Dreyzehntes Capitel.

Reihen.

5. 72. (Geometrische Reihen.) Wenn von den Glie-dern einer Reihe je zwey nächste immer dasselbe VerhaltniJ's(§. 37.) haben, so wird die Reihe eine geometrische genannt. Ista das erste Glied derselben, und ist b das Verhältnifs je zweynächster Glieder, so ist die allgemeine Form der geometrischenReihe

a -{- ab -j- ab 2 -j- ab 3 -j- . ...

Diese Reihe ist aber schon oben (§. 23 .) vorgekommen, undwir haben dort gesehen, dafs sie aus der Division der Gröfse a,durch (1 — b) entsteht, so dafs man demnach hat

—= a ab ab ' 1 ab 3 .

1 ■—b

Das allgemeine oder n te Glied U einer solchen Reihe istoffenbar

V = ab n ~',

da man das erste, zweyte, dritte Glied der Reihe erhält, wennman in U die Gröfse n= 1 , 2, 3 , . . . setzt.

1 . Welches ist aber das summatorische Glied S dieser Reihe,d. h. welches ist diejenige Function von dem Index n der Reihe,der die Summe der 2, 3 , 4 » • • • ersten Glieder gibt, wennman in ihm n — 2, 3 , 4 > • • • setzt.

Setzt man die Rpilie bis zu ihrem rc ten Gliede fort, so hat

man

*S = cz Z> —{— a. 5 " —|— <z Z> 3 —. . .-f- ab n ~ 3 -)-aö n_2 -j-aalso auch, wenn man alle Glieder dieses Ausdruckes durch bmultiplicirt:

Sb s= ab ab 3 -{- ab 3 . . . -f- ab n ~‘‘ -f- ab n ~' -j - ab n .

Subtrahirt man diese beydcn Ausdrücke von einander, soheben sich von den zwey Reihen alle Glieder, bis auf das erste