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Sechstes Capitel.

Irrationale und imaginäre Grölsen.

5 - 3 o. (Irrationale Grölsen.) Betrachtet man die er-sten natürlichen Zahlen 1, 2, 3 , . . . und ihre zweyten, drit-ten, . . . Potenzen, so hat man

I. natürliche Zahlen 1, 2, 3 , 4 > • • •

II. Quad rate derselben 1, 4, 9, 16, . . .

III. Würfel derselben 1, 8, 27, 64, . . .

woraus sofort folgt, dafs z. B. die Quadratwurzel von 4 gleich2, die Quadratwurzel von 9 gleich 3 , die Kubikwurzel von 8gleich •>. ist, u. f.

Allein welches sind die Quadrat- und Kubikwurzeln derje-nigen natürlichen Zahlen, die zwischen die Zahlen der ReiheII. und III. fallen, welches sind z. B. die Quadrat- oder Kubik-wurzeln von 2, 3 , 5 , 6 u. f. ?

Obschon wir die vollständige Antwort auf diese Frage erstweiter unten geben werden, so kann man doch hier schon sehen,dafs z. B. die Quadratwurzel aus 2 oder dafs die Gröfse \f 3keine ganze Zahl seyn wird, da sie, wie man aus der Verglei-chung der Reihen I. und 11 . findet, zwischen die Gröfsen 1 und2 fallen mufs, zwischen welchen keine ganze Zahl fallen kann.

Allein eben so leicht wird man auch sehen , dafs dieselbe

Gröfse \f 2 auch kein Bruch seyn kann. Welches nämlich auch

dieser Bruch seyn möchte , so müfste er, auf die zweyte Potenz

erhoben, die ganze Zahl 2 wieder geben. Allein um einenBruch

auf die zweyte Potenz zu erheben, mufs man (nach §. 27, I.) den

Zähler desselben sowohl, als auch den Nenner mit sich selbst mul-

tipliciren. Wenn man aber einen Bruch, der nach §. i 5 . schon

auf seinen einfachsten Ausdruck gebracht worden ist, wie

JL £ i.j ) 3) 4 > * * •

mit sich selbst multiplicirt, d. h. wenn man das Quadrat diesesBruches sucht, so mufs man offenbar wieder einen Bruch erhal-

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