Dreyfsigsles Capitel.

Quadratur der G u r v e n.

§. 242. (Element der Fläche einer Curve.) Wir

haben bereits oben (§. i 4 o, II.) gesehen, dafs man jede gege-bene geradlinige Figur in ein Rechteck verwandeln kann, unddafs (nach §. 118.) die Fläche eines Rechteckes gleich dem Pro-ducte der Basis in die Höhe desselben ist. Auf dieselbe Weisewird man also auch analog die von einer gegebenen Curve ein-geschlossene Fläche in unendlich kleine Rechtecke zerlegen kön-nen, deren Seiten dx und dy sind, wo dann das Product dx .dydie Fläche eines solchen unendlich kleinen Rechteckes bezeichnenwird.

Dieser Ausdruck dx.dy ist aber (nach §. 47, II.) einemDifferential der zweyten Ordnung gleich zu achten. Man kannes jedoch auf ein Differential der ersten Ordnung zurückführen,wenn man bemerkt, dafs in jeder Gleichung einer Curve zwischenx und y eine dieser beyden Gröfsen willkürlich angenommen wer-den kann; wo dann, dieser Annahme gemäfs, auch die andereGröfse durch dieselbe Gleichung bestimmt wird. Nimmt manalso z. B. die Gröfse y willkürlich an, so wird das erste Integraldes Ausdrucks dx.dy oder dy.dx, da dy von dx unabhängigist, gleich

ydx

seyn. Nennt man demnach F die von einer gegebenen Curve ein-geschlossene ebene Fläche, so wird das Element dieser FlächedF = y dx . . . (B)

seyn.

Man kann nämlich diese Fläche ANPM (Fig. 97) auch alsaus den Vierecken PPMM, P'P"M'M", . . . bestehend betrach-ten, deren eine Seite PM , PM', P'M ", . . . gleich der Ordi-nate jk» und die andere PP' — P'P"= dx, oder gleich dem Diffe-rentiale der Abscisse AP=x ist. Jedes dieser Vierecke besteht