a SinB

a Sin C

Tang A —

y — a Cos B

ß — a Cos C

. . (F)

mit noch zwey analogen Doppelwerthen für TangU und Tang C.

III. Die vorhergehenden Gleichungen, ja schon die einzigeGleichung (A), aus welcher sie alle sehr leicht abgeleitet werdenkönnen, enthalten alle Eigenschaften des Dreyecks, daher auchdurch sie alle Probleme, die man über das Dreyeck aufstellenkann, aufgelöst werden können, wie wir bald näher sehen wer-den. So zeigt z. B. die Gleichung (C) unmittelbar, dafs in jedemDreyecke die Summe zweyer Seiten immer gröfser seyn mufs,als die dritte Seite, weil sonst der Werth von Sin-i-^ oder Cos --Agleich der Quadratwurzel aus einer negativen Gröfse, also un-möglich seyn würde. — Da ferner jeder Winkel C eines Dreyeckskleiner als i8o°, also auch Tang \C immer positiv seyn mufs, sozeigt die Gleichung (E), dafs die beyden Gröfsen (a — ß) und(A — B) immer entweder zugleich positiv, oder zugleich negativsind, d. h. dafs in jedem Dreyeck der gröfsere Winkel auch im-mer der gröfsern Seite gegenüber steht, und umgekehrt.' — Dar-aus folgt wieder unmittelbar, dafs in jedem rechtwinkligen Drey-ecke, in welchem immer der rechte Winkel der gröfste von al-len ist, jede Kathete kleiner ist, als die Hypotenuse, wie auchschon aus der ersten Gleichung des §. 92. hervorgeht, oder mitandern Worten, dafs das Loth, welches man von einem Puncteaufser einer Linie auf diese Linie fällt, die kürzeste Distanz desPunctes von der Linie ausdrückt, daher auch diese Distanz alsdas Mafs der Entfernung eines Punctes von einer Linie angenom-men wird..

5 . 107. (Aehnlichkeit der Dreyecke.) Ähnliche Drey-ecke sind nach $. 83 . solche, wo in dem einen jeder Winkel, ei-nem Winkel des andern Dreyecks gleich ist. Die in solchenDreyecken den gleichen Winkeln gegenüberstehenden Seitenwollen wir die homologen Seiten nennen.

Diefs vorausgesetzt, können wir den Satz aufstellen:ähnlichen Dreyecken sind die homologen Seiten unter sich propor-tionirt.«

Seyen nämlich die beyden Dreyecke ABC und A'B'C' ähn-lich, und der Winkel A = Ä , B=zB‘ und C — C, so folgt so-