so

Zweiter Abschnitt. Erstes Kapitel.

abhängige Glied noch finden kann. Es folgt nämlich aus (1*)bis auf die zweite Potenz von e genau:

r •— " ^ = a( 1 — e-) (1 — e cos v + e 2 cos v-)

1 + e cos v v v 1 '

a (1 — e cos v — e 2 sin v 2 ).

Es war aber, wenn man die mittlere Anomalie nt aund 2 sin a = x setzt, bis zur ersten Potenz von e genau:v - « + ex (§. 43.). Mithin ist, wie vorhin, bis zur zwei-ten genau:

r = a (1 — e cos (« + e®) — e 2 sin a 2 ) ,worin für cos («+ ex) sein bis zur ersten Potenz genauerWerth = cos « — ex sin a — cos a — 2e sin a 2 zu subsli-tuiren ist. Dies giebt:

r = a (1 — e cos a -f- e 2 sin a 2 )

= a (1 + -2 e 2 — e cos a — \e 2 cos 2a) *).

b. Bei der geneigten Lage, die wir im Vorigen der Ebenedes excentrischen Kreises gegen die Ebene der Ellipse gaben,ist das constante Yerhältniss zwischen irgend einem Theileder erstem Ebene und seiner Projection auf die letztere,= IK : IL = i : y'T^e 2 = a : Y~p, nach (2). In dem-selben Verhältnisse steht mithin auch die Fläche des excen-Irischen Kreises selbst = na 2 zur Ellipsenfläche; letztereist daher = na Y«v-

§. 52.

Suchen wir jetzt die Geschwindigkeiten der verschiede-nen veränderlichen Grössen zu bestimmen, welche bei derBewegung eines Planeten in Betracht kommen.

Die Flächengeschwindigkeit 4 c oder die vom Radius Vec-tor in der Zeiteinheit überstrichene Fläche ist nach Kepler’s

*) Ueberhaupt lassen sich r und v durch Reihen darstellen, dienach den Cosinussen und Sinussen der Vielfachen von a fortlaufen, unddie, wenn sie bis zur n ten Potenz von e genau sein sollen, noch dieCosinus und Sinus der «lachen von « enthalten müssen. — Bis zur3len Potenz genau sind diese Reihen:

)■ = a [1 + \ e 2 — (<? — $ c 3 ) cos « — I e l cos 2a — $ c 1 cos 3k] ,v == a + (2c — ’ e 3 ) sin « + -je 2 sin 2k + fl e 3 sin 3 ;.