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§. 107 .

fort aus den Gleichungen (B) des §. 106, dafs

a da d . , ß ß' . „

_ — _, - = —, also auch - = -? ist,

ßßyy 77

I. Eben so auch umgekehrt: »Sind in zivej Drejecken dieSeiten proportional so sind die Dreiecke ähnlich .« Denn ausder Gleichung (A) des g. 106. folgt für das erste Dreyeck

11

ß

Cos A

1 + a*

und eben so für das zweyte

H Cos Ä = i 4 “

ß T P

a~

und da nach der Voraussetzung •“=£. und | =

PP P

auch

Cos ^ = Cos A',

und daher auch (§. 941 D) der Winkel A = Ä.auch B = B' und C = C'.

V

ist, so ist

Eben so folgt

II. Dreyecke sind auch ähnlich, wenn sie einen Winkelgleich, und die zwey ihn einschliefsenden Seiten proportionirthaben.

Q fl'

Denn ist A = A' und ^ so folgt aus der Gleichung (A)

7 ^ ß ßy

£-|_I

7' T ß

2 Cos^' =

ßY’

und da von diesen zwey Gleichungen die ersten Theile, nachder Voraussetzung, gleich sind, so ist auch

ßy ß'y’

welcher Ausdruck, mit der gegebenen Gleichung

ß = £

7 7'

verbunden, sofort gibt

a a , . ct a

~ = -7, und eben so - — •

ß ß 77

III. Wird endlich in irgend einem Dreyecke ABC (Fig. 4 )zu einer Seite AC eine Parallele ac gezogen, so sind die Drey-