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§. 29.

5. 29. (Potenzen mit gebrochenen Exponenten.)

■ Nach der oben (§. 24, I.) gegebenen Erklärung einer Wurzel,ist der Ausdruck

diejenige Zahl, welche auf die n t6 Potenz erhoben, gleich a wird,also ist auch

Ist aber n eine ganze Zahl, so hat man, nach 27,a = (tt n )".

Setzt man daher diese beyden Ausdrücke von a einandergleich, so hat man

d. h. Potenzen mit gebrochenen Exponenten sind mit den analo-gen Wurzelgröfsen identisch.

I. Auch diesen Ausdruck

wird man also nur als eine andere Bezeichnung von y a betrach-

den ist, deren Exponenten ganze positive Zahlen sind.

Diese Erweiterung der eingeführten Bezeichnungen, oderder aufgestellten Begriffe durch Analogie oder Induction, ist aufdem Gebiete der Mathematik von der äufsersten Wichtigkeit,und sie ist oft schon die Quelle der interessantesten Entdeckun-gen geworden.

II. Stellen wir die vorhergehenden Vorschriften der Rech-nung mit Potenzen zur bequemen Übersicht zusammen, so hatman, welche Zahlen auch die Gröfsen m und n bezeichnen,für die Multiplication. . . . a m , a " = a m + ",

(a n )" = (ya)‘

woraus sofort folgt:

a° und a~ n

durch Analogie aus der Rechnung mit solchen Potenzen entstan-