210 §. ns.

also sind auch (§. 108, I.) die beyden Dreyecke D AF und CBEunter sich gleich.

Nennt man daher F den Flächenraum, den das ViereckAB ED cinschliefst, so ist

F — DAF = F — CBE ,

oder es ist die Fläche des Parallelogramms ABEF gleich derFläche des Parallelogramms AB CD, d. h. beyde Parallelogrammesind äquivalent.

Dasselbe findet man auch, wenn der Punct F auf C, oderauch, wenn er zwischen C und D fällt.

I. Da das Rechteck (§. 81.) nur ein besonderer Fall desParallelogramms ist, so sind auch alle Rechtecke äquivalent, dieunter sich, oder auch die mit einem gegebenen Parallelogrammgleiche Rasis und Höhe haben.

II. Da endlich jedes Parallelogramm durch seine Diagonalein zwey gleiche Dreyecke gelheilt wird (§. 1 i 6.) , so ist auch je-des Dreyeck ABC oder ABD äquivalent der Hälfte des Paral-lelogramms ABCD (Fig. 3 i), das mit ihm gleiche Basis undgleiche Höhe hat.

5.118. (Ausmessung des Parallelogramms.) Sey

ABCD (Fig. 33 ) ein Rechteck, dessen Seiten AB = CD undA D = B C sind. Wenn sich die beyden Seiten AB und ADdurch irgend eine kleinere Linie Ab=zAd genau ausmessenlassen, so wird man, wenn man das Quadrat Ab cd construirt,dieses Quadrat so oft auf die Seite AB legen können, als dieseSeite AB die kleinere Ab in sich enthält. Dadurch erhält mandas Rechteck AB da, und dieses Rechteck wird sich wieder sooft auf die Seite AD legen lassen, als diese Seite A D die klei-nere Ad in sich enthält.

Demnach enthält die Fläche des Rechtecks ABCD dasQuadrat Ab cd der kleineren Linie Ab so oft in sich, als dasProduct AB X AD Einheiten in sich enthält, wenn man diebeyden Seiten AB und AD als Zahlen betrachtet, deren Ein-heit die kleinere Linie Ab vorstellt.

I. Wenn aber die beyden Seiten AB und AD unter sichincommensurabel sind (§. 3 o, I.), so werden sie sich durch irgendeine gewählte Einheit Ab = Ad nicht mehr beyde zugleich ge-