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§. 1Ö4.

Da der gegebenen Erklärung ähnlicher Pyramiden zuFolgedie Grundflächen derselben ähnliche Figuren sind, so hat man(5- 124.)

G : g = AB 2

a b 2

A B

wo man statt —r auch das Yerhältnifs jeder zwey anderen lio-ab

mologen Kanten, z. B.-, -, — u. f. substituiren kann.

P a c o a k

Daraus folgt sofort, dafs die Grundflächen, also auch jezwey andere homologe Seitenflächen, also auch die ganzen Ober-flächen zweyer ähnlicher Pyramiden sich verhalten, wie die Qua-drate ihrer homologen Linien.

I. Wählt man das letzte der oben erwähnten Verhältnisse,so hat man

G : g = H n - : h\

Multiplicirt man aber diese Proportion durch die folgende

: \h — H : h,

so erhält man

~ G H : \ g h — H 3 : A*,also auch, da V = jG H und a = jgh ist-:

V s v e= II 3 : h 3 ,

oder die Volumina zweyer ähnlichen Pyramiden verhalten sichwie die Würfel ihrer Höhen, oder überhaupt wie die Würfelihrer homologen Seiten.

II. Da sich aber alle ähnliche Poljeder in solche ähnlicheund ähnlich liegende dreyseitige Pyramiden auflösen lassen, soseyen V und i> die zwey ersten dieser Partialpyramiden der bey-den Polyeder, und A, a zwey homologe Linien derselben, z. B.die zwey Kanten, welche diese Pyramiden mit den zweyten ih-nen zunächst anliegenden Partialpyramiden V und v verbinden.Seyen eben so B und b die zwey Kanten, welche diese zweytenPyramiden mit den ähnlichen nächstfolgenden dritten verbinden,und G, c die Kanten, welche diese dritten Pyramiden mit denihnen anliegenden vierten verbinden u. f., so hat man nach demVorhergehenden

F : 0 = A 3 : a 3 ,r ; V = B 3 : b 3 ,

V'\ n"= C 3 ; U, f,