427

§. 242 .

aber aus einem Rechtecke PP'Ma , dessen Fläche gleich ydx,und aus dem rechtwinkligen Dreyecke MaM', dessen Fläche^M'a.Ma—^dy.dx ist, so dafs man daher für das Element derFläche F einer Curve den Ausdruck hat:

dF — yd x -j- j dy . dx ;

welcher Ausdruck aber nach dem oben (J. 47, I.) aufgestelltenPrincip der Differentialrechnung sofort in den folgenden einfache-ren übergeht:

d F = y dx.

Um dann die von einer gegebenen Curve eingeschlosseneFläche zu finden, wird man den aus der Gleichung dieser Curvegegebenen Werth von^y, in x ausgedrückt, in dem vorhergehen-den allgemeinen Ausdruck von dF=ydx substituiren, wodurchman die Gröfse dF als eine blofse Function von x und dx, oderwodurch man eine Gleichung der FormdF = f (#) . dx

erhält, die das Element der Fläche dieser besonderen Curve dar-stellen wird. Summirt man dann,alle diese Elemente , d. h. nimmtman das Integral von diesem Differentialausdrucke, so wird mandie gesuchte Fläche F der Curve selbst erhalten.

Dieses Verfahren wird die Quadratur der Curven genannt.

I. Das Vorhergehende ist unmittelbar nur auf rechtwinkligeCoordinaten anwendbar. Man kann aber auch die von einer Curveeingeschlossene Fläche, statt in unendlich kleine Rechtecke, de-ren Seiten den Coordinaten der x und_y parallel sind, in unend-lich kleine Dreyecke zerlegen, deren gemeinschaftlicher Scheitelin irgend einem inneren Puncte der Curve liegt.— Ist A (Fig. 99)dieser Punct, und zieht man aus ihm zu zwey nächsten PunctenM und m der Curve MN die geraden Linien AM und Am, sowird die Fläche des Dreyeckes AMm zugleich das Element dFder Fläche der Curve MN darstellen. Sey AM<=r der Radiusder Curve, und PAM = v der Winkel, welchen dieser Radius mitderAxe AX der x, oder mit sonst einer festen, durch den PunctA gehenden Geraden bildet. Nimmt man dann auf der ersten die-ser Geraden AM = r zwey nächste Puncte Q und S in der Ent-fernung AQ = r und AS—r-\-dr , und beschreibt man mit die-sen Entfernungen aus dem Mittelpuncte A die Kreisbogen Qq