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§. 121 -

dieser Seiten sowohl die Seite als auch den Winkel AOB hal-birt (J. iio.), so ist dieses Loth oder die Höhe des DreyecksAOB gleich

OM = r Cos a — r Sin ß,

wo wieder r den Halbmesser OA des Polygons bezeichnet.

Eben so ist auch jede Seite des Polygons oder die Basis deserwähnten Dreyecks ABC gleich

AB — 2 r Sin a = 2t. Cosß,

slso ist auch die Fläche (J. 118, V.) dieses Dreyecks gleich

r" Sin a Cos a ,

und daher die Fläche F des ganzen Polygons von n Seiten :

F = n r 2 Sin nt Cos nt = ~ n r* Sin c a = itir 1 Cos aß,oder endlich, wenn man den obigen Werth von a oder ß sub-stituirt:

^ Sin

36o 0

§. (Bestimmung der Seiten des regelmäfsi-gen Polygons.) Nach dem Vorhergehenden ist für ein Po-lygon von n Seiten

i Kn

ß = 9°

180

= - und

n

a.

Man hat daher für ein regeimäfsiges Polygon von

3 Seiten ra = 3, a=6o", ß = 3o°, und daher Cos3ß = o,

4 » n = 4) « = 45°, (3 = 45", » ji Sin 4ß — o,

5 » n = 5, nt = 36°, ßrr=54°, » » Cos5ß = o,

6 >* 72 = 6, oc = 3o°, ß = 6o°, » » Sin 6ß = o u. f.

Nennt man aber x die Seite des regelmäfsigen Polygons,

und setzt man den Halbmesser r desselben gleich der Einheit,so ist, nach §. 120:

x = 2 Cosß.

Vergleicht man damit die Ausdrücke, welche wir oben (J. 98.)für die Sinus und Cosinus der vielfachen Bogen gegeben haben,so hat man (wenn man a. a. O. statt x die Gröfse ß, also auchstatt q die Gröfse 2 Cosß, d. h. die Gröfse x setzt)

für das regelmäfsigc Dreyeck . . . Cos 3 ß = o oder

x z — 3 = o,