§. 228 .

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also auch

h

d x

+ x-

— = Are Tanga;

• ( 3 );

und wenn man in diesem Ausdrucke x \/" — i statt x setzt:

oder = •

also auch, wenn man statt —9. V — i wieder den vorigen Werthsubstituirt, da

x V—i , _ i

Sin © t= -— und Cos <j> = —:-- ist,

Y \Z~r^Tx^ \A - **

- f = i°s(n== + 7=)'

und daherd x

fr

xi

1 + X ,, 1 + X

= lo'r-- = -loer-

° v/rr^: a 5 . - .r

• • • ( 4 ).

5.228. (Integration desAusdrncks ^<pSin TO <pCos'”<p).

Durch ein dem vorhergehenden(J.227, III.) ähnliches Verfahren,oder auch durch andere Mittel, könnte man eben so die Integralefx m dx (1 j- ax) n und f x m dx (1 + ax 1 )’ 1 u. f.ahleiten, wo m und n ganze oder gebrochene, positive oder ne-gative Zahlen bezeichnen ; und diefs ist es auch, was in den obenangeführten Werken geschehen, und bisher in allen anderenSchriften über diesen Gegenstand beybehalten worden ist.

Allein zu unserer Absicht wird es angemessener seyn, ausden einfachen, in $.227, Nr. II. gegebenen trigonometrischenAusdrücken, die sich im Grunde, wie wir oben (§. 102, I) ge-sehen haben, auf die einzige Grundformel

d . Sin 9 = d 9 Cos 9 oder f d 9 Cos 9 = Sin 9zurückführen lassen, das Integral

fd<p Sin m 9 Cos" 9

zu entwickeln, wo m und n blofs ganze, übrigens entweder po-=sitive oder negative Zahlen bezeichnen, indem dieses Integral,wie wir bald sehen werden, zur Auflösung der hier in Rede ste-henden Probleme vollkommen hinreicht.

I. So lange nun die Gröfsen m und n blofs positive ganzeZahlen andeuten, könnte man das gesuchte Integral