H. 121. s?5

" -s- (s-s-tuH (2-e) --- o ... (II),

welche Gleichung, durch ^ multiplicirt und von (I) subtrahirt, gibt-s- p g co -s- (i-fiseH (2— u) --- o ... (III).

Elimiuirt man aus (II) und (III) die Größe 2 — 0, so erhält manfür 01 eine Gleichung der Form

— c^o... (IV),

wo der Kürze wegen gesetzt wurde

^ — 0 -^1') 5 — xgt,

L ^ (. -s-^) 1- — (>-s-I>yt,c (i-s-i'y s — xgv.

Lößt man endlich die zuletzt gefundene Gleichung auf, so hat man— 1; -l- p/n- -e- /> ti

co — — ' ,

und dieser Werth von 00 ^ gehört also unter allen krummen Linien,

welche durch den Berührungspunkt in der Fläche gezogen werden kön-nen, für jene Curvcn, welche die größte oder kleinste Krümmung haben.Da II, d Funktionen von x und ^ sind, so wird die letzte Glei-chung selbst eine Differentialgleichung für x und / sei) 11, und sie so-wohl, als auch ihre ursprüngliche Gleichung, aus deren Differentiationjene entstanden ist, wird die Gleichung der Projektion jener Curve inder Ebene der x^ seyn.

Da der Werth von <-> doppelt ist, so sieht man, daß jedem Punkteder Fläche im Allgemeinen zwey solche Curven der größten und klein-sten Krümmung entsprechen werden. Diffcrentiirt man endlich den vor-hergehenden Ausdruck von H noch einmal, so findet man leicht, daßin der letzten Gleichung das obere positive Zeichen für den größten unddas untere negative für den kleinsten Werth von H gehört, so daß alsounter allen Curven, welche durch einen Punkt der Fläche in dieser Flächegezogen werden können, immer zwei) find, deren eine die größte, dieandere aber die kleinste Krümmung hat.

I. Um den Halbmesser dieser bepden ausgezeichneten Curvcn zuerhalten, wird man den gefundenen Werth von c,i in dem oben gege-benen Ausdrucke von H substituiren. Zu diesem Zwecke wird mau ambequemsten so verfahren