auf vorgeschriebenen Wegen. 25

Linien gezeichnet hätte, die zweite ein kleineres Integral alsdie erste, und ein grölseres als die dritte gehen würde, hättedie als richtig gezeichnete Curve die Eigenschaft, dafs, wennsie die mittlere oder zweite wäre, das Integral kleiner für sie

Mit andern Worten, die richtige Curve ist diejenige, wo dasIntegral bei sehr geringen Aenderungen keine (nämlich durchdas erste Glied der Differenzreihe auszudrückende) Aenderung

Da hier das Zeichen § sich auf die Aenderungen bezieht, diestatt finden, wenn man von einer Curve zur andern übergeht,die Integration aber den Fortgang auf einer rtnd derselben Curvebetrifft, so bezieht sich die Integration auf das Zeichen d, undindem ä dx = d. dx, so ist folgende theilweise Integration un-streitig erlaubt:

Die Const. rnüfste hier so bestimmt werden, dals der Werth desIntegrals bei dem einen gegebenen Puncte , wo die Bewegunganfangen sollte, = 0 würde und dann rnüfste das Integral biszu dem andern gegebenen Puncte genommen werden, um sei-nen vollen Werth zu erhalten. Dafs diese Integration nichtblofs erlaubt, sondern nothwendig sey , ist etwas schwerer zubeweisen; indefs läfst sich wenigstens folgendes annehmen.Wenn wir uns eine der Curven, unter denen wir die richtigeaüswählen sollen, gezeichnet denken, so gehen wir zu einerandern über, indem wir den einzelnen Puncten jener eine geän--derte Lage geben. War also dx, als dem Bogen ab angehö-'rend = ay, so wird es, indem jene Puncte nach a' und b' hin-übergehen , in aS verändert und es wäre ad —u y = S .dx.

als für die erste, aber auch kleiner als für die dritte seyn würde.

leidet. Daher

„ 5 I j „ 2 \

y (d x 2 -f- <1 z 2 )

oder da die Bestimmung der Variationen keinem andern Gesetze,als der Bestimmung der Differentiale folgt,

f ds.f z

ds.yz

,f\

'j dx. d dx dz. d dz t ds.dzl

Const.

ds.yz

d s. y z

2y z 3