Wenn ich demnach auch nicht mit völliger Sicherheit behaupten kann, dafs dieBeweise neu sind, so finden sich jedenfalls dieselben äufserst selten in Lehrbüchern; da-her glaube ich, dafs dieselben in Kollegenkreisen Interesse erwecken werden.

Eine andere Frage ist es, ob die gegebenen Beweise ebenso gut oder besser alsdie üblichen sind. Natürlich kann ich ein unparteiisches Urteil darüber nicht fällen; umein solches zu hören, erlaube ich mir eben, die Beweise einem gröfseren Kreise bekanntzu geben. Sollte der eine oder andere Beweis als brauchbar für den Unterricht befundenwerden, so ist der Zweck der Arbeit erreicht. Aus diesem Grunde gebe ich auch diefolgenden Beweise in voller Breite und Ausführlichkeit, so dafs sie direkt in dieser Formden Schülern mitgeteilt werden können.

I. Abschnitt. Die Inkongruenz der Dreiecke.

§ 1. Lehrsatz. Bleibt in einem rechtwinkligen Dreiecke die eine Kathete un-geändert und wächst die andere, so wächst auch deren Gegenwinkel und die Hypotenuse.(Figur 1.)

Voraussetzung: CD > CA.

Behauptung: BD>BA; ACBD>CBA.

Beweis: ABAD>K als Nebenwinkel eines spitzen Winkels.

BD > B A. Dem gröfseren Winkel eines Dreiecks liegt die

gröfsere Seite gegenüber.

ACBD > CBA. Das Ganze ist gröfser als jeder seiner Teile.

Umkehrung. Bleibt in einem rechtwinkligen Dreiecke die eine Kathete un-

geändert und wächst die Hypotenuse, so wächst auch die andere Kathete und deren

Gegenwinkel.

Umkehrung. Bleibt in einem rechtwinkligen Dreiecke die eine Kathete un-geändert und wächst der anliegende spitze Winkel, so wachsen auch die beiden anderenSeiten.

Beide Umkehrungen sind direkte Folgerungen aus dem ersten Lehrsatze.§ 2. Lehrsatz. Bleibt in einem rechtwinkligen Dreiecke die Hypotenuse un-geändert und wächst eine Kathete, so wächst auch deren Gegenwinkel und die andereKathete nimmt ab. (Figur 2.)

Voraussetzung: 1)DE = AB; 2) CE > CB.Behauptung: CD<CA; ACDE>CAB.

Beweis: Man verbinde A mit E, so ist:

AB < AE nach Vorauss. 2 und § 1also DE<AE nach Vorauss. 1

CD<CA nach § 1 Umkehrungund alsdann aCDE>CAB als Aufsenwinkel des Dreiecks ADF.

Umkehrung. Bleibt in einem rechtwinkligen Dreiecke die Hypotenuse un-geändert und wächst ein spitzer Winkel, so wächst die Gegenkathete und die anliegendeKathete nimmt ab.

Ist eine direkte Folgerung aus dem Lehrsatze.