Achtzehntes Capitel.

Parallelogramme und r e g e 1 m ä f s i g e Polygone.

5.116. (Eigenschaften des Parallelogramms.) Ist

AB CD (Fig. 3 i.) ein Parallelogramm, und sind AC, BD dieDiagonalen desselben, so sind, der Erklärung (§. 81.) dieser Fi-gur zufolge, die gegenüberstehenden Seiten derselben parallel,also sind auch die Wechselwinkel (§. 86.) a und c, so wie aucha und c, unter sich gleich, also sind auch (§. 108.) die beydenDreyecke ABC und ADC selbst unter sich gleich, das heilst:In jedem Parallelogramm sind die gegenüberstehenden Seitengleich , und das Parallelogramm wird von jeder der beyden Dia-gonalen halbirt.

I. Und umgekehrt:'Sind die gegenüberstehenden Seiten ei-nes Vierecks paarweise gleich, so sind auch (§. 10O.) die beydengenannten Dreyecke gleich, oder es ist a=tc und a = c , d. h.die gegenüberstehenden Seiten sind parallel oder das Viereck istein Parallelogramm. •— Parallelen zwischen Parallelen sind gleich.

II. Wenn auch nur ein Paar der gegenüberstehenden Sei-ten, z. B. AD und BC eines Vierecks gleich und parallel sind,so ist das Viereck ein Parallelogramm, weil, wegen des Paral-lelismus dieser beyden Seiten, der Winkel a = c' und a! — c,also wieder die beyden erwähnten Dreyecke gleich, also auch diezwey andern Seiten AB und CD unter sich gleich sind.

ID. Die beyden Diagonalen AC und BD halbiren sich inihrem Durchschnittspuncte O , w'eil in denDreyecken ADO undBCO die Seiten AD und BC, und die beyden diesen Seiten an-liegenden Winkel gleich sind.

IV. In jedem Parallelogramm sind die in der Richtung derDiagonalen einander entgegenstehenden Winkel unter sich gleich,oder es ist A = C und jB = D.

V- Die Summe der Quadrate der Diagonalen eines Paral-lelogramms ist gleich der Summe der Quadrate der Seiten des-