342 §. 2 io.

dPy der Ordinate PM = y den Ausdruck

dPy = dy — dy = y" — 2/ -f* J 1

oder auch

d 1 y = ilf'ö — M’j.

Da aber die durch die beyden ersten Puncte M und M' ge-zogene Gerade TMM' die Ordinate P"M" in dem Puncte c schnei-det, so sind die beyden rechtwinkligen Dreyecke MM'a undM'bc gleich und ähnlich, also ist auch bc = M'a, und daherd*y = M"b — bc oder d-y = M" c ,d. h. die kleine Linie M"c ist das Bild des zweyten Differentialsder Ordinate y.

Demnach erhalten -wir für die dritte Ordinate P"M' denAusdruck

y"= PM - f all' -f- bM",

oder da PM=y , aM'z=.bc=:dy und cM"= d*y ist:

f = y + 2d x +

I. Da die Curve in der Zeichnung der Fig, 97 gegen dieAbscissenaxe AX convex erscheint, so ist auch das zweyte Dif-ferential M"c — dry positiv. Ist aber die Curve gegen AX con-cav, so fällt der Punct M" derselben zwischen die Puncte b undc, und dP y wird negativ, w : ie man in Fig. 97, A sieht.

5. Q io. (Tangenten und Normalen der Curven.)

Wenn die Gerade TM (Fig. 97) blofs durch zwey nächste PuncteM und jM der Curve geht, ohne diese Curve in der ersten Nähedieser Puncte zu schneiden, wie diefs in §. 209. vorausgesetztworden ist, so hat die Gerade TM mit der Curve blofs ein Ele-ment MM' gemeinschaftlich, und heifst in diesem Zustande dieTangente (oder die Berührungslinie) der Curve für den Punct M.Diese Tangente drückt demnach gleichsam die Richtung aus, wel-che der diese Curve beschreibende Punct, während seiner Be-wegung, in dem Puncte Afliat, und man sieht, dafs es nichtohne Interesse für die Kenntnifs einer krummen Linie seyn wird,diese Richtung ihrer Krümmung für jeden Punct derselben zuerhalten.

Eben so wird eine auf diese Tangente in dem Berührungs-puncte M derselben errichtete senkrechte Gerade MR die JYo/v