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§ 3. Folgerungen. Wächst in einem Kreise eine Sehne, so wächst der kleinereder beiden zugehörigen Bogen und ihr Mittelpunktsabstand nimmt ab. (Figur 3.)

Beweis. Der Mittelpunktsabstand, der Radius zu einem Endpunkte der Sehneund die Hälfte dieser begrenzen ein rechtwinkliges Dreieck, auf das § 2 angewendetwerden kann. Ferner ist Bogen CJ > AH, weil der Centriwinkel durch den zugehörigenBogen gemessen wird; folglich Bogen CD > AB.

1. Umkehrung. Wächst in einem Kreise der Abstand einer Sehne vom Mittel-punkte, so nimmt die Sehne und der kleinere zugehörige Bogen ab. Beweis ebenso.

2. Umkehrung. Wächst im Kreise ein Bogen, ohne den Halbkreis zu über-schreiten, so wächst die zugehörige Sehne und ihr Mittelpunktsabstand nimmt ab. Be-weis durch § 2. Umkehrung.

Den vorstehenden Sätzen und Beweisen möchte ich einige Bemerkungen hinzu-fügen. Die Wortfassung derselben weicht von der in fast allen Lehrbüchern gebräuch-lichen wesentlich ab; so müfste § 2 in der gewöhnlichen Fassung lauten: Haben zweirechtwinklige Dreiecke gleiche Hypotenusen und ist eine Kathete des einen Dreiecksgröfser als eine des andern etc. Ich halte die von mir gewählte Fassung, die ich beiähnlichen Sätzen nur bei Baltzer, Gallenkamp und A. Gauss gefunden habe, deshalbfür geeigneter, als in der neueren Geometrie mehr und mehr das Bestreben sich geltendmacht, die Figuren nicht wie bei Euklid als starre Gebilde zu betrachten, sondern alsbewegliche, veränderliche Gestalten; gerade dadurch wird auch im Unterrichte das Interessean dem Gegenstande erhöht, dafs den Figuren gewissermafsen Leben und Beweglichkeiteingeflöfst wird und wenn die Schüler sehen, wie aus einer Figur sich anders gestalteteentwickeln, wie spezielle Fälle als Grenzen allgemeinerer aufgefafst werden können, wiedies bei Besprechung der Tangenten wohl allgemein schon üblich ist.

Was die Sätze selbst anbetrifft, so findet sich § 2 verhältnismäfsig selten in denLehrbüchern, während § 1 fast überall vorhanden ist, allerdings in anderer Form undmeist mit Weglassung der Winkeleigenschaft; dagegen werden fast in allen Büchern diebeiden Inkongruenzsätze des Euklid (Buch 1, Satz 24, 25) gegeben nämlich: „Stimmenzwei Dreiecke in zwei Seiten überein, aber nicht in dem von diesen eingeschlossenenWinkel, so ist die dritte Seite in demjenigen Dreiecke gröfser als im anderen, welchesden gröfseren eingeschlossenen Winkel hat" und die Umkehrung dieses Satzes.

Sowohl der Wortlaut als erst recht die Beweise dieser Sätze sind für Tertianernach meiner Erfahrung stets eine Quelle des Entsetzens, nur wenige werden in dasVerständnis der Beweise eindringen, und bringt man in den höheren Klassen wieder ein-mal die Sprache auf diese Sätze, so ist bei den meisten Schülern die Erinnerung daranverloren gegangen oder so verblafst, dafs sie von neuem entwickelt werden müssen. DieLehrsätze sind eben schon der Schwerfälligkeit des Ausdrucks wegen auch bei Lehrernnicht beliebt; die Sätze, bei denen sie Verwendung finden, sind zu zählen, weil andereBeweismittel wenn irgend angängig bevorzugt werden.

Aus diesen Gründen lasse ich die erwähnten Sätze seit mehreren Jahren schonganz aus dem Unterrichte in den mittleren Klassen weg; auf dieser Stufe sind sie nurbei äufserst wenigen, nebensächlichen Übungssätzen, die man ohne Schaden weglassenkann, wirklich notwendig; in den oberen Klassen ersetzt sie der Kosinussatz.