlhe von A () und A x berechnet, so finden sich die von A 2 , A 3 , ... ohne Schwierigkeit durch [2]. Denn setzt man darin i — ; 1 , 2, ..., so kommt A, — [2 (ö 2 4- d 2 ) A, — aa A 0 ] : 3 ad, A 3 = [4 (a 2 + d 2 ) A 2 — 3aa'AJ : 5 ad, u. s. w. Von Excentricitäten u. Neigung unabli. Störungen. 251 Hiermil kann man weiter durch Anwendung der Formel [3] oder [4] die Coefficienten B berechnen, und man hat nach diesem Allen: 1 i - = U~ 2 - : \ ZA; cos tu — i A 0 +A i cos u + A 2 cos 2 u-\-... i ^ -SB, cos iu — i B 0 -f- B x cos u + B 2 cos 2u ... Dass auch die Reihe A 0 , A,, A,, ... convergirt, erhellet leicht aus der in §. 154. für U ~•' gegebenen Entwickelung. Langsamer, als diese, convergirt die Reihe B 0 , B x , B 2 , ..., und jede der beiden Reihen desto langsamer, je weniger der Bruch b von der Einheit überlroffen wird. Man findet diese Reihen bereits berechnet in Laplace Mec. cel., Tome III. pag. 6G — 85. Hiernach sind z. B. für Venus und Erde, als für welche zwei Planeten der Bruch b , = 0,723, der Einheit am nächsten kommt, die mit der mittlern Entfernung der Erde von der Sonne mulliplicirten Werthe von A 0 , A 1 , A 2 ,... -- 2,386; 0,942; 0,528; 0,323; 0,207; 0,136; 0,090; 0,061; 0,042; etc. Dagegen sind für Merkur und Saturn, wo 6 = 0,041 ist, die in die Entfernung Saturns multiplicirten Werthe von A 0 , A x , A 2 = 2,001; 0,041; 0,001. Zusatz. In dem Folgenden haben wir noch die Werthe der Diiferentialquotienten und ^ zu wissen nöthig. Unter der Voraussetzung, dass die Werthe von A ; und B ; gefunden worden, ergeben sich die zwei erstem, wenn man in (14), (15) oder (16), und in (18) des vorigen §. s = ^ setzt, nämlich [5] = — «Bi + •' «' (Bj _ i + B; + t), [C] + r -, «Ai . ' «Ai , Ferner kommt, wenn man in (16) s = f und damit 21 = B setzt: [8] — a 2 )'•£ = (2*+ l)««'ßi_i~[(*—3)« 2 + ?«' 2 lB i . 252 Vierter Abschnitt. Erstes Kapitel. 3 §. 158. Wir nehmen jetzt den in §. 153. verlassenen Faden unserer Untersuchung, die von den Excentricitäten unabhängigen Störungen betreffend, wieder auf und substituiren, um zunächst die Störungen des Radius Vector und der Länge zu erhalten, in den dortigen Ausdrücken für P und Q die im vorigen §. für q~ z gefundene Reihe. Dies giebt: V = 1 (a cos u — a) AB ; cos iu — a'~ 2 cos u — A A (fl'Bj _ i — flBj ) cos iu — 2 cos u, Q — — \a sin «-SB* cos iu + fl'“ 2 sin u — — iUa'Bi _ i sin iu + fl'“ 2 sin u, (vergleiche §. 156.) und mit Anwendung der Formel [6]: r» . x-t /iAi , d\i\ . 1 P = l Z (--r- ) COS Ul -cos w« 1 \ a da J n ~ 1 Q = — ^ sin iu + ~r z sin m; oder, weil A/A ; cos iu , AB; sin iu und A'-^ sin iu null sind (§. 155. II.): P -■= i A— cos iu — -4; cos u , -da «- ’ Q — — 4 A — sin iu -f- -4 sin u, d. i. 1 = + (-ÄT-rf cosw + 777T cos + Q = — — -4) sin u — — sin 2 m — — sin 3 m + ... x \ a a V a a Man setze daher, um diese Ausdrücke noch etwas mehr zu vereinfachen: A 0 = A 0 , A x — ^2 = A t , A 2 — A 2 , A 3 — A 3 , etc. also auch _ (Mf) £Ai_1_ _ dA± dAz^fUi d« c/fl 5 da fl da 1 da da ’ Denn hiermit wird = 4 2. cos tu , (> = — 4 2* — sin m , 2;)^ Vierter Abschnitt. Erstes Kapitel. und man hat zuletzt (§. 152.): 1,=— - 2 + lma-Z— cos tu, }\ ----- — 4 m'aZiAi sin iu, oder, wenn von jetzt an für i bloss alle positiven ganzen Zahlen 1, 2, 3, ... genommen werden: t/l | . / <1 (t.t.I . / n t. tli 4 1 . I, =-r, 4- Im a 2 -4! 4- «t « 3 21 -r- cos jm, 1 r- •* ila da ’ 1) == — m'aZiA i sin i«. Aus diesen Ausdrücken für die Kräfte, welche auf den Planeten m in der Ebene seiner Bahn wirken, lassen sich aber seine Coordinaten r und l unmittelbar durch die bereits in §. 112. entwickelten allgemeinen Formeln ableiten, nach denen bei einer sehr nahe kreis- und gleichförmigen durch die Kräfte T y r = — !L + 4 w + wZF { cos Aj und T* — wZG} sin A ; .*. erzeugten Bewegung die Coordinaten r - = 1 — -f- toZfi cos A ; und l — A -}- ioZg i sin A ; sind, wo fi = k.Fi _ 2 G, ki (kA - 1) und (Ji = 2 hFi - (3 + m Gl ;o , kA {kA - i) Denn vergleichen wir die letztem Ausdrücke von und ]\ mit den vorhergehenden, so sind die in den letztem vorkommenden ID m'a 2 Mo da } IV Fy t ^ (IAi ma ~ lüh ivGy — — m'aiAi , A= iw. Heisst ferner n' die mittlere Bewegung von m und wird n — n -- kn gesetzt, so ist von A — A' oder u die Geschwindigkeit = n — n — kn, also die von iu, — ihn, und folglich, weil in §. 112. von die Geschwindigkeit = k#i gesetzt wurde, das dortige = ik. Endlich werde statt der dortigen wf und wg t hier rriC, und mF { geschrieben. Nach Substitution dieser Werlhe von ic, ioF i , wGi, A ; , k;, id fi und W(ji in den dortigen Ausdrücken für r und l, ■■ Von den Kxccntricitäten abhängige Störungen. 253 erhält man als endliches Resultat für die von der Excentri- cität unabhängigen Störungen des Radius Yector und der Länge: ist; oder, wenn für i wieder sowohl alle negativen, als positiven ganzen Zahlen genommen werden: - = 1 + 4 m'ZC i cos iu und l = l + i uiEF i sin iu, mit der Erinnerung, dass C () nicht aus dem allgemeinen Aus- Des Folgenden willen werde nocli bemerkt, dass die Formel in §. 112. —2Äf/i — Vfl'i = G.-, in die jetzigen Zeichen übersetzt, die Relation Zweites Kapitel. Entwickelung der von den Excentricitäten und der Neigung abhängigen Störungen. Die Entwickelung der Störungen, welche tri auf tn ausübt, fängt nach der in §. 153. gemachten Bemerkung damit an, dass in den Formeln, welche in §. 152. für die Kräfte Tn Fi, lF t aufgeslellt wurden, die Grössen P, Q, li, welche Functionen der Coordinaten von in und tri sind, durch die elliptischen Werthe dieser Coordinaten ausgedrückt werden. Statt dieser elliptischen Werthe wurden im vorigen Kapitel r - == 1 — | tria 2 ~ + lriZJCi cos iu l -----1 + m'UFi sin iu , wo 2a Ai + ‘ an h t ßk 2 — 1J {Plc 2 + 3) aAi + 27;o und F: UP (Pk dA drucke für C; zu bestimmen, sondern = — in 2 — ist. 2 kCf + iPFj = aAi giebt. §. 159. . 2v»(» Vierter Abschnitt. Zweites Kapitel. die minieren Werlhe a, X, d, X der Coordinaten r, l , r', l’ angewendet und damit gefunden, worin /l,- eine Function von a, d und der Stellen— zahl i, und u ~ X — X ist. Bezeichnet man nun die Grössen P und Q f wenn sie Functionen der elliptischen Coordinaten sind, durch (P) und (Q) und gebraucht P und Q selbst in der ihnen durch die Gleichungen (1) angewiesenen Bedeutung, so ist zuerst klar, dass (P) und (Q) in P und Q übergehen, wenn man in erstem statt der elliptischen Coordinaten ihre miltlern Werlhe setzt. Da aber die Coordinaten r, l, r', l' von einander unabhängig sind, so wird man auch umgekehrt die jetzt zu wissen nöthigen (P) und (Q) aus P und Q erhallen., wenn man in letztem die mittlern Werlhe der Coordinaten in ihre elliptischen verwandelt. Die deshalb nölhige Rechnung lässt sich folgendergestalt am einfachsten ausführen. Heissen e und e' die Excentricitälen und da , äP y dx dmia e'Ei cos («m -f d). Setzt man daher zur Abkürzung ( 2 ) 1(2 i + 1) Ai - a 2iAj — d ’^A * da dAi da ^ M { und _ i, woraus ( 2 *) „. dA: d-Ai dMi , 2 1 - a ~r n = und da da - da (IN-, _ i i— 2i ~ — «' -ff. da dada folgt, so wird (F) --■= kE cos iu + e + e' da COS (iu + ß) cos (iu -f- ß')l. Auf ähnliche Weise wird man mit Hülfe der partiellen Differenzen von Q: - = lEi (^- sin tu, u. s. w, erhalten: (0) = — ^ { A { sin iu + eMi sin (iu + ß) + e 'Nj __ j sin (iu + «')}• Moehius, jHech. d. Hiiiiin. 17 338 Vierter Abschnitt. Zweites Kapitel. Des Folgenden willen setze man noch u -j- a = (A — A') + (A' — co') = A —«' = ß. Das Glied 4 Ze dN ‘ t ~ 1 cos ( iu + a) in (P) wird dadurch = -4 Ze' cos ((* — 1) u + ß) = J Ed ~ cos (iu + ß ), und eben so das entsprechende Glied in (Q), = — ^ Z (i + 1) eN { sin (iu -f ß). Man erhält somit zuletzt: (3) ...7; = — ^ + m'aHP) = — ^ + { ma°-Z cos iu -f e ~ cos (iu + a) + e'^ cos(w4-ß)j, (4) .. V l — ma-(Q) — — 4 maZ j iA { sin iu + ei3'l i sin (iu + «) + e (i + 1) ^ sin (iu + ß) }. §. IGO. Den jetzt gefundenen Werlhen von 7) und V t gemäss können wir die gestörten elliptischen Werthe des Radius Vector und der Länge von m setzen (vergl. §. 158. und §. 118.): r ^ a (1 + z), wo z = — e cos a + m'Z | 4 cos iu -f eD; cos (iu + «) + e’Ei cos (iu + ß) J, l = A + 2e sin a + m'Z 1 4 1\ sin iu + eGi sin (iu + a) 4- e'Hi sin (iu + /3)|, wo C j5 D { , E,, F { , G t , Hi zu bestimmende Functionen von a, ci und der Slellenzahl i sind. — Zunächst folgt hieraus z 1 = — m e cos aZC { cos iu = — rn'eZCi cos (iu + «), Von (len Excentriciläten abhängige Störungen. 259 also ^5 = 1 — 2z -f- 3z 2 = 1 + 2e cos « — m’E | C- cos iu + e (3 ^ + 2D,) cos (iu + a) + 2 e'E^ cos (iu + |3j|, und damit (3*).. T t = — 1 — 2e cos « + m'Z |(y ^ 4- cos iu + e -JJ-* + 3 ^ + 2 D,) cos (iu + a) + 6 ' (y yr + 2 E i) cos ( iu + £)}■ Sodann kommt durch Differentiation von r und l, wenn wir die Geschwindigkeiten j t , wie früher, mit r, l', r", l" bezeichnen und, wie in §. 158., n — n' — kn und überdiess ik 4-1 = g setzen, wodurch ^ — ihn und, da wegen - dß dt d (tu + a) d (iu -J- ß) . * wird: ^ — e sin a — m!Z j 4 ikC^ sin iu + egDi sin (iu + «) + eg sin (iu + ß)j, l ~ = 1 + 2e cos a + m'Z j ^ ikF i cos iu + egG { cos (iu + a) 4 - egIii cos (m + /3)j, ^ = 1 + 4e cos « + m Z | ikFi cos iu+2e(ikF i 4 - gG { ) cos (iu-\-a) 4- 2 e'gHi cos (tu + ß)\, ^ = — 2e sin a — m’Z j ^ i-k-Fi sin iu + eg^G { sm (iu + a) + eg 7 H, sin (iu +13 ) j; und wenn wir von jetzt an bloss diejenigen Glieder hinschreiben, welche m'e oder m'e' zum Factor erhalten: — — mZ | eg-Di cos (iu + a) + e'g 2 E i cos (iu -j- ß)j ; 17* 260 Vierter Abschnitt. Zweites Kapitel. nie 12 (2Cj + ikF { 4- 2gG { ) cos (in + n) + me 22 (E { + 2g Hß) cos (iu 4- ß ), ^ = — nie! (C\- — \ i-h 2 F i 4- ( fGi) sin (iu 4- «) — me!g 2 Hi sin (iu 4- ß ), ^ — — me! (ikCi + (/Di — 4 ikF]) sin (iu 4- «) — nie' !gE { sin (iu + ß). Die Kräfte, wie sie aus den für r und l angenommenen Formen folgen, sind hiernach T, = =£££ = - meZ(2Ci + (g 2 + 1) D { 4- ikF { 4- 2g G t ) cos (iu + a ) — m'e'!((g 2 + 1) £) 4- 2glli) cos (iw 4- ß), F i = 2 ^T-— m '^((2ik+DC^gDi-ik (4 ik+ 1) F t + g i G i ) sin (iu 4-«) — me 22 (2 gEi + g 2 IIi) sin (iu 4- ß). Zu diesen Werthen von T L und V l kommen noch die von den Excentricitäten unabhängigen Glieder, welche iu zu Argumenten haben, und ausserdem noch zu T t die Glieder — 1 — 2e cos « (vergl. §. 119.). §. 161. Vergleichen wir nun die so vervollständigt zu denkenden Werthe von 1\ und V 1 mit denen in (3*) und (4), so werden sich erstens aus den von e und e unabhängigen Gliedern die zur Bestimmung von C { und F • nöthigen Gleichungen finden, wobei wir uns aber nicht aufhalten, da diese Coefficienten bereits in §. 158. entwickelt worden sind. Zur Bestimmung der Coefficienten DE h G t , H h welche die in e und e' mul- tiplicirten Glieder von r und l enthalten, ergeben sich folgende vier Gleichungen: [1] 4 S' = - 5C i - (9* + 3 4 ) D i - ikF i - Wi , [2] 4 iaMi = (2 ik + 1) (\ + 2gD i — ik (4 ik 4- 1) k) + g 2 G { , [3 ] . a 2 = - (g 2 + 3) E { - 2gH u [4] 4 (i + 1) aNi =r 2g Ei + g 2 H t . Von den Excentricitäten abhängige Störungen. 2til Um hieraus zuerst die mit e inultipiicirten Coeflicienten Di und G t zu finden, setze mau in [1] und [2] die als bekannt anzusehenden Grössen ( «) (Ua.l/i — (2 ik + 1) C { + ik Q ik -f 1) /',• = L, und es werden jene Gleichungen LI*] K = — (f + 3) Di - 2,jG t , [2*] L ■== 2 (jDi + g*G it wo y = ik + 1. Es ist aber, wenn mau in den Gleichungen (2) und (2*) in §. 159. statt a seinen aus der Gleichung für C ; in §. 158. fliesseudeu Werth l) tk * 2 ; (i 2 k 2 1 A i setzt: Ui dMi 2 (ik+l) + k A , i 2 k 2 — 1 ,, 1 - U ,1 v i > _ 4i_ , da ka 2 2 i (t 2 k 2 — i) r „ d 2 A> a 2 - L i a d „> • Ferner ist nach §. 158. zu Ende: ikrFi = aAi — 24 C ; . Hiermit werden die Gleichungen ( a ): K - - 2 üf- 1 aAi - (PIA-i-3)Ci-la*%£, ih + t aAi + -j- (i-k — i 6) C it und man hat alsdann zu Folge der Gleichungen [1*] und [2*]: I. [(iÄ + l)*—1] Di = -K— 2^ = — t A i + (lVi ^ -1) + 3 ) ^ + L a 3 , II. (»Ä+ 1) Gi = l -±l aAi + 4 (i {ik - 1) - 6) Ci - Wi- wodurch Di und G t bestimmt sind. Was noch die Bestimmung der Coeflicienten und //* anlangt, so folgt aus den Gleichungen [3] und [4]: 262 Vierter Abschnitt. Zweites Kapitel. m + l) 2 - 1] E t = - uN, ik 4- 1 + H () ) cos ß + 2gy cos A — 2/1 sin A, Vy = — me (C„ + 2 D f) + £r„) sin a — m'e (2 H fl ) sin ß -f 2gy sin A + 2/1 cos A. 2(58 Vierter Abschnitt. Drittes Kapitel. Die damit zu vergleichenden Wertlie von 1\ und F,, (3*) in §. 160. und (4) in §. 159., reduciren sich ähnlicher Weise auf T t = trie (j + 3C,,+2D 0 ) cos a + m'e' + 27? 0 ) cos ß F t = — ^ m'e'aN () sin ß. Die Gleichsetzung dieser doppelten Ausdrücke für 2\ und Vj, — denn alle übrigen hier weggelassenen Glieder sind bereits ausgeglichen worden, — giebt, wenn man zur Abkürzung I I + 5C « + + 2C„ - 1>, i S + 42? o + 2fi;, - E, Co + 2 D t) + G 0 = G, - ^aJ\ + 2 E t) + H u : u setzt und für a und ß ihre Werthe A — to und A — ta' schreibt: m'eD cos (A— tD) + ?«'e'J?cos (A — a) = 2 g L cos A — 2/i sin A, m'eG sin (A— co) + trie'II sin (A— ca) - - 2 g l sin A -|- 2/^ cosA. Jede dieser beiden Gleichungen kann auf die Form .4 cos A = 1? sin A gebracht werden, worin A und B Functionen der Elemente der Bahnen von m und tri sind. Da hiernach A und B , wenigstens während Eines Umlaufs von m, also während A von 0 bis 360° wächst, als constant angesehen werden können, so muss die Gleichung A cos A ==J?sinA unabhängig von A bestehen, und es müssen daher A und B einzeln null sein. Jede der beiden Gleichungen zerfällt daher in zwei, die man erhält, wenn man A das einemal = 0, das anderemal =— 90" sein lässt. Somit ergeben sich, wenn man noch f und g statt e cos a und e sin ca, und eben so (1*) e cos m = f ' und e sin «' -- g setzt, die vier Gleichungen: (3) .... triDf + m'Ef'= 2 g t , tri Dg -f tri Eg — — 2f \, (4) .... m'Gf -f m'Hf = 2g l , triGg -f- tri Hg = — 2 f L . 269 Secularstörungen. Es folgt hieraus zunächst: (1) —G)f+ (E — II) f= 0, (D — G)g+ (E— H)g = 0, mithin (D - G) (fg - f'g) - 0. Weil aber fg — f'g, -- ee sin (a — co), wenigstens im Allgemeinen, nicht null ist, so ist I) •-» G , folglich auch E — H, und wenn wir hierin für 1), .. II aus (2) ihre Werthe sub- stituiren: ( 5 ) ,2/},,+ G n = - \a* ^'-4C,„ |2K„ 4- = Somit hat uns die Annahme der Veränderlichkeit von /' und g zu den vier Gleichungen (3) und (5) geführt, in deren zwei erstem D und E die aus (2) in Verbindung mit (ft) messenden Werthe ( 0 ) D — E = I a % W, __ aNt> habeni §. 165. Die zuletzt gefundenen Werthe von D und E lassen sich auf sehr einfache Formen reduciren. — Aus (2*) in §. 159. folgt -~°- = — a und nach §. 158. zu Ende ist .... ° da da- C 0 = — 4 a 2 i£°. Da nun A,, = A 0 (§. 158.), so wird D = | ß 3 + a i <1 Ab 2 (in 1 da 7 und wenn man darin für die Differentialquotienten von A 0 aus §. 157. ihre Werthe setzt: D = | a-a Bj. .1 j Ferner ist nach §. 161. .. N 0 = — A t + a-^, und weil A { = A, — ist: JV„ = — A* + a ^ 270 Vierter Abschnitt. Drittes Kapitel. wenn man in [6] des §. 157. i = — dN J> = a ^ =2«B da 1 setzl; folglich — a! B, nach [11] ebendaselbst.. Hiermit aber wird E = — 4 « 2 «B 2 . Nun haben wir im vorigen §. die Veränderlichkeit von f und g , als lediglich von der Veränderlichkeit der Länge des Perihels herrührend, angenommen. Bei dieser Voraussetzung folgt aus (1) durch Differentiation : f ± ndt = •— e sin codco = — gdeo , gjidt — e cos codco fda , folglich ff L 4- gg t — 0. Nach (3) ist aber diese Summe --- 4 m'E(gf' — fg), also nicht = 0, weil B,, und daher auch E, nicht = 0 ist. Mithin sind wir genöthigt, ausser co auch noch die Excentricität e veränderlich zu setzen. Unter dieser Hypothese erhalten wir fandt = cos co . de — sin co . edco, g x ndt = sin co . de + cos co . edco. Hiermit werden die Gleichungen (3), nachdem in ihnen für f, .. g' ihre Werthe aus (1) und (1*) substituirt worden: sin co . de + cos co . edco = \m'ndt (De cos co -(- Ee' cos co'), — cos co . de + sin co . edco — ] m'ndt (De sin co + Ee sin co'); folglich de — 4 m'ndt. Ee sin (co — co'), edco = 4 m'ndt (De + Ee' cos (co — co')], wodurch, wenn man noch für D und E ihre so eben erhaltenen Werthe setzt, die Geschwindigkeiten und mit denen sich e und co ändern, gefunden sind. §. 106. Zur Bestimmung der vier Coeflicienten D () , E 0 , G n , H fj in den Störungsgliedern von r und l., deren Argumente a und ß oder A — co und A — co sind, sind uns nur die Gleichungen (5) übrig, die nach Substitution der im vorigen Seculiirstörungen. 271 §. für C„, N () und bemerkten Werthe sich verwandeln in Dass somit die vier Coefficienten sich nicht einzeln, sondern nur die zwei Aggregate 2 D, + G, und 2E„ + II, sich bestimmen lassen, und dass daher einer der beiden Coefficienten D, und G,, so wie einer der beiden E, und H, , nach Willkühr genommen werden kann, liegt ähnlicherweise, wie dies beim Monde in §. 125. gezeigt worden, in der Natur der Sache. Es ist nämlich, wenn man in den für r und l in §. 160. angenommenen Formen bloss die Glieder berücksichtigt, welche A — co und A — co' zu Argumenten haben: (r\a-=\ — (e — m'el) t] ) cos (A — co) -+• m'e'E, cos (A — co'), ^ a ' ( /=A + (2e + m'eG,) sin (A — co) + me’II, sin (A — co'). Setzt man nun ... i(2e + m'eG,) cos co + m'e'H, cos co' --= 2e, cos co /t ' ' \(2e + m’eG,) sin co -f- m'e'H, sin c o' — 2e, sin co,, wo e , und co,, eben so wie e„ und co„, von e und co nur um Grössen von der Ordnung me oder me' verschieden sein werden, so wird Zu den rein elliptischen Werlhen von r und l Glieder mit den Argumenten A — co und A — co' hinzufügen, kommt daher darauf hinaus, die zwei Elemente e, und co,, oder e cos co, und e, sinco,, mit denen man die Länge berechnet hat, um etwas geändert bei der Berechnung des Radius Yec- tor anzunehmen. Die Theorie der Gravitation kann mithin nur diese beiden Aenderungen zu bestimmen lehren, und wir haben folglich, indem wir die vier durch die Theorie (5*) ,2 D u + G ( !2E„ + II, (e — meD „) '<> sin <>-' sin " sin (d) { l = X + 2e, sin (A — co,), r : a — 1 — e„ cos (A — co„). 272 Vierter Abschnitt. Drittes Kapitel. zu ermittelnden Constanten D u , .. H () einführten, zwei zu viel angenommen. Die Aenderungen selbst ergeben sich aus (b) und (c): «0 •• sin 8 •.- •, Ta *---«t* (!>» + 4 G„) ^ » -m'(f(E„ + UQ™ a,’, w r orin, wegen der Vernachlässigung des Quadrats von m, statt e und a auch e t und cj / oder e it und gesetzt werden können. In Uebereinstimmung mit (5*), geht hieraus hervor, dass 2 D lt -f G (> und 2E„ + H„ die allein durch die Theorie bestimmbaren Constanten sind. Für den astronomischen Zweck ist cs am bequemsten, e und oj als Elemente der Dahn anzunehmen und daher bei / / der Länge die Störungsglieder, deren Argumente k -— » und k — a sind, wegzulassen. Für den Radius Vector ist alsdann, wenn man e n cos to /x und e u smc3 ti mittelst (e) aus (i d j eliminirl: r : a = 1 — [e, — m'e / (D„ + | (?,,)] cos (A — coj + me ( K () + 4 //„) cos (X — a), ein Resultat, zu dem man auch unmittelbar gelangt, wenn man bei der Unbestimmtheit zwischen D t) , .. H u die Coeffi- cienten G u und H () in (5*) und ( a ) geradezu null setzt. §. 167. Eben so, wie beim Radius Vector und der Länge, wurde im vorigen Kapitel auch bei Entwickelung der Störungen der Breite der Coeffieient des Gliedes, für welches * = 0, und dessen Argument daher k — Q' war, unendlich gross gefunden. Zur Beseitigung dieses der Natur der Sache widersprechenden Ergebnisses, wollen wir, wie in dem ganz ähnlichen Falle beim Monde, annehmen, dass die mittlere Bahnebene des Planeten m nicht fest sei, sondern dass bei unveränderter Neigung derselben gegen die Bahn von m r ihre Knoten mit dieser Bahn sich gleichförmig an letzterer fortbewegen. Indem wir alsdann die Breite auf die Lage, welche die mittlere Bahn von m in der Epoche hat, beziehen, haben w'ir nach §. 138. zu dem für die Breite in §. 162. ange- 273 S ecularstörungen. nommenen Ausdrucke noch ein Glied von der Form m'dlnt cos (X — fr) hinzuzufügen, worin m'Iln die constanle Geschwindigkeit der Knoten ausdrückt. Mit Weglassung der Störungsglieder, in denen i nicht null ist, setzen wir demnach: b — miHnt cos (X — fr) + miK {) sin (X — 'S-). Hieraus folgen für die Kraft U 1 die zwei Ausdrücke: U t = — b 4- i mia l dP> l sin (1 — fr) (§. 1G2.) = — m'dlnt cos (X —fr) + m'i (.) a 2 «B J — /f 0 ) sin (X —fr), U L = — m'dlnt cos (X —fr) — m'i ( 211 +/iT 0 ) sin (X— fr). Damit nun dieselben identisch werden, haben wir nur // =— \ard B x zu setzen, woraus die Geschwindigkeit der Knotenbewegung nilin = — | mna?d\\^ folgt. Da, wie aus den in §. 154. entwickelten Reihen hervorgeht, B i für jedes Planetenpaar eine positive Grösse ist, so ist die Bewegung selbst rückgängig. — Die Constanle üfj, bleibt — aus demselben Grunde wie h 1 in §. 138. — unbestimmt und kann = 0 gesetzt werden. §. 168. Obschon die Bahn von m ihre Neigung gegen die Bahn von m nicht ändert, so wird doch wegen des Riickwärls- geliens der Knoten der erstem Bahn auf der letztem die Neigung der erstem gegen irgend eine andere feste Ebene veränderlich sein. Um dieses näher zu untersuchen, seien auf der Oberfläche der Himmelskugel P und P' (Fig. 43.) die Nordpole der Bahnen von m und m\ also der Bogen PP' = l (vergl. §. 142.). Der Nordpol der festen Ebene oder des grössten Kreises, in welchem die Kugellläche von dieser Ebene geschnitten wird, sei £; er werde den Polen P und P' so nahe liegend angenommen, dass seine Abstände von ihnen mit PP' von gleicher Ordnung sind, und dass daher das sphärische Dreieck EPP' als ein ebenes betrachtet werden kann. Sei 0 der Punkt, von welchem an in dem festen Kreise die Längen gerechnet werden, O l der Anfangs- Moeliius, AIccli. d. llimm. 274 Vierter Abschnitt. Drittes Kapitel. punkt der in der Balm von m gezählten Längen und K der eine der beiden Knoten dieser Bahn auf dem festen Kreise. Nach der in §. 47. gemachten Bestimmung ist OJ{= OK zu nehmen; wegen der Kleinheit des Winkels OKO L , = EP, und weil EOK -= 90", wird 0 L einerlei mit dem Durchschnitte von EO mit der Bahn von m sein. Werden nun in Bezug auf die feste Ebene die Neigungen der Bahnen von m und m, = J und J', und die Längen ihrer aufsteigenden Knoten = © und ©' gesetzt, so ist EP ^ J, EP' = J' und (§. 142.) OEP= 270" + © — © — 90", OEP' — ©' — 90", so wie O^PP'—id — 90". Bezieht man daher P und P' auf ein in der Ebene EPP' gelegenes rechtwinkliges Coordinalensyslem, dessen Anfangspunkt E ist, und dessen Abscissenaxe die Richtung EO hat, und nennt p, q und p\ q ihre Coordinaten, so ist p = J cos (© — 90"), q — J sin (© — 90"), d. i. / x fp J sin ©, q = — J cos ©, und eben so ^ \p' = J' sin ©', q = — J' cos ©'. Da ferner POj als parallel mit EO betrachtet werden kann, so sind die Projeclionen von PP' auf die beiden Axen p — p = t cos (fr — 90") , q' — q = t sin (fr — 90"), d. i. (b) p' — p — l sin fr, q — q = — t cos fr. Die Frage ist nun nach den Aenderungen von J und © oder p und q, als den Elementen, wodurch die Lage der Bahn von m gegen die feste Ebene bestimmt wird, wenn, hei constant bleibender Neigung t der Bahn von m gegen die von m', erslere an letzterer um d& fortrückt. Es kommt aber, wenn man die Gleichungen ( b) nach p, q und fr diflerentiirt: (c) dp — — t cos frrffr = {q — q) dfr, dq — — (p’ — p) d&, und wenn man hierin für p, q und p', q und die Differentiale von p, q ihre aus ( a ) fliessenden Werlhe substituirt: dJ. sin 0 + Jd® . cos © = (J cos © — J' cos ©') rffr, — ,dJ. cos © -f Jd® . sin © = (J sin © — J' sin ©') rffr. Secularstörungen. 27a Hieraus erhält man dJ = — J'dxf . sin (© — ©'), Jd& = Jd& — J'd& . cos (© — ©'), und damit die Geschwindigkeiten ^und^, mit denen sich ° dt dt 7 J und © ändern, wenn man diese Gleichungen noch mit dt d 9 . dividirt und für — seinen in §. 167. gefundenen Werth, — \ mna 1 a ^ l , setzt. §. 169. Die in §. 165. und im vorigen §. erhaltenen Aenderungen, welche die Elemente e, a, J und © durch tri erleiden, nennt man wegen der Langsamkeit, mit der sie vor sich gehen, Secularstörungen. Ihr charakteristisches Merkmal besteht darin, dass sie bloss von den Elementen der Bahnen von m und m' abhängen, nicht aber von den Oertern dieser Planeten in ihren Bahnen, wie dies bei den in den zwei vorigen Kapiteln entwickelten Störungen der Fall war, als welche so oft zu denselben Werthen zurückkehren, als die beiden Planeten wieder dieselbe Stellung gegen einander, oder auch gegen ihre Perihelien und Knoten, einnehmen, und die deshalb periodische Störungen genannt werden (§. 109.). Während diese letzteren nur von kurzer Dauer und vorübergehender Wirkung sind, werden durch die secularen Störungen die Elemente selbst und damit die Gestalt der Bahnen und ihre Lage im Raume allmählig geändert. Allerdings sind, streng genommen, auch die Secularstörungen von periodischer Natur; allein ihre Perioden umfassen nicht selten Zehntausende, ja Iluuderttausende von Jahren, und ihre Wirkungen können daher auf lange hinaus der Zeit proportional angesehen und nach den in §§. 165. und 168. erhaltenen Formeln berechnet werden. Was die zwei noch übrigen Elemente a und e betrifft, so sind nach denselben Schlüssen, wie bei der Mondstheorie (§§. 144. und 147.), so lange wenigstens die Quadrate und höheren Potenzen der Excenlriciläteu und der Massen unberücksichtigt bleiben, die Secularstörungen von a und a 18 * 276 Vierter Abschnitt. Drittes Kapitel. null. Indessen kann die nach §. 158. zu a zu selzende r d4 Constante \ inaC () , — — £ nia ganz oder zum Theil in eine seculare Störung des Elements b verwandelt werden. Da nämlicli l — nt + B — llj + £ -f (w — Mj) t, so ist es einerlei, ob n zur mittlern Bewegung und s con- stant, oder ob n t zur mittlern Bewegung genommen, und dem £ der der Zeit proportionale Zusatz (n — ?i L ) ( gegeben wird. Verwandelt man aber n in n i , und bedeutet a L die zu n L gehörende mittlere Entfernung, ist also a 1 3 % 2 = « 3 n 2 = K (M + m), so ist, wenn man n — n l und a — a ± als kleine Grössen von der Ordnung ni betrachtet: 3 n L ( a — a s ) + 2 a i (i n — n L ) = 0, folglich, wenn man n — % = — 3nin L g setzt: a — a L = 2 nia L g. Die durch r = a + ^ m'aC (> und l — nt + b ausgedrückte Bewegung ist daher identisch mit der durch r = a l + 2 niga L + \ nia/J () und / = %/ + £ — 3 m'gnj ausgedrücklen, wo g eine willkührliche Zahl ist, nach deren Bestimmung sich der Werth von a L richtet. Setzt man sie = — |C H , so wird r = a l und l = nj + b + wobei das letzte Glied von l als die seculare Aenderung von £ betrachtet werden kann. §. 170. Wie schon bemerkt worden, lassen sich die Geschwindigkeiten, mit denen sich die Elemente e, co, / und & ändern, als constanl, wenigstens auf lange Zeit hinaus, ansehen. Da aber in den Ausdrücken für diese Geschwindigkeiten die sich ändernden Elemente selbst und ausserdem noch die Elemente des störenden Planeten ni Vorkommen, welche letztere durch Einwirkung von m auf ni gleichfalls seculare Aenderungen erleiden, so werden auch die Geschwindigkeiten mit der Zeit andere und andere Werthe erhallen. Am leichtesten lässt Secularstörungen. 277 sich diese zusammengesetzte Wirkung hei den Elementen J und & übersehen. Sind, wie in §. 168., P und F (Fig. 44.) die Nordpole der Bahnen von m und m, so ist nach §. 167. die Neigung PP', = i, constant, und die Knoten der Bahn von m gehen auf der von m' mit der constanten Geschwindigkeit \?rina 2 a'B l , welche C heisse, rückwärts, so dass, wenn Q den Ort von P am Ende des nächstfolgenden dt vorstellt, PQ auf PP' normal und der Winkel PP'Q = Cdt ist. Bliebe demnach die Lage der Bahnebene von m', und damit P', unverändert, so würde P mit der Winkelgeschwindigkeit C rückwärts einen Kreis beschreiben, dessen Mittelpunkt F wäre. Allein wegen der Störung, welche m durch m erleidet, bewegt sich auch F um P rückwärts mit einer Winkelgeschwindigkeit C’, die aus C durch Vertauschung der Elemente von m und m' sich ergiebt und daher \mna' 3 aB i ist, weil B,, als der Coeffi- cient eines Gliedes in der nach den Cosinussen der Vielfachen von u entwickelten Function U— t (§. 157.), eben so wie U selbst, von a und d auf gleiche Weise abhängen muss. F rückt daher normal auf PF während des nächsten dt um eine Linie P'Q' fort, so dass der Winkel P’PQ' — C'dt ist. Hiernach kann man sich die beiden Pole aus ihrer ersten Lage P, F in die nachherige Q, Q' dadurch gekommen denken, dass sich die Linie PP' um ihren Durchschnitt N mit QQ r gedreht hat. Weil Q und Q’ auf entgegengesetzten Seiten von PP' liegen, so fällt N zwischen P und P', und dieses 'so, dass PN: NF — PQ : P'Q' = C : C = m'na ; mnd = m'Yd : mf a, weil, bei der Vernachlässigung der Planetenmassen gegen die Sonnenmasse, }f-a 3 — n' 3 a 3 (§. 65.) und daher na : n'd = Ta' : Ya ist; der Drehungswinkel aber ist PNQ = PP’Q + FQQ' = (C + C') dt. Dieselbe Betrachtung lässt sich nun für jedes folgende dt wiederholen, und wir gewinnen damit das merkwürdige Besultat, dass die Pole der Bahnen von m und m mit gleichen Winkelgeschwindigkeiten, — C + C, Kreise rückwärts um einen ruhenden Punkt N beschreiben, von welchem 278 Vierter Abschnitt. Drittes Kapitel. sie nach entgegengesetzten Seiten in Entfernungen abstehen , die sich wie C und C, d. i. umgekehrt wie die Producte aus den Massen in die Quadratwurzeln der grossen Axen, verhalten; oder mit andern Worten: dass sich die gemeinschaftliche Knotenlinie beider Bahnen mit der Winkelgeschwindigkeit C + C' rückwärts in einer ruhenden Ebene (deren Pol N ist) dreht , mit welcher die beiden Bahnen nach entgegengesetzten Seiten hin unveränderliche in dem Verhältnisse von C zu C' stehende Winkel machen. §. 171. Zusätze, a. Sei E, wie in §. 1G8., ein von P und P' in geringer Entfernung liegender fester Punkt der Ilimmels- kugel, auf welchen die Bewegungen von P und P r bezogen werden, und EP = J, EP' — J'. Nach einem bekannten Satze der Geometrie hat man: NP'. EP 2 + PN . EP' 2 = PP’. EN 2 + PP'. PN . NP'. Weil auf der rechten Seite dieser Gleichung, zu Folge der Kreisbewegungen von P und P' um den festen Punkt N, sich bloss constante Grössen vorfmden, so muss auch die linke Seite constant sein. Berücksichtigen wir daher noch, dass die constanten Linien NP' und PN in dem Verhältnisse C’:C, — m y~a : ?n'Y~a', sind, so ergiebt sich folgende zwischen den Neigungen 7 und 7' bestehende merkwürdige Relation: m Y~a . J 2 + m' Y~a'. J' 2 = einer beständigen Grösse. Die Neigungen 7 und 7' können hiernach nicht über gewisse Grenzen icachsen, und wenn die eine abnimmt, muss die andere zunehmen, — welches beides aber auch schon aus den Kreisbewegungen von P und P' folgt. b. Die ruhende Ebene, welche N zum Pole hat, ist die unveränderliche Ebene des Systems der drei Körper M (Sonne), m und in. Denn bedeuten F, F' und f die Flächengeschwindigkeiten der Radien Mm, Mm und mm', wenn man bei unveränderter relativer Bewegung der zwei Körper jedes Radius den einen ruhend annimmt, so wird die unveränderliche Ebene ihrer Lage nach durch Zusammensetzung der Sccului'slöi'ungeu. 27!) Flächen M . m . F, M . ni . F' und m . m . f gefunden (§. 90.), oder — weil es liier nur auf das gegenseitige Yerhältniss dieser Flächen ankommt, und die dritte gegen die zwei ersten fast verschwindet — durch Zusammensetzung der zwei Flächen m.F und m’.F'. Die Axe der unveränderlichen Ebene wird folglich gefunden, wenn man zwei auf den Flächen F und F' perpendikuläre Linien, die sich wie m . F und tri . F' verhalten, zusammensetzt (§. 87.). Nun sind P und P' ersichtlich die Pole der Flächen F und F'. Heisst daher Z das Centrum der Himmelskugel, so haben die zwei zusammenzusetzenden Linien die Richtungen ZP und ZP'. Die durch Z gelegte Axe der unveränderlichen Ebene muss folglich mit ZP und ZP' in einer Ebene liegen, und die Sinus der Winkel der Axe mit ZP und ZP', oder auch die Winkel selbst, wegen der Kleinheit von PP', müssen sich — eben so wie bei zwei zusammenzuselzenden Kräften — wie tri . F' und tn . F verhalten. Es ist aber F — £ na-, F' = i na" 2 (§. 127. b.) und daher ni F’: mF ----- triria 2 : mna - m y a': m Y a C : C' ^ PN: NP'. Mithin ist N selbst der Pol der unveränderlichen Ebene. §. 172. Das in §. 170. durch geometrische Betrachtung erhaltene Resultat lässt sich ohne Schwierigkeit auch durch Analysis finden. — Man hat für die Bewegung des Pols P oder (jp, q) die Gleichungen (c) in §. 168., oder wenn man — Cdt statt d& schreibt: (a) dp — {q — q) Cdt, dq — (])' — p) Cdt; und eben so für die Bewegung des Pols P' oder (p', q), wenn man in («) die auf m und m bezüglichen Grössen mit einander verwechselt: (ß) dp' = (q — q) C'dt , dq -= — (p — p) C'dt. Aus diesen vier Gleichungen folgt: C'dp 4- Cdp = 0, Cdq Cdq — 0. 280 Vierter Abschnitt. Drittes Kapitel. Setzt man daher: (y) C'p + Cp' = (C + C') Pi , C'q + Cq' = (C + C') q y , so sind dp y und dq L =r 0, also p y und q y conslant. Ferner fliesst aus (a) und (ß): /¥ — dp = (7/ — q) (C + C') dl, K \dq — dq — (p — p) (C + C) dt, folglich (p' —p) d (p' — p) + (q — q) d ( q' — q) = \ d [ (p' - p) 2 + (?' - ?) 2 1 = Id. PP' 2 = 0. Mithin bleibt PP' oder ^ constant, und es wird folglich, wenn man (e) p' —p — i cos cp, also » 9 = — V; + c- tsinc P> tf = 9i + (TCÜ- 1 sin 9j worin noch für cp sein Werth — (C + C') t -f- 1) zu sub- stituiren ist, Uebereinstimmend mit §. 170. beschreiben demnach die Pole (p, q) und (//, q ), oder P und P’, um den ruhenden und immer zwischen ihnen liegenden Pol (p L , q,), oder N, Kreise mit den Halbmessern y i und -- -■ ,, i mit der gemeinschaftlichen constanten Winkelgeschwindigkeit — (C + C). Zugleich sieht man, wie mittelst der letztem Formeln die Oerter von P und P' für jede Zeit t durch die sechs Constanten C, C’, p y , q,, i, D bestimmt werden können, von denen die vier letztem aus den Oertern,. welche P und P' in der Epoche einnehmen, sich immer leicht finden lassen. Secularstörungen. 281 §• 173. Um von den zuletzt erhaltenen Formeln eine Anwendung zu zeigen, wollen wir nach ihnen die Secularbewegungen der Pole der Bahnen des Jupiter und des Saturn zu berechnen suchen. Es sind diese zwei Planeten die bei weitem massenreichsten in unserm System. Die Störungen, welche sie von den übrigen Planeten erleiden, sind daher nur unbedeutend gegen diejenigen, welche sie auf einander ausüben, und man wird folglich ihre Bewegungen schon nahe richtig erhalten, wenn man bloss ihre gegenseitigen Störungen in Rechnung nimmt. Beziehen sich die Buchstaben ohne Accent auf den Jupiter und die accentuirten auf den Saturn, so ist m = 1053^9 ’ m ^ 35ÖÜ72* Ferner ist nach der Mec. cel. Tom. III. pag. 82.: («' 2 — lad cos u + a-) ~~ 1 = d ~ 3 (2,179193 + 3,185493 cos u + 2,082131 cos 2« + also, wenn man d zur Längeneinheit nimmt: 1B„ =2,179193, B x = 3,185493, B 2 = 2,082131. Sodann ist ebendaselbst pag. 81. a:d = a = 0,54531725, und pag. 04. die jährlichen Bewegungen in Decimalsecunden: n = 337210", 78, ri = 135792", 34. Hiermit findet sich C = { m'na 2 B X = 22", 816, C' = \ mdaB 1 = 55", 955, C + C'= 78,771 Dec. sec. = 25,522 Sex. sec., und damit die Umlaufszeit der Pole P und P’ um N oder die Umlaufszeit der gemeinsamen Knotenlinie beider Bahnen in der unveränderlichen Ebene = 400 -„ 10 - Q 7 ; ■ 00 = 50780 Jahren. t « 1 , Nun waren den 1. Januar 1800 die Neigungen beider Bahnen gegen die Ekliptik in Sexagesimalmass J=t° 18' 51", 6, J'= 2° 29' 35", 9, 282 Vierter Abschnitt. Drittes Kapitel. und die Längen ihrer aufsteigenden Knoten in derselben © = 98° 25'45" &' = 111" 56' 7". Hieraus folgen für jenen Zeitpunkt, als Epoche, die rechtwinkligen Coordinaten von P und P', wenn der Pol der Ekliptik und der Frühlingsnachtgleichepunkt in der Epoche zu den Punkten E und 0 genommen werden (§. 168.): p — J sin © = 4680", 5, q — — J cos © = 693", 6, p' = 8326,1, /= 3353,1, und damit nach (e) für die Epoche, als wo

, = l, cos (II,t + L ,), 1 ll/ + hg' =y = l t sin V»! = l t sin (H,t + L,). Secularstörungen. 2S5 Auf gleiche Weise erhält man aus (y)* mit Anwendung des zweiten aus (<5) fliessenden Werlhes von i: (c. \ ff~ 1- i->f = h c °h (H n t + L.,), \g + hg'= l -2 sin (IIJ + l 2 ), wo l 2 und Lo , eben so wie und L 2 , Constanten sind, die man aus den Werthen von f, /', g, g r , wie solche zu einer gewissen Zeit statt finden, zu bestimmen hat. Bezeichnet man nämlich diese Werthe für t = 0 mit so ist (v) "^ = ^ C0S 0 = ^ cos K Wo + hffo = h sin L l , g n + i 2 g n = l 2 sin L.,, woraus sich l ,, .. Z, auf bekannte Weise finden lassen. Die Werthe von /', .. g’ zur Zeit t ergeben sich alsdann durch Verbindung von (g,) mit (£,) und sind hiernach, wenn man, so wie IIJ + L l = , auch noch IIJ + L 2 = rp 2 , und die Constanten . ?1 . = hi , - 1 ' . = Ä, setzt: / ^ 11" 7' 38", e'— 0,056150, 2 , f'— 0,035172 cos -ipy — 0,048414 cos tp 2 , ff = 0,035172 sin ti - 0,048414 sin ip 2 , wo ipy= 30" 20' 10" + t . 3", 483, ip 2 = 307 33 34 + f .22 ,038, worin t die seit dem 1. Januar 1800 verflossene Zeit, in Jahren ausgedrückt, bedeutet. Zusätze, a. Die rechtwinkligen Coordinaten des Mittelpunkts der Ellipse, welche Jupiter um die Sonne beschreibt, sind ae cos (to + 180°) = •— af, ae sin (co + 180°) = — ag , und dieselben Coordinaten für Saturn = — af’, — dg. Aus den Ausdrücken für f, .. g findet sich aber — a f= p cos %y + q cos , — df’ =-■ p' cos Xy — q cos , — ag = p sin Xl + g sin % 2 , — dg’ =--- p sin %l — q sin &, wo, wenn man wiederum d zur-Längeneinheit nimmt (§.173.), p = 0,545317 X 0,043472 = 0,023706, q = 0 ,545317 X 0,015972 = 0,008710, j»'= 0,035172, q = 0,048414, und überdies Xy --= rPy + 180" = 210" 20' 10"*+ / . 3", 483, X 2 = ip-> + 180" --.127 33 34 + t. 22 ,038. 287 Secularstörungen. Zieht man daher von der Sonne S aus (Fig. 45.) in der Ebene der Ekliptik, mit welcher man sich gegenwärtig die Bahnebenen von Jupiter und Saturn zusammenfallend denken kann, eine Linie SQ = q , welche mit der Abscissenaxe, d. i. mit der Linie von S nach dem Frühlingsäquinoctium am 1. Januar 1800, einen Winkel = macht, und nach der entgegengesetzten Richtung von SQ eine Linie SQ' — q ; zieht man ferner, unter einem Winkel = % y mit der Abscissenaxe , die Linien QP — p und Q'P' — p' : so sind P und P’ die Oerter der Mittelpunkte der vom Jupiter und Saturn beschriebenen Ellipsen zur Zeit t. Im Verlauf der Zeit werden sich daher die gleich lang bleibenden Linien SQ und SQ um S, QP um Q und Q'P' um (/ gleichförmig und nach derselben Richtung, wie die Planeten um die Sonne, drehen, so dass Q und Q' mit £ stets in gerader Linie und QP und QP' sich stets parallel bleiben. Dabei werden die Umdrehungszeiten der Linie Q'SQ und der Linien QP und QP' resp. und d. i. beiläufig 58800 und 372000 Jahre betragen. b. Dieselbe Relation, die wir in §. 171. a. zwischen den Quadraten der Neigungen zweier sich störenden Planeten fanden, hat auch zwischen den Quadraten ihrer Ex- centricitäten statt. Denn aus den Formeln (fr) des vorigen §. folgt: e 2 = f 2 + g 2 = i 2 2 k t 2 + i L 2 k 2 2 — 2i y i 2 k L k 2 cos (ig> — gq), e 2 — f' 2 + g' 2 = k y 2 + k 2 2 — 2 k y k 2 cos (ig> — ipi), und daher e 2 — i L i 2 e' 2 = einer von der Zeit unabhängigen Grösse. Zu Folge der Gleichungen (3) und ( a) ist aber — i.L = A = — . Mithin ist auch J z m y a mf^a . e 2 + m' Y~ä . e' 2 = einer beständigen Grösse. Wie die Neigungen, können daher auch die Excen- tricitäten der Bahnen zweier einander störenden Planeten gewisse Grenzen nicht überschreiten, und wenn die eine wächst, muss die andere abnehmen. 288 Vierter Abschnitt. Drittes Kapitel. §. 17G. Die in §. 1G3. in Bezug auf periodische Störungen gemachte Bemerkung, dass die Störung eines Planeten durch mehrere andere der Summe der Störungen, welche jeder der letztem einzeln hervorbringt, gleich ist, sobald die Quadrate und höheren Potenzen der störenden Massen vernachlässigt werden: diese Bemerkung leidet offenbar auch auf die Se- cularungleichheiten Anwendung. So wurde in §. 1G5. für die seculare Geschwindigkeit, mit welcher die Excentricität der Bahn von m durch Einwirkung von m geändert wird, de — — m'na-a'M, edt . sin (a — a ) gefunden. Hierin ist B,, folglich auch — | aa'B 2 , eine von den constant bleibenden Elementen a und a symmetrisch abhängige Function, die wir jetzt mit (0,1), und die auf gleiche Weise aus a und a", aus a und a”, etc. gebildeten Functionen mit (0,2), (1,2), etc. bezeichnen wollen. Wenn daher m, ausser durch m, noch durch die Planeten m”, etc. gestört wird, deren Elemente zur Zeit t ... a”, e", ca", etc. heissen, so wird sein: de=andt {mV (0,1) sin (ca— a) + me" (0,2) sin (ca—ca")+..}. Eben so hat man für die gleichnamigen Störungen der Planeten m', m", ... durch die jedesmal übrigen: de'= an’dt j me (1,0) sin (a - «)+ m’’e' (1,2) sin (ca'— ca")+..}, de’’= an dt | me( 2,0) sin (ca"— a)-\-m'e (2,1) sin (ca"—ca')+.. j, u. s. w. Aus diesen Gleichungen, in Verbindung mit den entsprechenden für da, da, da”, ... können durch ähnliche Kunstgriffe, wie in §. 174., die Secularungleichheilen selbst, denen e, e', ... und ca, ca', ... unterworfen sind, gefunden werden. Statt aber diese etwas weitläufige Bechnung hier anzustellen, mag nur noch gezeigt werden, wie mit Hülfe der für de, de, ... erhaltenen Gleichungen die merkwürdige Relation, die wir vorhin zwischen den Quadraten der Ex- centricitäten zweier sich störenden Planeten fanden, auf das System aller ausgedehnt werden kann. 381) Secularslöruiigen. Es kommt nämlich, wenn man diese Gleichungen resp. mit —, AA, ’AA, ... multiplicirt, sie hierauf addirt und- noch bemerkt, dass die Function (0,1) wegen ihrer Symmetrie auch = (1,0), und eben so (0,2) = (2,0), (1,2) = (2,1), etc. ist: — ede + AA e'de' + AAt-, e"de" + ... -- 0, oder weil an an 'an 1 ( a) a^a.n — a! \ r a . n = a Y~ a" . n" = etc. ist: mf a . ede + in Y~d ■ e'de' + ... = 0. Hieraus aber folgt: (A) m Ya . e 2 + m' Y ~« • e' 2 + m" y~a . e’ 2 + ... — einer constanten Grösse C. Weil alle Planeten sich nach derselben Richtung um die Sonne bewegen, und daher n, nri\ ... einerlei Zeichen haben, so müssen in den Gleichungen («), folglich auch in (A), die Wurzelgrössen ya,JT a \ ••• m ‘ t einerlei Zeichen, es sei mit dem positiven, genommen werden. Die Glieder auf der linken Seite von {A) sind dann insgesamml positiv; keines von ihnen kann folglich grösser werden, als die ebenfalls positive Constante C auf der Linken, und wenn die Excentricitälen einiger Planeten wachsen, so müssen die von anderen gleichzeitig abnehmen. Da ferner die Excen- tricitäten aller Planeten gegenwärtig sehr klein sind, und es daher auch C ist, so werden wenigstens die Excentricitäten des Jupiter, Saturn und Uranus, als derjenigen Planeten, denen die grössten Blassen und grössten Entfernungen, und folglich in (^L) die grössten Glieder zugehören, stets sein- klein bleiben. Anderweitige Untersuchungen haben gelehrt, dass dasselbe auch von den Excentricitäten der übrigen Planeten gilt. Blee. cel. Tome I. pag. 305. §. 177. Der Ausdruck für die seculare Geschwindigkeit, mit welcher sich die Neigung der Bahn von m durch die Störung von m ändert (§. 168.): ~ | rnna’ i n \\ l J' sin (© — ©'), Moeliius, Mecli. ü. Ilimni. 19 290 Vierter Abschnitt. Drittes Kapitel. ist dem für die Excenlricilät ganz ähnlich. Die in Betreff der letztem so eben gemachten Rechnungen und Schlüsse werden daher auch auf die Neigung Anwendung linden. Es wird mithin auch die in §. 171. «. erhaltene Relation zwischen den Quadraten der Neigungen zweier Planetenbahnen gegen eine feste Ebene auf das System aller Planeten erstreckt werden können und (B) in Ya . J 2 + in Y a ' ■ J' 2 4- «*" Y a " ■ ■* "' + • • • - einer constanten Grösse C' sein. Die Neigungen werden folglich, so wie sie es jetzt sind, auch fortwährend sehr klein bleiben. Auffallend hierbei ist der Umstand, dass die feste Ebene, auf welche in (B) die Neigungen bezogen werden, dafern sie nur mit einer, und folglich auch mit den übrigen Rahnen, sehr kleine Winkel macht., sonst jede beliebige sein kann; und es wird daher durch die Formel (B) noch eine andere merkwürdige Relation ausgedrückt sein. Um diese zu ermitteln, bezeichne man, wie in §. 168., die Nordpole der Bahnen von m , m, in", ... mit P, P', P", ... und den Nordpol der festen Ebene mit E. Man setze ferner der Kürze willen in f'a = c, «/)'"«' = c', etc., so wird die Formel: c . EP 2 + d . EP' 2 + c . EP" 2 + Sei nun A irgend ein Punkt in dem kleinen Stück der Kugelfläche, in welchem die Punkte E, P, P', ... enthalten sind, und welches wir hier als eben betrachten können, und werden in Bezug auf ein rechtwinkliges Axensystem in dieser Ebene, welches A zum Anfangspunkte hat, die Coordi- nalen von E, P, P', ... resp. — f, g\ x, y\ x, y ; etc. gesetzt, so wird EP 2 — (x — f) 2 + (y — g) 2 , etc. und damit {!>) c [(* - f) 2 + (y-tf) 5 ] + d + (V- t/) 2 ] + ■ ■ • = c (x 2 +y 2 ) + c (x' 2 + y' 2 ) + ... + (c ■+ d + ,.) (/' 2 + 9 2 ) — 2 f ( cx + cx + ..) — 2g ( cy + dy + ..) = einer für alle Zeit beständigen und nur nach der verschiedenen Annahme von f und g wechselnden Grösse C'. Die hierzu nöthige und hinreichende Bedingung ist, dass jede der drei Summen 291 Secularslörunge». c (x 2 + y 2 ) + 6 (x 2 + y' 2 ) + ..., cx + cx -f ..., cy + cy + ... für sich constanl ist. Nun sind (§. 75.) cx + cV + ... un j cij + cy + ... c + c + ... c f c -(■ ... die Coordinalen des Schwerpunktes der Punkte P, F, ..., wenn letzteren die Massen c, c, ... beigelegt werden. Dieser Schwerpunkt, und folglich auch die Ebene, welcher er als Pol zugehört, müssen daher bei allen Bewegungen der Pole P, P', ... in Ruhe bleiben. In der Formel (Z?) für die Neigungen ist mithin zugleich der Beweis für das Vorhandensein einer ihre Lage nicht ändernden Ebene enthalten, — und zwar derselben, welche nach §. 89. vorzugsweise die unveränderliche genannt wird. Denn heisst Z der Mittelpunkt der Himmelskugel, so findet sich die Axe letzterer Ebene durch Zusammensetzung von Linien, welche die Richtungen ZP, ZF, ... haben und sich, ihren Längen nach, wie mf a, in yd, ..., d. i. wie c, c', ..., verhalten, also durch Zusammensetzung der Linien c . ZP, c '. ZF, ... (§. 171. b.). Man hat aber nach §. 74. 2., wenn S der Schwerpunkt der n gleich schweren Punkte P, P', ... ist: ZP + ZF + ... = n. ZS, wo auch Z liegen mag; also auch, wenn c gleich schwere Punkte in P, c eben so schwere in P', etc. vereinigt sind, d. h. wenn sich die Massen in P, F, ... wie c, c', ... verhalten, und S auch hier den Schwerpunkt bezeichnet: c . ZP -f- c . ZP -f- ... = (c -f- c -f-...) ZS. Die aus c . ZP, c . ZP’, ... zusammengesetzte Linie, also die Axe der unveränderlichen Ebene, wenn für Z wiederum der Kugel Mittelpunkt genommen wird, hat demnach ZS zur Richtung und folglich den Schwerpunkt S der Massen c, 6, ... zum Pole, — wie zu erweisen stand. Zusatz. Wählt man S zum Anfangspunkte der Coordinalen , so werden cx + cx +...-= 0 und cy + cy + ... = 0, und die Gleichung (6) reducirt sich auf c. EP 2 + c’. EP’ 2 + .. = c . SP 2 + c . SP’ 2 + .. + (c+ d ..) SF 2 , 19* 292 Vierter Abschnitt. Viertes Kapitel. eine schon in §. 91. c. bemerkte Relation zwischen den Quadraten der Entfernungen der Massen c, c', .. von ihrem Schwerpunkte S und einem andern willkürlichen Punkte E- Zugleich geht daraus hervor, dass die Constante C' (= c . EP 1 + ..) am kleinsten wird, wenn man E mit S zusammenfallen lässt, d. h. wenn man die Neigungen der Bahnen auf die unveränderliche Ebene selbst bezieht. Viertes Kapitel. Von der Stabilität des Planetensystems. §. 178. Im vorigen Kapitel sind wir zu den für die Dauer des Planetensystems höchst wichtigen Resultaten gelangt: dass erstens die mit (lern Entfernungen der Planeten von der Sonne, und folglich auch ihre Umlaufszeiten, durch alle Zeit unverändert bleiben; dass zweitens die Excentrici- täten ihrer Bahnen stets kleine Brüche und mithin die Bahnen selbst immer nahe kreisförmig bleiben, und dass es drittens eine Ebene von unveränderlicher Lage giebt, mit welcher die Bahnen stets nur kleine Winkel machen. Können daher auch die Apsidenlinien, so wie die Knotenlinien mit jener Ebene, bedeutend ihre Lage ändern, ja sich um ganze Kreise drehen, so wird doch das ganze System sich von einem gewissen miltlern Zustande nie beträchtlich entfernen, sondern nur geringe Schwankungen um denselben machen. Der bedeutendste unter den drei genannten Gründen für die stabile Dauer des Systems ist unstreitig der erste oder die Beständigkeit der mittlern Entfernungen. Im Obigen (§. 169.) haben wir uns von dieser Beständigkeit allerdings nur durch indirecte Schlüsse überzeugt und dabei nur die ersten Potenzen der störenden Massen, so wie der Excen- tricitälen und Neigungen, berücksichtigt. Allein Laplace, Von der Stabilität des Planetensystems. 293 der Entdecker dieser wichtigen Wahrheit, zeigte schon bei ihrer ersten Bekanntmachung im Jahre 1773, dass sie noch bei Rücksichtnahme auf die zweite und dritte Potenz der Excentricitäten und Neigungen Gültigkeit hat. Wenige Jahre später (1776) bewies Lagrange, dass sich für die mittlern Entfernungen selbst dann keine secularen Störungen zu erkennen geben, wenn man zwar nur die erste Potenz der Massen, aber noch alle höheren der Excentricitäten und Neigungen in Rechnung nimmt. Endlich hat P o i s s o n (1808) dasselbe auch noch bei Berücksichtigung der Quadrate der Massen dargelhan. Dass die Excentricitäten und die Neigungen immer klein bleiben, hat hauptsächlich darin seinen Grund, dass alle Planeten sich nach einerlei Richtung um die Sonne bewegen, indem bei dieser Einrichtung in den Gleichungen (A) und (B) (§§. 176. und 177.) alle Glieder auf der linken Seite einerlei Zeichen haben. Wäre dagegen, um nur die Störungen ins Auge zu fassen, welche zwei Planeten wechselseitig auf ihre Excentricitäten e und e ausüben, die Bewegung des einen der des andern entgegengesetzt, so hätten in der Gleichung: mYa . e- + m J *a . e' 2 — einer constanten Grösse, die zwei Glieder auf der linken Seite entgegengesetzte Zeichen, und e und e würden gleichzeitig abnehmen und gleichzeitig wachsen. Auch würde unter leicht angebbaren Bedingungen ein Wachslhum ohne Grenzen eintreten können. Sind nämlich die zwei Bewegungen einander entgegengesetzt, so wird in §. 174. die Grösse h, =-= m f a ■ »i Y a -, negativ, und es können dann die zwei Wurzeln i i und i, der Gleichung (ö), = — -J A (1 — A) ± rih + (1 — A)’] auch imaginär werden. Mit solchen Werthen von i v und i, finden sich aber die Grössen /', nicht mehr durch trigonometrische, sondern durch Exponentialfunctionen der Zeit, wie A . a<, ausgedrückt und können daher mit der Zeit ohne Ende zunehmen. 294 Vierter Abschnitt. Viertes Kapitel. §. 179. Noch müssen wir eines dem ersten Blicke nacli sehr zufällig scheinenden Umstandes gedenken, der ganz besonders dazu beiträgt, dass sich das System von seinem mittleren Zustande nie bedeutend entfernen kann, und dass namentlich die periodischen Störungen nie eine allzubeträchtliche Grösse erreichen können. Es ist dies die Einrichtung, dass die Umlaufszeiten und folglich auch die mittleren Bewegungen der Planeten in incommensurabeln Verhältnissen zu einander stehen, von denen keines einem einfachen com- mensurabeln Verhältnisse nicht einmal sehr nahe kommt. Um dieses so weit, als es hier thunlich ist, zu erläutern, wollen wir zu den in §. 158. gefundenen von den Excenlricitäten unabhängigen Störungen der Länge und des Badius Veclor zurückgehen. Von beiderlei Störungen hat der Coefficienl des allgemeinen Gliedes den Divisor i-k~ — 1 = [(i + 1) n — in] [(«— 1 ) ii — in] : u\ weil A = (n — n) : n. Da nun für i nach und nach alle ganzen Zahlen zu setzen sind, so würde, wenn das Yerhäll- niss der miltlern Bewegungen n : n' einem der Verhältnisse i: i + 1 oder i:i — 1, d. i. 1:2; 2:3; 3:4; etc. oder 2:1; 3:2; 4:3; etc. sehr nahe gleich käme, der entsprechende Coefficienl sehr gross und damit eine sehr bedeutende Störung erzeugt werden. Eben so erhellet, dass unter den von den ersten Potenzen der Excentricitälen und der Neigungen abhängigen Störungen, deren allgemeiner Coeföcient (§§. 161. 162) (i/i + l) 2 — 1 = i (n — n) \(i + 2 ) n — in!] : n 2 zum Divisor hat, beträchtliche entstehen müssen, wenn das Verhällniss n: n von «:«-(- 2, also von einem der Verhältnisse ... 5:3; 4:2; 3:1; 1:3; 2:4; 3:5; ... wenig abweicht. Indessen sind hiervon die in der Natur vor- kommenden Verhältnisse zwischen den mittleren Bewegungen viel zu sehr verschieden, als dass von dieser Seile her eine nur einigermassen beträchtliche Störung zu befürchten stände. Von der Stabilität des Planetensystems. 295 §. 180. Unter allen Verhältnissen zwischen den mitllern Bewegungen der Planeten nähert sich einem einfachen rationalen Verhältnisse am meisten das zwischen den Bewegungen des Jupiter und Saturn, also merkwürdiger Weise das zwischen den Bewegungen der zwei grössten Planeten unsers Systems. Denn heissen U und U' die Umlaufszeiten und n und it die inittlern Bewegungen des Jupiter und Saturn, so ist U= li,8G197 und l/'= 29,45714 jul. Jahren, woraus ~ — ~ überaus nahe = und schon sehr nahe U n 149 * 150 und 5 n — 2 n = w = 4 74, 0 oU = % folgt, so dass die fünffache Bewegung Saturns von der doppelten Jupiters nur um einen geringen Tlieil der einen oder andern Bewegung selbst verschieden ist. Es kommt nämlich mit Anwendung des fast vollkommen richtigen Verhältnisses GO : 149, 50 _ 5»' 20' ~~ 2« ~ 149 Auch finden sich in der Tliat, wenn man in der Entwickelung der gegenseitigen periodischen Störungen des Jupiter und Saturn bis zur dritten Potenz der Excentricitäten inclus. fortgeht, Glieder, deren Coefficienten das Quadrat von 5 n — 2 n zum Divisor haben und daher ungeachtet der hohen Potenz der Excentricitäten noch sehr gross, grösser als jede andere periodische Störung im ganzen Planetensystem*), ausfallen. *) Die grösste periodische Längenstörung erleidet (Mec. cel., Tome III. pag. 95 — 146.) Merkur durch Venus; sie beträgt 8",5. Venus durch Erde; „ ,, 11 ,4. Erde durch Jupiter; „ „ 6 ,8. Mars durch Jupiter; „ „ 25 ,0. Uranus durch Saturn; ,, „ 149 ,7. Die Störungen des Jupiter und Saturn, welche ihrer Grösse nach unmittelbar auf die im Texte angegebenen folgen, sind für Jupiter durch Saturn ... 3'29",0, für Saturn durch Jupiter ... 11 9 ,4. £1)6 Vierter Abschnitt. Viertes Kapitel. Nach Bouvard’s astronomischen Tafeln (Paris, 1821) werden diese zwei sogenannten grossen Gleichungen des Jupiter und Saturn folgendergestalt berechnet. Zuerst sind für die mittlere Pariser Mitternacht, womit der 1. Januar 1800 anfängt, als Epoche, die stets vom mittlern Frühlings— äquinoctialpunkte in der Epoche an gerechneten mittlern Längen l und X des Jupiter und Saturn: k =■ 81° 52' 19", 3 + 30° 20' 56", 718 . t , X — 123 5 29 ,4 + 12 13 16 ,127. f, wo t die seit der Epoche verflossene Zeit, in julianischen Jahren ausgedrückt, bedeutet. Hiermit bestimmt man die Argumente A = 5X — U +.4° 10' 4", 8 — 1' 16", 403 . t + 0",013 . = 95° 52' 53", 0 + 23' 10", 795 . t + 0", 013 . t\ Ä A — 29", 8 — 0", 270 . t- und es sind dann die Gleichungen für die Länge Jupiters: + (19' 46", 619 — 0",0347. t + 0",000033 J-) sin A — 12", 014 sin 2 A, Salurns: — (47' 52", 649 — 0", 0803 . t + 0", 000082. t''■) sin Ä + (30", 504 —0", 0017 . t) sin 2 Ä. Die Periode jeder dieser beiden Gleichungen ist (§. 109.) - ■=■ 932 Jahren. Der Anfang einer solchen Periode, d. i. einer der Zeitpunkte, wo die Argumente der Gleichungen == 0, mithin, zu Folge dieser Gleichungen allein, die Geschwindigkeit Jupiters am grössten und die des Saturn am kleinsten gewesen, ist 95« 52' 53" 23' 11" 248 Jahre vor der Epoche, also um das Jahr 1552, eingetreten. Von da an nimmt 466 Jahre hindurch, also bis zum Jahre 2018, die Geschwindigkeit Jupiters ab und die des Saturn zu. Die Astronomen der letztverflossenen Jahrhunderte hatten diese Verzögerung des einen und Beschleunigung des andern Planeten aus Beobachtungen kennen gelernt und mussten diese Anomalieen bei Unkennlniss ihrer Periode um so auffallender Von der Stabilität des Planetensystems. 297 finden, als von allen andern Planeten die Umlaufszeilen sicli durchaus constant gezeigt hatten. Nach mehrern vergeblichen Versuchen, den Gründ dieser sonderbaren Erscheinung zu ermitteln, gelang es Laplace (im Jahre 1780) auch sie dem Gesetze der allgemeinen Schwere anzupassen und die oben angedeutete theoretische Erklärung ausfindig zu machen. §. 181 . Zusätze, a. Dass durch die gegenseitige Einwirkung zweier Planeten die mittlere Geschwindigkeit des einen sich verringert, wenn die des andern grösser wird, und umgekehrt, dies lässt sich leicht mit Hülfe des Princips der Erhaltung der lebendigen Kräfte darthun. Bedeuten nämlich die in §.91. b. mit A, B, C bezeichneten Körper die Sonne und die beiden Planeten, und setzen wir demgemäss ihre Massen a = 1, b — m, c - ui, die Radien AB = r, AC = f, und die durch AB und AC ausgedrückten relativen Geschwindigkeiten von B und C, wenn A ruhend angenommen wird, = u und u, so verwandelt sich bei Weglassung der Quadrate und des Productes der Massen m und m die Gleichung am Schlüsse von §. 91. c. in mu 2 + mit 2 — 2 K (y -f ’y) + Const. Nach (11) in §. 52. ist aber, wenn a und a! die momentanen, d. i. die aus den jedesmaligen Werthen von r, u und r, v! abgeleiteten und daher wegen der gegenseitigen Störung von einem Zeitpunkte zum andern sich ändernden, halben grossen Axen der Bahnen von m und m! bedeuten: u 2 = K (- — -) und u 2 = K (% — -,), (vergleiche §. 146.). Hierdurch wird die vorige Gleichung: i = Const., und wegen n 2 a z — ri 2 d 3 — K: n 1 a 1 ° 2 2 m . ii 1 + m . n r = Const. Wenn daher n wächst, muss n abnehmen, und umgekehrt. 21)8 Viertel’ Abschnitt. Viertes Kapitel. b. In der letzten Gleichung sind n und n die momentanen mittlern Bewegungen. Weil sie, eben so wie a und a, frei von secularen Störungen sind, so kann man n = v-\-x und n' v + x setzen, wo v und v durch alle Zeit con- stant, x und x aber kleine Grössen von periodischer Natur bedeuten. Die vorige Gleichung w'ird damit: 1 * ni (v + x)' + in (v + xy = Const., folglich mit Weglassung der hohem Potenzen von x und x : in . v~ix + wi'. v ~* x = ni ,n~ 1 x-\-m . n’—i.x — Const. oder (a) .. niYa . x + ni ] r a . x = Const. Wenden wir dieses auf Jupiter und Saturn an, wo die durch die grossen Gleichungen 19' 47" sin A und — 47' 53" sin yl verbesserten miltlern Längen, w r egen der langen Periode der erstem, als die momentanen mittlern Längen selbst erscheinen, und wo folglich die Geschwindigkeiten, mit denen sich diese Gleichungen ändern: (5 ri — 2 n) 19', 8 cos A und — (5 ri — 2 n) 47', 9 cos A , die periodischen Glieder x und x der mittlern Bewegungen, oder doch die vorzüglichsten unter diesen Gliedern, sein werden. Die Gleichung (a) geht damit über in: (mfa . 19', 8 — ni } r a . 47', 9) cos A = Const. Dieses ist aber nicht anders möglich, als wenn die in cos y/ multiplicirle Grösse = 0, und damit mf« . 19', 8 ni Y~d. 47', 9 ist. Die Coefficienten der grossen Gleichungen Jupiters und Salurns müssen daher, nahe wenigstens, im umgekehrten Verhältnisse der Massen und der Quadratwurzeln aus den mittlern Entfernungen stehen; w r as sich auch bestätigt findet, indem (§. 175.) ’illpL = h = o,408 und = 0,413 ist. m y a ’ 47 53 ’ §. 182. Ausser der jetzt besprochenen Störung zwischen Jupiter und Saturn giebt es noch einige andere, deren Perioden V'on iler Stabilität des Planetensystems. 299 wegen des von einem einfachen rationalen Verhältnisse nicht allzuentfernten Verhältnisses zweier mildern Bewegungen n und n von langer Dauer sind. Jede periodische Störung der Länge, welche der Planet m' auf den Planet m ausübt, ist nämlicli von der Form ( p) A sin {int — i'n't + «), wo i und i zwei ganze Zahlen bedeuten; und jede dieser Störungen hat ihre entsprechende unter den von m auf m ausgeübten Störungen: (p) Ä sin {int — int 4- d ), — — Ä sin {int — i'n't — a), wo i und i dieselben Zahlen wie vorhin bezeichnen. Die Periode jeder dieser beiden Störungen ist ^ + 360° _ + uu' — in — in — ilT — i'U 1 und daher gegen die Umlaufszeilen U und V sehr lang, wenn iü '— iU gegen U und V sehr klein ist. Beziehen sich z. B. n und n auf Venus und Erde, so ist U = 0,6152 Jahr und t/' = 1 Jahr, folglich UU' 0,6152 2V— 3 U UU' 0,1544 0,6152 = 4,0 Jahren, = 8,1 Jahren. 5ff—3 tP 0,0760 Unter den gegenseitigen Störungen von Venus und Erde kommen daher zwei Paare mit den langen Perioden von 4 und von 8 Jahren vor, von denen das erstere (2 n — 3 n') t, das letztere (5 n — 3/t) t zum veränderlichen Theile seines Arguments hat. — Eben so entspringt daraus, dass die Umlaufszeit des Mars, = 1,8808 Jahr, nahe der doppelten der Erde gleichkommt, in dem Laufe der Erde und des Mars ein Paar von Störungen mit einer Periode von 16 Jahren,- u. s. w. Von zwei so zusammengehörigen Störungen {p) und ( p ) von langer Periode gilt übrigens eben so, wie dies bei Jupiter und Saturn gezeigt worden, der Satz, dass sich immer nahe A : Ä = ni y a ’: m y~a verhält. Endlich zeichnen sich, wie die des Jupiter und Saturn, so auch alle andern Störungen von langer Periode, durch die Grösse ihrer Coefficienlen merklich vor den übrigen aus. 300 Vierter Abschnitt. Viertes iva.pit.cl. §• 183. Schlussbeinerkung. Was in §. 145. über die Bestimmung der mittlern Elemente der Mondsbewegung gesagt worden, ist im Ganzen auch auf die Planeten anwendbar, nur dass hier als unbekannte Grössen noch die störenden Massen mit auftreten, — den Fall ausgenommen, wenn der störende Planet einer von denen ist, welche Begleiter haben, und wo seine Masse auf die in §. 66. gezeigte Weise bestimmt werden kann. — Weil die Planetenstörungen ver- hältnissmässig sehr gering sind, so wird man die Elemente der Bewegung schon unter der Voraussetzung, dass sie rein elliptisch ist, sehr nahe richtig bestimmen können. Man setze daher jedes Element - diesem seinen nahe richtigen Werlhe + einer noch unbekannten, von der Ordnung der Massen zu betrachtenden, Correction und berechne mit diesen so zusammengesetzten Elementen des Planeten, so wie mit denen der Erde, für die Zeit, wo der Planet beobachtet worden, nach den gegebenen Formeln für die gestörte Bewegung die heliocentrischen Coordinalen des Planeten und der Erde, wobei in den Slörungsgliedern die Massen und in dem elliptischen Theile die Correctionen der Elemente als Unbekannte Vorkommen werden. Aus diesen heliocentrischen Coordinaten berechne man weiter die geocenlrische Länge und Breite des Planeten und setze sie der beobachteten Länge und Breite gleich. Dies giebt zwei Gleichungen, in denen die Correctionen der Elemente und die Massen, von welchen beiden man immer nur die ersten Potenzen beibehält., die unbekannten Grössen sind. Jede andere Beobachtung giebt ein neues Paar solcher Gleichungen, und je mehr man derselben bildet, mit desto grösserer Schärfe wird man, die Methode der kleinsten Quadrate anwendend, jene Unbekannten zu bestimmen im Stande sein. .A. 11 ll «1.11 §5 • l. Beweis der Unveränderlichkeit der mittlern Entfernungen, nach L A G R A N G E. Der Satz, dass die mittlern Entfernungen der Planeten von der Sonne keine secularen Aenderungen erleiden, ist für die Astronomie von so hoher Wichtigkeit, und der in dem Falle, wenn bloss die ersten Potenzen der Massen berücksichtigt werden, von Lagrange für diesen Satz gegebene Beweis so einfach und elegant, dass ich nicht umhin kann zu versuchen, diesen Beweis meinen Lesern verständlich zu machen. Auch wird sich dabei Gelegenheit zur Erörterung noch einiger die Störungsrechnungen betreffenden sehr fruchtbaren Ansichten .und Begriffe finden, welche im Vorigen unberührt geblieben sind. 1) Selzen wir, dass auf einen Planeten m ausser der Sonne M kein anderer Körper anziehend wirke, und dass er sicli daher vollkommen elliptisch bewege. Im Zeitpunkte T, wo seine Coordinalen = r, l, b , und die Geschwindigkeiten derselben - r, l', b' seien, empfange er irgendwoher einen Stoss, wodurch die Geschwindigkeiten resp. die ln- eremente 4r, 41', 4b' erhalten. Die Folge hiervon wird sein, dass er von T an in einer andern Ellipse, als vorher, fortgellt. So wie nämlich die Elemente seiner vorherigen elliptischen Bewegung nach der in §. 53. erklärten Methode aus r, l, b und r, l', b' zu bestimmen sind, so sind es die Elemente der nachherigen Bewegung aus r, l, b und r + 4r', V + 41', b' + 4b'. 2) Um das Gesagte nur auf das Element a anzuwenden, heisse u die Geschwindigkeit des Planeten in seiner Bahn zur 302 Anhang. C; Zeit T vor dem Stosse, u -f- Au die durch den Stoss in demselben Zeitpunkte geänderte Geschwindigkeit, und a -f- Aa der dadurch geänderte Werth von a. Alsdann wird sein (§. 53. 3.) («) \ = 1 ~ £ > wo = k 2 = K W +»»); (h\ _J_,2 (n + Ju) 2 , ' n + ^ rt r ’ und wenn man ( b) von («) abziehl: /.s Ja (Ja ) 2 , _ 2ti tu + (Ju) 2 Nehmen w r ir an, dass der Stoss, und folglich Au, also auch Aa, unendlich klein, = du und da, sind, so wird die Relation (c) zwischen diesen Incrementen: {d) (In 2 udn u und ergiebt sich daher unmittelbar, wenn man (a) nach a und u diflerenliirt, r aber als constant ansieht. 3) Seien A„, A s , A,, ... die Oerter eines Planeten in Zeitpunkten, welche in unendlich kleinen einander gleichen Intervallen, deren m die Zeiteinheit ausmachen, auf einander folgen; also in . A { ,A l , m.A l A.,, etc. seine Geschwindigkeiten in diesen Zeitpunkten (§. 10.). Wird nun der Planet bloss von der Sonne angezogen, und bewegt er sich daher rein elliptisch, so wird man stets dieselben sechs Elemente seiner Bewegung finden, mag man sie aus dem Orte A„ und der Geschwindigkeit m. A„A l , oder aus dem Orte Ä L und der Geschwindigkeit m . A l A 2 , u. s. w. nach den in §. 53. gegebenen Vorschriften ableilen. Wird aber die Bewegung des Planeten um die Sonne durch die Anziehung eines oder mehrerer anderer Körper gestört, so werden diese Systeme von Elementen von einem Zeitpunkte zum andern etwas Weniges von einander verschieden ausfallen, und man kann sich daher die gestörte Bewegung auch als eine elliptische vorstellen, bei welcher die Elemente sich fortwährend ändern. Wir wollen diese Elemente, zum Unterschiede von den bisher gebrauchten bloss von den Secularstörungen afficirten miltlern Elementen, die momentanen Elemente nennen. 4) Sei die Bewegung des Planeten eine gestörte, und die ihn zur Zeit T störende Kraft =.- X. Es ist dieses X — Unverämlerlicbkcil der mittler» Entfernungen. 303 dem Jncremenle der Geschwindigkeit des Planeten, wenn die Kraft eine Zeiteinheit hindurch, ohne sich zu ändern, auf ihn gewirkt hat. Denkt man sich daher die störende Kraft den Planeten durch Stösse treibend, welche sich in jedem Zeitelemente dt wiederholen (§§. 20. und 21.), so ist Xdt die Geschwindigkeit, welche dem Planeten durch den Stoss im Zeitpunkte T mitgelheilt wird; X'dt die Geschwindigkeit durch den nächstfolgenden, ein Zeitelement später eintretenden, Stoss, wenn X' die störende Kraft in diesem spätem Zeitpunkte bezeichnet; u. s. w. Durch jeden dieser Stösse werden aber gleichzeitig die momentanen Elemente um ein unendlich Weniges geändert. Um insbesondere die Aenderung von a zu finden, zerlege man die Kraft X in zw'ei, von denen die eine U die Richtung der Bewegung hat, die andere V darauf perpendikulär ist. Hierdurch zerlegt sich die durch den Stoss zur Zeit T erzeugte Geschwindigkeit Xdt in die Geschwindigkeiten Udt und Ydt nach denselben Richtungen, und die Geschwindigkeit u in der Bahn gewinnt damit das Increment du = Udt. Durch diese von einem fremden Stösse bewirkte Aenderung von u erhält' aber nach 2) die mittlere Entfernung, wenn sie zur Zeit T, — a war, das Increment da = — udu = — uUdt ; i U t* und eine ähnliche Aenderung erleidet a zu Anfänge jedes neuen Zeitelements dt. Die Geschwindigkeit, mit welcher sich a zur Zeit T ändert, ist hiernach = *1 = uU. dt fi 5) Um diese Geschwindigkeit von a berechnen zu können, muss zuvor noch die nach der Richtung der Bewegung geschätzte störende Kraft U bestimmt werden. Wir wollen das hierzu von Lagrange angegebene Verfahren gebrauchen, ein Verfahren, welches in seiner Allgemeinheit der ganzen höheren Mechanik zu grossem Nutzen gereicht hat, und welches sich für den vorliegenden Fall folgendergestalt am einfachsten und fasslichsten darstellen lassen möchte. 30* Anhang. Befindet sich in S (Fig. 46.) die Sonne, in P der gestörte Planet, in P' der störende, dessen Masse, wie früher, in heisse, so ist die störende Kraft aus zweien zusammengesetzt, von denen die eine, — Km : PP' 2 , die Richtung PP', die andere, — Km : SP'-, eine mit P S parallele Richtung hat (§. 94.). Die nach einer beliebigen Richtung PQ geschätzte störende Kraft ist hiernach der Summe dieser beiden, nachdem man die erslere mit cos PQ A PP’, die letztere mit cos PQ^FS, — — cos PQ A SP', mulliplicirt hat, also _ Km' PF Km' GH „ PP 2 ' PQ ~ SP~ 2 PQ A ’ wenn F, G, II die Fusspunkte der von Q auf PF und von P, Q auf SP' gefällten Perpendikel sind. Man nehme nun PQ unendlich klein an, so wird: PF PP' 2 1 FP' 1 t PP' QP' —L-,, und damit Km ( _1 To \qp pF-sF-2 (SH-SG)}. Es drückt aber Km |... j das Increment der Grösse Hm’ ^ ■ -SS} aus, wenn P nach Q fortrückt. Man nennt diese Grösse die störende Function. Um aus ihr die nach einer beliebigen Richtung geschätzte störende Kraft zu finden, hat man also ihr Increment zu bestimmen, wenn P um einen unendlich kleinen Raum PQ nach dieser Richtung fortbewegt wird, und das Increment durch diesen Raum zu dividiren. Man setze, wie in §. 95., SP — r, SP’ — r und PP’ — q, so ist cos S ^ r 2 + r 2 rr SG — r cos S = ,.2 _ f _ r '2 — q 2 2 r und damit die störende Function, welche ß heisse: 0 ,, , /I r°- + r'2 - ß = Am (-- 6) Werde nun für PQ der Weg selbst genommen, welchen der Planet in dem auf T folgenden dt zurücklegt, so ist die nach der Richtung dieses Wegs geschätzte, vorhin Unveräiulerlichkeit der mittlern Entfernungen. 305 mit U bezeichnete, störende Kraft — ( d£l) : PQ , wo ( d£l ) die Aenderung bedeuten soll, welche die Function ß durch die wirkliche Ortsyeränderung des Planeten P während des auf T folgenden dt erfährt. Zugleich aber ist die Geschwindigkeit u — PQ : dt, und folglich 7) Es kommt nun zunächst auf die Berechnung der Function ß für die Zeit T an. Bezeichnen für diese Zeit l und l' die in der Bahn von P gerechneten Längen von P und P', und b' die Breite von P' in Bezug auf dieselbe Bahn, so ist (§. 96.) * p2 — r 2 -f- r' 2 — 2/t' cos b' cos ( l — V) , und damit ß = Km' Q — cos b' cos (l — T)) *), worin noch für die Co ordinalen r, l, r ', l', b' ihre elliptischen Werthe, durch die zur Zeit T statt findenden Elemente beider Bahnen ausgedrückt, zu setzen sind. *) Man sieht bald, wie man aus dieser Formel die in §. 95. erhaltenen Ausdrücke für die drei rechtwinklig coordinirten störenden Kräfte ableiten kann. Denn zuerst ist die nach der Richtung von r geschätzte Kraft = der partiellen Differenz Substituirt man hierin den aus der Gleichung für p tliessenden Werth von so findet sich der mit m multiplicirte Theil der Kraft T in §. 95. — Eben so erhält man die dort mit V bezeichnete Kraft durch eine Verrückung des Planeten um rdl, während r ungeändert bleibt, also v=**. rdl Um endlich die Kraft FT zu finden, lege man dem Planeten eine Breite 6 in Bezug auf seine Bahn bei, wodurch p 2 = r 2 + r' 2 — 2 rr (sin 6 sin 6' + cos b cos V cos (l — f')) wird, und man bekommt IV = nachdem man in der Entwickelung dieser partiellen Differenz 6 = 0 gesetzt hat. Moebius, ftlecli. d. nimm. 20 da _ 2a 2 PQ (dO) _ 2 a 2 (dß) dt fi ‘ dt ' PQ fi dt da dr Km ( - V cos V cos cos 5' cos (l 300 , Anhang. Lassen wir für’s Erste die Excentricitäten und die gegenseitige Neigung beider Bulinen unberücksichtigt, so wird q 2 = a 2 + d 2 — 2ß«' cos (A — A'), ,ß — Km ^ cos (A—A')) •= \Km2Ai cos i (A—A')*), worin A { eine Function von a, ä und der Stellenzahl i ist (§§. 157. und 158.). Um hieraus den Werth Yon ß, insofern er von den Ex- centriciläten abhängig ist, zu ermitteln, hat man statt der mittlern Wertlie der beiden Radien und der beiden Längen ihre elliptischen r — a + x, / = A + y, r — d + x' t = A' + y zu setzen (§. 159.), wo x — — ae cos (A — o) -f- 4 ae 2 (1 — cos 2 (A — a)) -f ...., y = 2e sin (A — a) + -j d- sin 2 (A — eo) + ..., x' — — de cos (A' — »') + ..., y'=^2e'sin (A' —«') + • • ist (§. 51.). Der Anfang der dazu nöthigen Rechnung ist der in §. 159. geführten ähnlich. Es wird nämlich, wenn man jenen miltlern Werth von £1, ^ 0 setzt, der elliptische £1 n . dO . dO , / dO . t dO ° + x m7 + yiäi + x *d+y^ + , ,d 2 0 . d 2 0 . ix-^+xy^ + xx dk d*0 detdä 1 4. a ) ~>3 1 , + ...+ v x 5 - 5 - + . Ohne aber diese Rechnung hier anfangen, und noch weniger sie weiter ausführen zu wollen, so erhellet schon aus der dortigen und aus früheren ähnlichen Rechnungen, dass, bis zu welcher Ordnung der Excentricitäten man auch fortgehen mag, alle Glieder in der Reihenenlwickelung von $l von der Form lim'. C cos («A — i'X + y) *) Aus diesem mittlern Wertlie von a ergeben sich nach voriger Anmerkung die von den Excentricitäten unabhängigen störenden Kräfte in der Richtung des Radius dil , d.4i TS = **•"■*-ST cos,lx “ / )’ und perpendikulär darauf in der Bahnebene da —— = — i Km liAi sin f (A — A'j, mU 1 Ausdrücke, welche mit den auf ganz andere Weise in §. 158. gefundenen vollkommen übereinstimmen. Uuvcrilnderliclikeit der milIlern Entfernungen. 307 sein werden, wo C und y Functionen der Elemente beider Bahnen sind, i und i' aber ganze Zahlen bedeuten, die alle positiven und negativen Wertlie, Null nicht ausgeschlossen, annehmen können. Endlich ist klar, dass eine Reihe von derselben Form für ß auch dann sich ergeben muss, wenn noch auf den vorhin weggelassenen Factor cos b’ mit Rücksicht genommen wird. Denn es ist cos b’ — 1 — 4 sin ö' 2 + - • • = 1 — 4 sin t 2 sin (X — ff) 2 = 1 — i I- (1 — cos 2 (X — #))+•••, mil welcher nach den geraden Potenzen der Neigung fortgehenden Reihe ein Theil der Glieder in der vorigen Entwickelung von ß multiplicirt werden muss. Offenbar aber können dadurch keine Glieder von anderer Form, als der schon bemerkten, zum Vorschein kommen. Nach diesem Allen kann die für ß sich bildende Reihe ausgedrückt werden durch ß — Km! [A + HC cos (iX — tX + j>)], mit der Erinnerung, dass in dem summalorischen Gliede i und Ü nicht zugleich = 0 anzunehmen sind, indem das dadurch entstehende von X und X freie und bloss von den Elementen abhängige Glied schon durch A sich dargestellt findet. 8) In der Reihe für ß sind, streng genommen, nicht bloss die mitllern Längen X und X, sondern auch A, C und y, als F'unctionen der zur Zeit T statt findenden Elemente beider Planeten, mit T selbst veränderlich. Da aber die Aenderungen der Fllemenle, als von den gegenseitigen Störungen herrührend, in oder in zum Factor haben, und ß eine mit m multiplicirte Grösse ist, so sind, wenn wir bloss die erste Potenz der Massen berücksichtigen, A, C und y als conslant zu betrachten. Unter dieser Annahme, die von jetzt an fest gehalten werden soll, ist X die einzige in ß vorkommende Grösse, welche sich bei der Bewegung des Planeten P ändert, und man wird folglich die durch diese Bewegung während dt 20* 308 Anhang. entstellende Aenderung von Sl finden, wenn man Sl bloss nach A differentiirt, also: (d£l) = — Km dlZiC sin (ü — i'X + y). Hiermit, und weil dl = ndt und — ist, findet sich nach 6) die Geschwindigkeit von a: £ = - «Sts • 2 a'-nZiC sin (ü - i'X + y). Es sind aber n und n die Geschwindigkeiten von A und X, und daher sin (il — i'X + y) die Geschwindigkeit von COS (ü — i'X' + yl . ---- ; mithin muss tu - t 11 a = ■ WZ C cos (tA — i'X + y) + Const. sein. Der mit T sich ändernde Tlieil von a bestellt demnach aus periodischen Gliedern, welche von dem jedesmaligen Stande der beiden Planeten gegen einander und gegen ihre Apsiden und Knoten abhängen. Auch kann keines dieser Glieder die unbestimmte Form £ annehmen, oder unendlich gross werden, weil i und i' nie zugleich null sind, und das Yerhältniss n : n incommensurabel ist. Die von der ersten Potenz der störenden Blasse abhängigen Störungen der mittlern Entfernung sind demnach, wie weit man auch die Approximation in Beziehung auf die Excentricitäten und die Neigung treiben mag, keine secularen, sondern bloss periodische Störungen. Da endlich bei zwei oder mehrern störenden Planeten die Totalstörung, so lange nur die ersten Potenzen der Massen berücksichtigt werden, einfach der Summe der von den einzelnen Planeten bewirkten Störungen gleich ist (§. 163.), so muss der bloss für Einen störenden Planeten bewiesene Satz auch bei jeder beliebigen Anzahl solcher Körper in Richtigkeit sein. II. lieber die Methode der speciellcn Störungen. Die im dritten und vierten Abschnitte dargestellte Methode, die Störungen zu berechnen, welche ein Himmelskörper in dem Laufe eines andern hervorbringt, beruht auf Lieber die Methode der speciellen Störungen. 309 der Entwickelung von Reihen, welche nach den Potenzen der Excenlricitäten und der gegenseitigen Neigung der Bahnen beider Körper fortgehen. Soll daher diese Methode angewendet werden können, so müssen, damit die Reihen schnell genug convergiren, die Excentricitäten und die Neigung nur klein sein. Werden diese Bedingungen nicht erfüllt, was namentlich bei den Kometen und mehr und weniger bei den vier neu entdeckten Planeten der Fall ist, so muss man auf eine andere Methode bedacht sein, welche von Reihenentwickelungen frei ist. Eine solche andere Methode ist die der speciellen Störungen. Sie besteht im Wesentlichen darin, dass man, wenn die momentanen Elemente des gestörten Planeten für einen gewissen Zeitpunkt (I. 3)) gegeben sind, einen von diesem Punkte anfangenden Zeitraum, innerhalb dessen auf die Geschwindigkeiten, mit denen sich die Elemente ändern, die Aenderungen selbst noch keinen merkbaren Einfluss haben, durch einander nahe genug liegende Zeitpunkte in gleiche Tlieile theilt; dass man mit den Elementen im Anfangspunkte, die Geschwindigkeiten berechnet, mit denen sich die Elemente in diesem und den folgenden Theil— punkten ändern, und dass man hierauf aus diesen Geschwindigkeiten und aus den Werthen der Elemente im Anfangspunkte nach einem unter dem Namen der mechanischen Quadratur bekannten Verfahren ihre Werthe für jeden der übrigen Theilpunkte ableitet, um somit durch Interpolation ihre Werthe für irgend einen dazwischen fallenden Zeitpunkt, und aus diesen nach bekannten Regeln die Coordinaten des gestörten Körpers für denselben Zeitpunkt berechnen zu können. Während daher die erstere Methode allgemeine Formeln für die Zusätze aufstellt, welche an den mit gewissen mitt- lern Elementen nach der elliptischen Theorie berechneten Coordinaten der Störungen wegen anzubringen sind, und wonach diese Zusätze für jeden Zeitpunkt ohne Weiteres berechnet werden können, vermag die letztere Methode bloss die Geschwindigkeiten der Elemente durch allgemeine Formeln auszudrücken, und kann aus den für einen gewissen Zeitpunkt gegebenen Elementen zu denen eines spätem Zeit- 310 Anhang. punkles nicht auf einmal, sondern nur schrittweise durch Berechnung der nach und nach einlrelenden Aenderungen gelangen. Es ist nicht meine Absicht, hier eine nähere Anleitung zur Berechnung dieser speciellen Störungen zu geben. Man findet alles deshalb zu wissen Nöthige zusammengestellt in zwei in den Berliner Jahrbüchern für 1837 und 1838 enthaltenen Abhandlungen Encke’s: über mechanische Quadratur und über die Berechnung der speciellen Störungen, worin ihr Herr Verfasser die ihm früher von Gauss über diese Gegenstände milgelheilten und später von ihm selbst bei Kometen und den kleinen Planeten so häufig angewendeten Formeln und Methoden veröffentlicht und mit einer reichen Anzahl die praclische Anwendung betreffender Bemerkungen, so wie mit einem ausführlichen Beispiele, begleitet hat. Für gegenwärtigen Zweck setze ich nur hinzu, dass man zu den Formeln für die Geschwindigkeiten, mit denen sich die momentanen Elemente des gestörten Planeten ändern, mit Hülfe desselben Princips gelangen kann, dessen wir uns im Obigen bei der Bestimmung der Geschwindigkeit der miltlern Entfernung bedienten. Es wird nämlich jede der Gleichungen, welche die Elemente, durch die Coordinalen und deren Geschwindigkeiten ausgedrückt, darstellen (§. 53.), nach den Elementen und den Geschwindigkeiten differenliirl, und sodann für das Differential jeder Geschwindigkeit die mit dem Differential der Zeit mulliplicirte Kraft gesetzt, welche nach der Richtung der Geschwindigkeit wirkt, worauf, wenn man noch jede dieser Gleichungen mit letzterem Differential dividirt, die gesuchten Ausdrücke für die Geschwindigkeiten der Elemente hervorgellen. So ist z. B. die Geschwindigkeit, mit welcher sich die Länge l des Planeten ändert, = V — Y~(pp): rr, folglich die Geschwindigkeit, mit welcher der Planet in perpendikulärer Richtung auf dem Radius in der Ebene der Bahn fortgeht, = rl'±=Y(pp): r. Das Differential dieser Geschwindigkeit ist = J . Setzen wir daher die nach derselben Rieh- Ueber die Methode der speciellen Störungen. 311 lung wirkende im Früheren mit V bezeichnete Kraft — Km'Q, wo Q eine aus §. 95. bekannte Function der Coordinalen des gestörten und des störenden Planeten ist, so wird 4 . y = Km'Qdt, und somit die Geschwindigkeit derAen- derung des halben Parameters: Tt = 2Km ' fi ■ r Q = • 2n r ~ al P • rQ > weil [i — K (M -f- «*) — tPa 3 ist. Statt einer weiteren Ausführung dieses Gegenstandes will icli zum Schlüsse des Ganzen noch einen Satz entwickeln, durch den man, sollte er auch nicht bei der wirklichen Berechnung von Nutzen sein, von den Aenderungen, welche die verschiedenen Elemente eines Planeten durch eine augenblickliche Störung erleiden, wenigstens eine sehr anschauliche Uebersicht gewinnt. 1) Befindet sich die Sonne in S und der Planet zu einer gewissen Zeit T in P, so ist seine elliptische Bewegung gegeben, wenn noch der zweite Brennpunkt F der Ellipse, oder ihr zwischen S und F mitten inne liegender Mittelpunkt M gegeben ist. Denn erstens ist die Ebene der Ellipse einerlei mit der Ebene des Dreiecks SPF, und daher ihrer Lage nach gegeben. Sodann ist ihre grosse Axe = SP+FP, ihre Excentricilät = SF: (SP + FP), und ihr Perihel liegt von S aus nach der Richtung FS, wodurch ihre Grösse, Form und Lage in der Ebene SPF gegeben sind. Endlich ist mit der grossen Axe auch die Umlaufszeit bekannt; hierdurch aber und daraus, dass der Planet zur Zeit T sich in P befindet, lässt sich sein Ort in der Ellipse für jeden andern Zeitpunkt ermitteln. 2) Empfängt nun der Planet in P , bis wohin er in der durch S, P und F bestimmten Ellipse fortgegangen ist, einen fremdartigen Stoss, so wird er eine andere Ellipse zu beschreiben anfangen, deren zweiter Brennpunkt F' und deren Mittelpunkt M' sei. Die Elemente der letztem Ellipse werden eben so durch S, P und F', wie die der erstem durch S, P und F, bestimmt sein, und man wird die durch den Stoss bewirkte Aenderung der Elemente des Planeten voll- 312 Anhang. ständig anzugeben vermögen, wenn man die Aenderung des Ortes des zweiten Brennpunktes, oder auch die damit parallele und halb so grosse Ortsänderung des Mittelpunktes der Ellipse, zu bestimmen im Stande ist. So wird z. B. die grosse Axe um FP -— FP sich ändern, und die Apsidenlinie wird aus der Richtung FS in F'S übergehen. 3) Um die Verrückung von F oder AI jetzt näher zu bestimmen, stelle die in der Ebene SPA1 enthaltene Linie PQ (Fig. 47.) die Geschwindigkeit des Planeten in P vor dem Stosse dar. Die ihm durch den Stoss ertheilte Geschwindigkeit sei gegen erstere sehr klein und = QR, folglich PR die Geschwindigkeit unmittelbar nach demselben. Werde ferner die Excentricilät der Ellipse so klein angenommen, dass ihr Quadrat vernachlässigt, und mithin die Ellipse selbst als ein Kreis angesehen werden kann (§. 42.), dessen Mittelpunkt vor dem Stosse Al ist, und dessen Halbmesser AIP nach der Natur des Kreises in der Ebene SPQ auf PQ perpendikulär steht. Aus gleichem Grunde wird nach dem Stosse der Mittelpunkt Al' in der Ebene SPR in einer auf PR perpendikulären Linie liegen. 4) Man kennt somit die Richtung, nach welcher hin der Punkt Al' von P aus liegt, und es ist nur noch übrig die Länge von PA1' zu bestimmen. Zu dem Ende erinnere man sich des Satzes, dass die Flächengeschwindigkeit von einer Planetenbahn zur andern der Quadratwurzel aus dem Parameter proportional ist (§. 52.). Nun sind die Flächengeschwindigkeiten vor und nach dem Stosse den Dreiecksflächen SPQ und SPR, und die halben Parameter = den mittlern Entfernungen AIP und AI'P oder den Halbmessern der beiden Kreise, wegen Vernachlässigung des Quadrats der Excentricität (§. 49.). Es verhält sich demnach YA1P : YAl'P = SPQ : SPR. Es ist aber SPQ = \ SP. PQ . sin SPQ und SPR — \SP. PR . sin SPR. Weil ferner die Winkel SPQ und SPR nur sehr wenig von einander verschieden sind und überdies wegen der ge- Ueber die Methode der speciellen Störungen. 313 ringen Excentricität nur wenig von 90° abweichen, so sind ihre Sinus einander gleich zu achten, und es verhält sich daher ~fMP: Y~ M'P ^ PQ : PR, oder, wenn man in PM’ ein Stück PN von solcher Länge abschneidet, dass sich (i a) PM : PN — PQ : PR verhält: -fPM : YPM'= PM: PN, folglich PM ; PN =- PN: PM’- und wenn man noch auf PM' eine Linie PO — PM trägt: PO : ON= PN : NM', also ON — NM', weil PO und PN nur sehr wenig von einander verschieden sind. 5) Nehmen wir noch an, dass die Richtung QR des Stosses, und somit auch M', in der Ebene SPQM enthalten ist. Wegen der rechten Winkel MPQ und NPR sind alsdann die Winkel MPN und QPR einander gleich, und deshalb und wegen (a) die Dreiecke MPN und QPR einander ähnlich, folglich auch MN auf QR perpendikulär. Sind demnach der Mittelpunkt M einer nahe kreisförmigen Planetenbahn, der Ort P des Planeten, seine auf MP sehr nahe perpendikuläre Geschwindigkeit PQ und eine ihm durch einen Stoss in P in der Ebene der Bahn mit- getheilte gegen PQ sehr kleine Geschwindigkeit QR gegeben, so findet man die durch den Stoss bewirkte Verrückung des Mittelpunktes von M nach M' dadurch, dass man in der Bahnebene durch P und M zwei resp. auf PQ und QR perpendikuläre Linien zieht, und dass man, wenn diese sich in N schneiden, von P nach N zu eine Linie PO = PM trägt und NM'— ON macht, so dass M' und 0 auf entgegengesetzte Seiten von N fallen. C) Ist die Richtung QR des Stosses auf der Rahnebene SPQ perpendikulär, so ändert diese ihre Lage und wird SPR, in welcher der neue Mittelpunkt M' dieselbe Lage, wie M, gegen S und P hat. Zusätze, a. Selzen wir in dem noch Folgenden, dass der Stoss, wie in 5), in der Bahnebene selbst geschieht, 314 Anhang. und nehmen wir zuerst den speciellen Fall an, dass seine Richtung in dieser Ebene auf PQ perpendikulär ist, so ist es auch MN auf P31. Alsdann fallen 0 und M' mit N zusammen, und es steht daher auch MM' auf QU rechtwinklig. b. Fällt QU in PQ selbst, sei es nach P zu, oder nach der entgegengesetzten Seite, so haben PQ und PU, folglich auch PM und PM', einerlei Richtung, und es ist daher auch in diesem Falle MM’ auf QU rechtwinklig. c. In allen übrigen Fällen weicht MM' von der auf QU perpendikulären Lage 31N ab. Indessen kann die grösste Abweichung nur 19° 28' ( - arc tang 4 betragen. So gross findet sich nämlich das Maximum des Winkels an der Spitze M eines Dreiecks NMM', welches die Eigenschaft hat, dass der Fusspunki 0 eines von der Spitze auf die Basis NM’ gefällten Perpendikels ausserhalb der Basis fällt, und dabei ON — NM' ist. d. Wird das Dreieck PQU um P im Sinne der Bewegung des Planeten (nach links) um 90" gedreht, so fällt es in das Dreieck PMN, und QU erhält einerlei Richtung mit MN. Man kann daher auch sagen: die Richtung, nach welcher M fortrückt, weiche von der Mehlung des Stosses, nachdem diese um 90" im Sinne der Planetenbewegung gedreht worden, nie allzubedeutend, höchstens um 194", ab. Mit Hülfe des so ausgedrückten Satzes kann man sich von der Beschaffenheit der Aenderungen der Elemente im Allgemeinen, ob und welche von ihnen wachsen, welche abnehmen, immer leicht Rechenschaft geben. Bewegt sich z. B. der Planet P in einem widerstehenden Mittel, und wirkt daher auf ihn unausgesetzt eine störende Kraft nach der entgegengesetzten Richtung seiner Bewegung, so rückt nach jenem Satze der Mittelpunkt M stetig nach P hin; die mittlere Entfernung MP wird folglich immer kleiner, und damit auch die Umlaufszeit. Wenn daher, um diesen Gegenstand noch etwas näher in’s Auge zu fassen, M„, 31,, AJ,, ... (Fig. 48.) die Oerter von 31 in Zeitpunkten, die um einander gleiche Zeitelemente getrennt sind, und P n , P,, P 2 , ... die gleichzeitigen Oerter von P bezeichnen, so liegt 31, von M { , nach P u hin, 31, von 31, nach I\ hin, u. s. w.; Ueber die Methode der speciellen Störunge». 31S und da zugleich P f) P t , P L P 2 , ... Bogenelemente sind, welche 3I () , M l , ... zu Mittelpunkten haben, so ist die Bewegung von P der Bewegung des Endpunktes eines gespannten sich über der Curve 31 () 31 L 31, ... aufvvickelnden und damit immer kürzer werdenden Fadens vergleichbar. Weil ferner bei der nahe constanten Geschwindigkeit von P die davon abhängige störende Kraft sich nahe con- stant bleibt, so werden auch die von letzterer abhängigen Verrückungen des Mittelpunktes 31 () 3I L , 3I L 31 ,, etc. nahe einander gleich sein; und weil überdies die Richtung, nach welcher sich 31 bewegt, auf der des Planeten P perpendikulär ist, so wird die Bewegung von M der von P in dem Verhältnisse von 3I i) 3I l zu P () P 1 nahe ähnlich sein. Der Mittelpunkt der Bahn eines in einem widerstehenden Mittel sich bewegenden Planeten wird daher während jedes Umlaufs des Planeten einen kleinen Kreis beschreiben und darin stets um DO 1 ' hinter dem gleichzeitigen Orte des Planeten in seiner Bahn zurück sein; dabei wird während jedes Umlaufs die mittlere Entfernung 3IP um die Peripherie des kleinen Kreises kleiner werden, indem sich um ebensoviel der vorhin gedachte Faden aufwickelt. — Man sehe Fig. 49., wo A, B, C, D und a, b, c, d gleichzeitige Oerler von P und M vorstellen. Noch erhellet aus dieser Kreisbewegung von 31, dass die Apsidenlinie MS, während der Planet vom Perihel A zum Aphel C fortgeht,, aus der Lage aS in cS übergehend, sich rückwärts dreht, und während der andern Hälfte der Umlaufszeit sich wieder vorwärts bewegt; dass endlich die Ex- centricilät, _= 3IS : MP, am kleinsten = bS .bB, und am grössten = dS : dD ist, wenn sich der Planet zwischen Perihel und Aphel in der Mitte, resp. in B und D, befindet. Druckfehler und Verbesserungen. Seite 58 Zeile 13 V. 0 . statt (m — 1) lies (n — J') » 80 )) 2 V. U. statt r = « [ lies r =3 a [ >> 83 >> 16 V. u. lies p — -p- >> 117 11 V. 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