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Mathematik.

Winkels sich nun ergiebt; dann sind 1, m, n die drei Eck-puncte' des gesuchten Dreiecks. Man ist also durch Betrach-tung eines mit dem gesuchten weder durch Gleichheit nochAehnlichkeit verbundenen Dreiecks zur Construction des gesuchtengeleitet worden; freilich nicht ganz durch Analysis, sondernzum Theil durch Synthesis, aber doch vorzüglich dadurch,dafs man Eigenschaften, die ein jedes Dreieck besitzt und diemit den Forderungen der Aufgabe in Beziehung stehn, auf-suchte, welches eine analytische Behandlungsart ist.

Diese beiden Methoden, die eigentlich sogenannte syn-thetische und die der geometrischen Analysis, sind rein geo-metrisch; aber die Geometrie gestattet auch eine Behandlung,die »anz die arithmetische Form aunimmt. Offenbar läfst sich,

D '

wenn a, b, h die drei Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecksbezeichnen, der Pythagorische Lehrsatz in Form einer Glei-chung darstellen: a 2 -)- b 2 = h 2 , wenn wir uns die Seiten in

gleiche Theile getheilt denken und mit der Anzahl dieserTheile rechnen; daraus aber folgt a 2 — h 2 —b 2 = (h —[— b^) (h—b)oder ( h -j- b_) : a = a : (h — - b) , so dafs rechnend ein ganzneuer Satz gefunden worden ist: die eine Kathete ist die mittlereProportionallinie zwischen Summe und Differenz der Hypo-tenuse und andern Kathete.

Diese Anwendung der arithmetischen Methode auf dieGeometrie, deren Vortheile schon die Trigonometrie kennenlehrt, führt aber weiter, indem die eigentlich sogenannte ana-lytische Geometrie uns bei der Kenntnifs der Eigenschaftenkrummer Linien unglaublich zu Flülfe kommt; sie lehrt unstheils in einer ganz rechnenden Darstellung, in algebraischenFormeln, die auf geomttrische Betrachtungen gebaut sind, dieEigenschaften der Curven , der krummen Flächen u. s. w. solesen, als ob wir sie mit Augen sahn, und leistet dieses selbstda, wo Zeichnung und Construction unüberwindlich schwierigwürden, theils aber dient sie uns auch umgekehrt, rein ana-lytische Sätze leichter zu übersehn, indem wir sie auf geomeistrische Bestimmungen übertragen. Es ist nämlich leicht ein-zusehn , dafs sich alle Werthe einer Function y, die von xabhängt, als Ordinaten einer Curve darslellen lassen, so dafsdiese Curve ein Bild der Function y, als alle ihre Werthezugleich vor Augen legend, giebt; dadurch aber wird es