86

Zweiter Abschnitt. Zweites Kapitel.

Quadrate seiner Entfernung von der Sonne umgekehrt pro-portional ist.

§. 55.

Untersuchen wir jetzt, oh und w r ie sieh das im vorigen§. unter der möglich einfachsten Annahme erhaltene Resul-tat im Falle der Natur modiiicirt, wo die Bahnen der Pla-neten Ellipsen sind. Wir wollen deshalb die allgemeinenFormeln {!)) in §. 36. für die Kräfte T und V bei einerdurch ihre Polarcoordinaten gegebenen Bewegung zu Hülfenehmen und sie mit den zu Ende vorigen Kapitels entwickel-ten strengen Formeln der elliptischen Bewegung in Verbindungbringen.

Weil die Flächengeschwindigkeit des Radius r constantist (§. 52.), so wird U----0, d. h. die gesuchte Kraft wirktin der Richtung von r (§. 37. a.) und rcducirt sich aufT r" — re' 2

allein, wo v' eben so, wie l' in §. 36., die Winkelgeschwin-digkeit von r bedeutet. Nun ist nach den Formeln (9) und(10) in §. 52.:

v -

_ i; r~r

und r

l.e

Vp

sin d, folglich

l;e

r == —- v' cos v -

V p

H-e

COS V ,

11; (p — r)

weil nach (1) in §. 49. e cos v = (p — r) : r ist. Mitsen Werthen für r" und d ergiebt sich aber:

r £ 7./.' ()> — r) I;l;p 1;1; n 2 « 3 tc

t 5 r 5 rr rr prr '

die—

Wir schliessen hieraus: 1) dass die einen Planeten trei-bende Kraft stets nach der Sonne zu gerichtet ist, — nichtabrvärts von derselben, wegen des negativen Werlhes vonT —; 2) dass diese Kraft für verschiedene Entfernungeneines und desselben Planeten von der Sonne dem Quadrateder Entfernung umgekehrt proportional ist; 3) dass aberauch, weil das Product n 2 « 3 oder Ick für alle Planeten den-selben Werth hat, die Kräfte, mit denen verschiedene Pla-neten nach der Sonne getrieben werden, im umgekehrtenVerhältnisse der Quadrate der Entfernungen von der Sonne