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kcn Radien nur einen Umlauf hat, und jcdcSnial 2 Radien dem ganzenUmlaufe angehörcn. —

Zu diesem wichtigen und in seiner zwiefachen Auffassung um so sichererbegründeten Resultate gelangt, betrachten wir unser Ergebnis; übersichtlich,indem wir die drei erfahrungsgemäß bestimmten Werthe: >/?, '/P 2 /§, nebeneinander stellen und gewahren, daß der dritte Bruch nichts anderes ist, alsdie Summe der Zähler und Nenner von beiden vorhergehenden. Ueber-rascht durch die neue mathematische Gesetzmäßigkeit, wird kein scharfsinnigerBeobachter die Vermuthung eines ähnlichen Fortschrittes der begonnenenReihe unterdrücken können, sondern alsbald für das vierte Glied den Bruchchn halten. Die Abwickelungöfläche Fig. 5 stellt sein Schema dar, wirbemerken auf derselben zwischen dem Radius 1 und dem zweiten derselbenOrthostiche, dein Radius 9, sieben andere Radien, welche immer um dreiOrthostichen von einander abstehcn. ES liegt also der nächste Radius 2nicht auf der nächsten Orthostiche, sondern auf der vierten, der Radius 3auf der siebenten, der Radius 4 auf der zweiten, der Radius 3 auf derfünften, der Radius 6 auf der achten, der Radius 7 auf der dritten undder Radius 8 auf der sechsten. Zieht man durch die Radien gerade Linienaus der Abwickelungöfläche, so erhält man die in ihre Abschnitte aufgelösteSpirallinie, welche die fortlaufenden Radien an der Achse beschreiben, undbekommt zugleich die Anzahl ihrer Umläufe als Abschnitte, nämlich drei.Ganz eben so läßt sich nachträglich der Fall von 2/5 darstellen, die Spiralehat in dessen Schema (Fig. -4> nur einen entgegengesetzten Verlauf; mansieht ihre beiden Umläufe zwischen dem ersten und sechsten Radius als zweiparallele Linien, — die beiden Abschnitte der durch die Abwickelung dereylindrischcn Fläche getrennten Spirale, — und auf dieselbe Weise ist inFig. l und 2 der einfache Umlauf, den die Spirale hier beschreibt, aus derschiefen Linie der Abwickelungsfläche leicht zu entnehmen. Uebcrall stelltbei altcrnircnden Radialpunkten ihre fortlaufende Verbindungslinie eineSpirale dar, deren Umlaufszahl der Größe der Radienalternation gleich ist,und deren Gcsamintlängc durch die Orthostichen in eine ihrer Menge ent-sprechende Zahl gleicher Abschnitte gcthcilt wird. Drückt man beide Zahlenunter der Form eines Bruches aus, so zeigt der Zähler die Menge der Um-läufe, der Nenner die Anzahl der Orthostichen an, und giebt mithin dievollständige Formel für jedwede alternircnde Radienstellung. Die auf solcheWeise im Pflanzenreiche als formgebendc Elemente nachgcwiesencn Bruch-zahlen sind endlich unter sich genau geregelt, d. h. sie sind die Glieder einerReihe, deren beide ersten Glieder die beiden größten ächten Brüche sind