360 §. 2 it.

Wenn man von irgend einem Puncte der auf diese Weiseerzeugten cylindrisclien Oberfläche zu einem anderen nächstfol-genden Puncte dieser Fläche so übergeht, und dabey immer in der-selben Lage der erzeugenden Linie bleibt, so werden die beydenGröfsen a und ß für beyde Puncte auch denselben Werth behal-ten, oder sie werden beyde constant seyn, und auch constantbleiben für alle Puncte des Cylinders, die in einer und derselbenLage der erzeugenden Geraden enthalten sind. — Wenn man aber,von demselben ersten Puncte, zu einem solchen nächstfolgendenPuncte der cylindrisclien Fläche übergeht, der einer anderenLage der erzeugenden Geraden angehört, so werden auch beydeGröfsen a und ß zugleich geändert werden.

Daraus folgt, dafs die beyden Gröfsen a und ß, oder wasdasselbe ist, dafs die zwey Gröfsen

x — az und y —■ bz

beyde zugleich constant, und auch zugleich veränderlich sind,dafs sie demnach eine von der anderen abhängen, oder dafs jedevon ihnen eine Function der anderen seyn wird. Bezeichnen wirdemnach wieder die Function überhaupt durch f, so hat man dieGleichung

, y — bz = /. (x — az) . . . (A);und da die Eigenschaft, welche durch diese Gleichung ausgedrücktwird, allen Cylindern gemein und für diese Flächen charakteri-stisch ist, so wird auch (A) die allgemeine Gleichung der Cylin-der seyn.

I. Wenn man die Oberfläche eines Cylinders durch die co-ordinirte Ebene der xy schneidet, so wird man, da die Gleichungdieser Ebene (nach §. 189, II.) 5 = 0 ist, für die so entstehendekrumme Linie des Durchschnitts beyder Flächen die zwey Glei-chungen haben:

z — c,

y — bz = f(x — az)

Da aber diese Curve ganz in der Ebene der xy liegt, alsoeine ebene Curve ist-, so werden sich diese zwey Gleichungen,die nach §. 182, für eine Curve im Raume nothwendig sind, hier-auf die einzige Gleichung

./=/(»