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Fall der Körper

Sin. ANQ= jf- und AN :AN

Q r(4 + ^ 3 ) ist,

y'4p -f*n 2 p)

also viel grölser seyn, und selbst auf dem

Kreisbogen wäre sie gröfser 1 .

Die Linie des schnellsten Falles, oder die Brachystochronemufs so beschaffen seyn, dafs t =ß: ein Kleinstes ist. Aberdie Geschwindigkeit v ist durch die verticale Flöhe des Falles

völlig bestimmt; ist diese nämlich = z, so ist v=2Y~ £

die

Curve sey welche man will,ds

und

es

mufs also

ß

2rga

minimum seyn,

wenn dieses Integral zwischen

den Grenzen genommen wird, welche die beiden gegebenen

Puncte, von welchemgehen soll, bestimmen.

aus und zu welchem hin die Bewegung

o o

Da aber ds nicht als ein unabhängiges

o o

zum Grunde gelegt werden kann,

O O 5

Differential der Rechnung©

weil es, nach Verschiedenheit der Richtung jedes einzelnen

so müs-

Theils der Curve ein anderes Verhiiltnils gegen dz hat,sen wir dafür ds = y (dx 2 -j- dz 2 ) setzen, so dafs

ß

y (dx 2 -J- d z 2 )

ein Kleinstes seyn mufs, indem ja der con-stante Divisor 2y g auf diese Eigenschaft keinen Einflufs hat.

Denkt man sich nun mannigfaltige Curven durch beide ge-gebene Puncte gezogen, so würde für jede derselben x eine an-dre Function von z seyn ; für jede derselben winde unser Inte-gral einen andern Werth erhalten, und wenn man von einer zueiner andern, wenig davon abweichenden überginge, so würdeim Allgemeinen eine Aenderung im Werthe des Integrals Vor-gehen, und diese Aenderung ist es, die hier die Variation desIntegrals, (die man mit <5 bezeichnet,) heifst. Aber es erhelletleicht, dafs wenn die Curve des schnellsten Falles richtig ge-zeichnet wäre , so würde man , sowohl durch bedeutendere Ab-weichungen nach der einen Seite als durch Abweichungen nachder andern Seite, ein gröfser es Integral erhalten; statt dafs alsosonst in einer gewissen Reihenfolge, wenn man verschiedene

1 Galilei glaubte, her Kreis möge diese Eigenschaft haben.Opere. Tom. II. p. 627.