IV. Um die gefundenen Gleichungen mit den in den vor-hergehenden gegebenen Ausdrücken zu vergleichen, ist derKrümmungshalbmesser einer krummen Linie von doppelterKrümmung Cap. X. §. 6 . III.

gibt nach einer doppelten Differentiation

xd 4 x -j- yd 5 y -f- zd* z = red s u — ds !

Addirt man aber zu dem Quadrate dieser Gleichung dieOuacTrate der drey Gleichungen (A), so erhält man, wenn man•nieder vernachlässiget, zur Summe aller vier Quadrate

(x 5 -f- y a + z a ) (d 5 x* + d*y 4 + d* z 5 )

~ ds 4 — 2ads z d = u

Ist die geodätische Linie s senkrecht auf den Meridian,(die Ehene der x z) so ist nach dem Vorhergehenden

V (d 3 x ) 3 •+- (d 2 y ) 3 + (d 3 z) *eich er Ausdruck d s = Const. voraussetzt.Die Gleichung

X S -{— y 5 -f- Z ! = I -J- C.DCU

also ist

-Karen

a d 5 u

^ ds 4 — 2 a d s 2 d 1 u

also auch

i -preu— a

Ist aber die geodätische Linie <r der Ebene der xz parallei, so ist (nach III)

d<r = —■ rdS = (i + a)u d <p also

d s u d a u

=■ :rvr, also auch

i -f- « u + x

Setzt man in N. III.