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§. 86 .

5- 86- (Eigenschaften der parallelen Linien.)

Wenn AB und CD (Fig. 3 ) zwey parallele Grade sind, das heilst,nach 79, V., wenn der Winkel x=y ist, ist ist auch (A) derWinkel u—y, und eben so ist (Bj die Summe der beyden Win-kel m undjy, oder auch der beyden n und u gleich zwey rechtenWinkeln.

Man nennt aber die beyden Winkel u undjy (oder auch mund n) die Wechselwinkel, so wie man die beyden Winkel mundy (oder auch n und u) die inneren Winkel der beyden Paral-lelen zu nennen pflegt.

Bey parallelen Linien sind daher, nach fAj, die Wechsel-Winkel gleieh, und, nach (~BJ, ist die Summe der zwey innerenWinkel gleich 2 B.

Denn , da xz=y, und da immer (nach §. 84, E.) die Schei-telwinkel x — u sind, so ist auch

u — y .. . wie in (AJ.

Da ferner x =y, und da immer (nach 84 ) C.) die Summeder zwey Nebenwinkel

m -}- x = 2 R

ist, so hat man auch

m -f y = 2 R . . . wie in ('Bj.

I. Jede dieser drey hier ausgesprochenen Bedingungen

x=y, u=y, m-j-y=aR,hat die beyden anderen zur Folge. Denn hat z B. die zweyteBedingung Statt, oder ist u—y, so hat man (da nach 84, E.immer ussx ist), auch sofort x—y, vrelches die erste Bedin-gung ist. Da üherdiets auch immer (nach §. 84 , C.) die Summeder Winkel u -j- m — 2 ft seyn mufs, so ist auch y m = 2 B,welches die dritte Bedingung ist.

II. Und eben so umgekehrt: Hat eine dieser drey Bedin-gungen nicht Statt, so haben auch die beyden anderen nichtStatt.

Denn ist z. B. x =y -j- a , wo a irgend eine positive odernegative Gröfse bezeichnet, so hat man doch immer (nach

$. 84, C.)

m x = 2 R und n -f- y = 2 R.