209

fl

§. 117 .

selben. Denn es ist (g. 106, Gleichung A)

C l = A D 1 -(- C D l — 2 AD . CD Cos A D C undBD Z = AB 1 -)- AD 1 — 2 AB . AD CosBAD.

Addirt man diese Gleichungen und bemerkt, dafs nach demVorhergehenden AB = C D und

jDC -j- BAD = 180 0 , also Cos ADC = — CosBADist, so erhält man

A& + BD 2 = AB 1 + BC 1 -f- CD 1 -|~ AD 1 oderA& + B D z = 2 (AB* -)- BC l ).

5.117. (Aequi valente Parallelogramme.) Parallelo-gramme sind äquivalent (oder sie schliefsen gleiche Flächen ein,5. 83 .), wenn sie gleiche Basis und gleiche Höhe haben.

Man nennt aber Höhe eines Parallelogramms das Loth D M(Fig. 3 1), welches von irgend einemPuncte einer Seite desselbenauf die gegenüberstehende Seite AB, oder auf die Basis der Fi-gur gefällt wird, welche Lothe, als Parallelen zwischen Parallelen,nach §. 116, I. alle unter sich gleich sind. Diesem gemäfs istalso auch diellöhe eines Dreyecks DAB (Fig. 3 i) dasLoth, wel-ches von dem Scheitel D eines Winkels des Dreyecks auf diediesem Winkel gegenüberstehende Seite AB gefällt wird,- welcheletzte Seite dann auch die Basis des Dreyecks genannt wird.

Seyen ABC D und AB FE (Fig 3 e) zwey Parallelogramme,deren gemeinschaftliche Basis AB ist, und von welchen die derBasis gegenüberstehenden Seiten, CD und EF in einer einzigen,der AB parallelen Geraden DE liegen, so dafs demnach jedesvon einem Puncte dieser Geraden DE auf die Basis AB gefällteLoth die Höhe dieser beyden Parallelogramme vorstellt.

Da (nach § i»6* I.) Parallelen zwischen Parallelen gleichsind, so ist

AB — CD und AB = FE,

also auch

CO = FE,

und wenn man zu beyden Seiten dieser Gleichung die Gröfsc CFaddirt:

* CF = CE.

Überdiefs ist, da 4 C und AE Parallelogramme sind,AD—BC und AF = BE,

Littt'ow’s Anfangsgr. J, gesamrnt. IVIathcm*

*4