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§. 140.

Keplcr's (besetze.

173

Fläche U»UH eines elliptischen Sectors, sowohl den Winkel UHU als auchden Radius Victor Hl' zu finden, welcher zu diesem Seetor gehört.

H. 140. (Anwendung dieses Gesetzes auf die Bewegung der Planeten;mittlere und wahre Planeten.) Es kann nicht unsere Absicht seyn, hierdie umständliche Auslösung dieses geometrischen Problems zu geben. DasFolgende wird genügen, um wenigstens den Weg kennen zu lernen, wel-chen man dabei einschlagen must.

Man denke sich einen um .8 (Fig. 23) als Mittelpunkt beschriebenenKreis , denen Halbmesser H.V — HlU — HAI gleich der halben

großen Are EU — U.A. der Ellipse IUUA ist. In diesem Kreise bewegesich ein Punkt AI gleichförmig und so, daß er mit dem wahren Plane-ten, der in der Peripherie der Ellipse ei übergeht, immer zu gleicher Zeitdurch die große Axe ^1- derselben, zu beiden Seiten des Punktes Hgeht. Wenn also der Planet im Perihelinm U ist, so ist jener Punktin IU, und dle Fläche des elliptischen Sectors, so wie der Bogen diesesKreises, die beide von der Linie HUIU gezählt werden, sind hier beidegleich Null. Wenn aber nach einer halben Revolution der Planet inder Ellipse nach und jener Punkt in der Peripherie seines Kreisesnach .V kömmt, so ist die von dem Radius Bector in der Zwischenzeitbeschriebene Fläche des elliptischen Sectors genau die Hälfte von derFläche der ganzen Ellipse, so wie auch der von jenem Punkte beschrie-bene Bogen UM.A/ genau die Hälfte der ganzen Peripherie seines Krei-ses ist. Und dasselbe Verhältniß zwischen dieser Fläche des Sectors unddem Bogen des Kreises wird auch für jede andere Zeit Statt haben,weil beide, nach der vorhergehenden Voraussetzung, gleichförmig wach-sen , und weil beide von der Linie 8UIU an gezählt werden. Ist alsoseit jener Epoche, wo der Planet durch sein PeriHelium 1! ging, z. B.der zwanzigste Theil der Umlaufszeit verflossen, und ist UIZH ebenfallsder zwanzigste Theil der Fläche der ganzen Ellipse, so wie UM der zwan-zigste Theil des Umfangs des Kreises, oder endlich, was dasselbe ist,der Winkel U'HAI der zwanzigste Theil von 360 Graden, so wird derPlanet in U und jener Punkt zu derselben Zeit in AI seyn. Man siehtdemnach, daß man statt jenes elliptischen Sectors den Winkel iUHAIdieses Punktes subftituiren kann, und daß unser Problem sich eigentlichdarauf reducirt, aus dem gegebeneu Winket IUHAI jenes Punktes denWinkel UHU und den Radius Vectvr HU des Planeten zu finden.

Nehmen wir z. B an, ein Planet sey im Anfange eines Jahresdurch sein PeriHelium gegangen, und seine Umlaufszeit um die Sonnebetrage genau 100 Tage. Wenn die große und kleine Halbaxe seinerelliptischen Bahn 5 und 4 Halbmeper der Erdbahn beträgt, so hält dieOberfläche dieser Planetenbahn 62.8318 Quadrathalbmesser der Erdbahn.Es ist nämlich bekannt, daß die Oberfläche einer jeden Ellipse gleich demProdukte ihrer beiden Halbaren um die schon oben (H. 139) angeführteZahl 3.14159 ist.

Dieß vorausgesetzt, wollen wir den Ort U (Fig. 23) dieses Plane-ten in seiner Bahn für irgend einen gegebenen Tag, z. B. für den1. Februar desselben Jahres, suchen. Zu diesem Zwecke wird man nach demersten Gesetze Kepler's (H. 132 und 139) folgende Proportion haben: dieUmlaufszeit des Planeten wird sich zu der Zeit vom Anfang des Jah-res bis zum ersten Februar, d. h. zu der Zeit von 31 Tagen, ;o ver-halten, wie sich die Fläche der ganzen Ellipse zu der Fläche UUH desSectors verhält, welchen der Radius Vector HU des Planeten in 100 Ta-gen beschreibt, oder wenn dieser Sectvr x heißt, so hat man

100 : 31 — 62.8318 : x

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