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Orbinaten einer Euroe betrautet (»gl. Eombiitatenunb Surbe), beren 3eid)nung bann e ' ne 9 ra “pljifche Sarftellung ber g. iftu. baS ©efe(5, nad)welchem bie Beränberlicheit bon eiitanber abljängen,aufs BoHlommenfte »eranfchaulicht; jebe g. läßtftch als eine (jufammenljängenbe bb. unterbrochene)Eurbe barftelleii. Stfeteue SDiet^obe ift bom groß»ten Bortbeile fiir jegliche g., in beren SBefett maneinen Einblicf tbitn will, gang öefonberS aber fiirentpirifcSe g-en, bieljöebß feiten anberS barfteübarftnb, weswegen bie grapbifd)e ®arfteHung in ber'dtengeit für etnpirifcbe g-en bie anSgebehutefte 2tu-wenbung erfährt. Ser SBidjtigleit ber @ad;e we-gen erläutern wir bieS an einem Beifpiele: SieEtnmobneraabl einer ©tabt ijl eine g. ber 3 e 'l;weiß man nun g. B., baß am Beginne bergabre1830, 32, 34 . . . jene Eiitmobtteraabl 15,200,15,000, 14,900 . . . gewefen ift, fo faitn manfolgeitbe Qeidjmmg entwerfen:

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Eine Betrachtung berfelbeu madjt lebe StuSetit-anberfc^mtg ihrer SnfertignugSart überflüfftg; biebermittelft ber obigen Slngabe gefunbenen SßunfteP, P 1( P 2 . . . werben am gmedanäßigften nid)tbnrd) gerabe Sinien, wie bieS auch gefd)eheit famt,fonbern bitreb einen freien gug »erbunbeu, berbann ben Sauf ber g. fo gut wie möglich barfictlt.SKan fiebjt hier ohne 2Küf)e nicht nur, weldje. Ein-wofmerjaf)! ju einer beliebigen $eit (natürlich nurangenähert, wie bei biefer grage allein erwartetwerben faitn) bie betr. ©labt hatte, fonbern and)u.2l., baß bie Beoöllerung bis 1834 abgenommen,»oit ba bis 1846 angenommen, bis 1852 wieberab- u. enblid) unb awar ftärfer bis 1864 wieberaugenommen hat; iura, man befommt ein beut-lid;eS Bilb »on ber Be»öIferungSbcmegung, wel-ches eine bloße Säbelte nie gibt. Slußerbem, baßbie graphifebe Sarftellung ftetS baS befte Bilb »oneiner g. gibt, beruht ber Bortheil ihrer Slitwenb»nug fiir empirifd)e g-en barin, baß man ans einerfolgen Sarftelinng bie Sertf)e ber g. für aubereals bie SBertlje, für weldje bie g. beobachtet oberfeftgeftettt ift, burd) eine einfache llfeffimg u. awarjo richtig, als überhaupt möglich ift, erhalten fann.

Eigenf (Saften ber g*eit. Bei ber großenSdlgenteiitheit beS Begriffs ber g. ijt eS uuniög-lidj, baß eS Eigenfchaften geben tonne, welche alleng-en anfommen. Eineg. heißt ftetig (continuivlidj),wenn fie »on einem SSerthe au einem aitberunicht fprungweife, fonbern in ununterbrochenerBeränberimg übergeht. ÜDlait fagt ferner, eineg. fei für einen beftintmten SBcrtl) ber Beräitber-Iidien ftetig, wenn fie eS awißheit 2 fehr nahe aneiitanber liegcnbeu ©rengen ift, gwifdjeu meld)enjener SBerth liegt. £)ört bagegeit bie ©tetigfeit(Eontinuität) einer g. in ber 9täl)e eines be-

fonbeten 2BertI)eS b ber Beränberlicben aufftetig a« fein, macht fte alfo, inbem fte mihrem SBertlje für x = b fornrnt, ober inbem | e»on ba a« ihrem nädjjleit SBertl)e übergeht, einenSprung, fo finbet für x = b eine Uitterbte*,uug ber ©tetigfeit, eine SiScontinuität berg. ftatt, bieg.ift hier unftetig (biScoittinuirlich),3. B. bie einfache g. f ift für x = 0 unftetig,ba fie für einen unenblid) fleineit pofttioen SBerth»on x einen unenblid) großen pofttioen SBertb, füreinen ebenfolchen negati»en 3Bertl) »on x eineniinenblid) großen negatioen SBerth aitnimmt. OhneUnterbrechungen fletig finb neben ben meiften mathe-matifd;en g-en alle foicbe, meldje irgenbwo in berDfatur auftreten, alfo auch alte empirifdjeit. SRanbetrachtet im Slttgemeineu bie g-en nur jo-weit fte ftetig ßnb, Währenb matt bie SiScoiitiitui-tätsftellen, wenn erforberticb, befottberS behaubeit.Saher haben bie Eigenfchaften ber g-ett, welcheauf ber ©tetigfeit beruhen, biefe alfo »orauS«feheit, bie größte Bebeittuitg. Siefe Eigenfchaftenerftreefeit ftch aunt Sljeil auf alle g.-en, aumüberwiegenben Sljeile aber natürlich auf befoic-bere ülaffeit ob. ©ruppeit; baS mächtigfte SBerf-aeug an ihrer Slufftitbung ift bie Qnfinitefintal«redjnung. Um ein Bilb au geben, Welcher irt ftefinb, führen wir an, baß feftgeftettt wirb, unterwelchen Bebingungen allgemein ber SBerth tinerg. mit madjfenber Beränberlicheit Wäd)ft ober ab-nimmt; manu eine g. ihren größten ober ihrenfleiitficn SBerth annimmt; ferner: bie Beräitber-lingcn beS SBertheS einer g. ftnb ben gteidjjeitiger.Beräiibernngen ber Beränberlicheit proportional,weint biefe Beräitberungen fehr flein ftnb. SerSBerth einer g. bleibt in ber tttälje ihrer größtenober fleiitfteit SBerttje naheau conftaut.

Eintheilung ber g-en. Eine g. heißt eitt-micfelt (eyplicit), wenn fte burd; eine @Ieicl)ung»on ber gönn y = f(x) beftimmt wirb, wo jbie g., f(x) ein SluSbntcf ift, wcldjer bie Beräit-berlichex in irgenb weldjer SBeife enthält; uitent-wicfelt (implicit), wenn irgenb eine nod) nichtnach y aufgelöfte ©teid)itng awifdjett ber g. y u.ber Beränbertidjen x gegeben ift. ©o ift bie g. y,welche burd) bie ©leid)itng my + n = ox 2 be-ftiumit wirb, eine unentmicfclte; töft man bie ©leid)-ung nach y auf, moburd) mau y = er '

hält, fo bleibt y ungeänbert, iß aber nun eltttentmiefette g. Eilte g. , weldje baS Sfefultateiner einigen, mit ber Beränberlicheit »orgenont-menen Operation ift, heißt eine einfache (a + x,a — x, ax, ■£- sc.); eine g., wetd;e ftth nur burd)mehrere Operationen ans ber Beränberlidjen her«leiteu läßt, heißt eine a u f a nt m e n g e f eh te ((a+x) J ,

1 ~ * , sc.). Eilte g. heißt eine algebraifd)e,weint fte burd) atteinigeS SInmeitben ber Stbbition,©ubtraction, ÜJiuItiplication, Sioifton unb beäBotenairenS (SBuraelauSaieljenS) mit rationalenEfponenten aus ber Beränberlichen entffaitbeit ift;eine tranSfcenbente, wenn bieß nicht ber gallift. Sie algebraifcheit g-en aerfaüeit in ratio-nale, iit benen bie Beränberlid;e mir auf gangeBotenaeit erhoben »orfommt, u. in irrationale,in beiten gebrochene ipotenaeit ber Beränberlichen