§. 240 . 431

Da hier der Winkel 9 derselbe ist mit dem vorhergehendeng. 244 - eben so bezeiebneten Winkel, so hat man

für die Ellipse F = ^ ab (Sin9 Cos 9~|-9),und für den Kreis F=\a x (Sin9 Cos9-j-9),also ist auch

F __ bF 7 ä’

oder wenn man aus dem Mittelpuncte einer Ellipse mit einemHalbmesser, welcher der halben grofsen Axe der Ellipse gleicht,einen Kreis beschreibt, so verhalten sich die homologen, zudemselben x gehörenden, Flächen der Ellipse und des Kreises,wie b zu a. Wird eben so aus demselben Mittelpuncte mit demHalbmesser b ein Kreis beschrieben, so verhalten sich die homo-logen Flächen der Ellipse und des Kreises, wie a zu b.

§. 246. (Quadratur der Hyperbel.) Da die Gleichungdieser Curve ist

y ' 1 _ ,

a?- 6 1 ’

so kann man dafür wieder die zwey Gleichungen annehmen:x — a Cos 9 und y = b — 1 . Sin 9;woraus man sofort erhält:

F = — ab y" — 1 y d 9 Sin 2 9 = ^ a b \Z ~— 1 . (Sin 9 Cos 9 — 9).

Um die imaginäre Gröfse aus diesem Ausdrucke wegzubrin-gen, hat man (§. io 5 .)

9 y '— 1 = log nat (Cos 9 -)- \/" — t . Sin 9) oder,1/-! = i„g(: + £),

und eben so ist

Sin 9 Cos 9 =

xy

ab V-

so dafs man daher hat:

'= [3 -*•« (-:+!)]•

Da aber y = -\/a.' 2 —a 2 ist, so hat man auch für die ge-

suchte hyperbolische Fläche AMP (Fig. 83 ) den Ausdruck

7 ab log:

F = — \Ar 2 — a 2

2 a

+ \T-

wenn F<=s 0 für x = a oder für 9 = 0 ist.