§. 31 . 47

ten, da man doch, der Voraussetzung gemäfs , eine ganze Zahlt

nämlich die Zahl 2 erhalten sollte, indem \f 2 oder 2’, mit sichselbst multiplicirt, die Zahl 2 wieder geben mufs.

I. Die Gröfse 2, und eben so auch die Gröfsen ^/ 3 , \^ 5 ,

yb, . . . so wie Y 2, \/ 3 , . . . sind demnach, weder ganzeZahlen, noch auch Brüche. Sie sind daher Gröfsen ganz eige-ner Art.

Wenn wir z. B. von der Zahl 2 sagen, dafs sie die EinheitzweyMal, oder dafs sie eine zehn Mal kleinere Einheit, d. h. dieGröfse zwanzig Mal, dafs sie die Gröfse T -^- zweyhundertMalgenau in sich enthalte, und so von jeder anderen ganzen Zahl,und selbst von jedem gegebenen Bruche, so läfst sich dagegenvon der Gröfse \/~2 nicht mehr sagen , wie oft sie irgend eine,auch noch so kleine Einheit, genau in sich enthalte. Aus diesemGrunde nennt man alle diese mit irgend einer Einheit unmefsba-ren Gröfsen incommensurable oder auch irrationale Zahlen, weildas Verhällnifs fraiioj dieser Zahlen zur Einheit nicht mehr an-geblich ist.

II. Obschon wir aber die irrationalen Gröfsen, ihrer Na-tur nach, nicht ganz genau angeben können, so werden wir dochMittel finden, uns dem wahren Werthe derselben immer mehr,und so viel wir wollen, zu nähern, ohne sie jedoch je völlig zuerreichen. So werden wir z. B. finden, dafs der Werth derQuadratwurzel aus 2 oder dafs 2 ist

y» = 1.414213 562873...

Diefs wird uns demnach auch nicht hindern, mit diesen Gröfsenselbst, wie mit allen anderen, zu rechnen, wenn wir uns nurdabey erinnern, dafs die Besultate dieser Rechnungen blofse An-näherungen zur Wahrheit sind, mit denen wir uns ja auch sonst oftgenug begnügen müssen. Wir werden bald sehen, dafs beynahe alleunsere Berechnungen des Himmels und der Erde auf diesen irra-tionalen Zahlen beruhen, und dafs die Natur selbst, in der Con-struction ihrer bewunderungswürdigen Werke, eine Art von Vor-liebe für diese Zahlen gehegt zu haben scheint.

§• 3 i. (Imaginäre Gröfsen.) Da (nach §. 21.) zweypositive, so wie auch zwey negative Factoren, immer nur ein