432

240.

§. 247. —

§. 247- (Quadratur der Lemniscate.) Für diese Cur-

ven hat man, nach §. 2o3, die Gleichung

(x i -f- y 2 ) z = 2 a z ( x z — y z ) ,

wo AP — x, PM—y (Fig. 89) ist. Diese Gleichung kann auchso dargestellt werden:

y z e=s — a z — x z a \f a z -j- 4 a: 2 .

Nimmt man daher den Hülfswinkel 9 so an, dafs man hatx z = a z (Cos 9 -j- Cos 2 9),

so ist

V^a 2 4- !\x z = a (1 -f - 2 Cos 9),

und daher auch

y z = a z (Cos 9 — Cos 2 9).

Daraus erhält man durch die Gleichung (B)a z

dF = ydx =- d<p Sin9 [ 1 -{" 2 Cos9] .

oder da man überhaupt hat

Vh

Cos (

-J- Cos 9 ’

dF

V

1 — Cos 91 -J- Cos 9

Cos <

Sin t

so ist auch

— \a z d 9 (1 — Cos 9) (1 4- 2 Cos 9)±a z d<p (2 Cos 2 9 — Cos 9 — 1) ,

und davon ist das Integral (nach §. 23o, II.)

F = j- a z Sin 9 (Cos 9 — 1) 4™ Const.

Ist F= 0 für x— o, das heifst, für 9=390°, so hat manConst =3 -j-a 2 ,

und daher das gesuchte vollständige Integral

F — ja z (1 — Sin9 4- Sin9 Cos9).

Setzt man in diesem Ausdrucke 9=0 oder (Fig. 89)x-=AB = AC — a\ / ' 2, so erhält man für die Fläche ABM ,oder für den Quadranten der Curve den Ausdruck 7a 2 , so dafsdaher die ganze Fläche der Lemniscate gleich 2 a 2 ist.

§. 248. (Quadratur der Astrois.) Setzt man für dieseCurve, wie in J. 235,

x =3 a Cos 3 9 undy = a Sin 3 9,