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Zeichnen.

die zugehörige Zeichnungsübung läßt sich umkehrcn, ncmlich: verschiebt man einen Pnnct,aus welchem zwei Tangenten an einen Kreis zu ziehen sind, auf einer beliebig gewähltenGeraden (welche entweder den Kreis schneiden oder ganz außerhalb desselben liegenkann), so geht die Verbindungslinie der beiden Berührungspuncte durch einen festenPunct.*)

Von zwei Kreisen ausgehend, erhält man eine neue Gruppe Linealübungen ausden Lehrsätzen über die Aehnlichkeitspuncte, wobei es jedoch, zur Vermeidung un-klarer Figuren, räthlich ist, die Kreise immer ganz außereinander anzunehmen. Schonder allbekannte Satz eignet sich, daß die Verbindungslinie der Endpuncte zweier in beidenKreisen sich parallel entsprechenden Radien entweder durch den äußern oder durch deninner» Aehnlichkcitspunct geht, je nachdem diese Radien gleichläufig oder gegenläufigsind. Hieran läßt sich ein Figurenpaar zu dem Satz anreihen: „Denkt man sich zweientsprechende Radien um die Kreismittelpuncte gedreht und immer den Endpunct deseinen mit dem Anfangspunct des andern verbunden, so ist der geometrische Ort für denSchnittpunct beider Verbindungslinien ein Kreis, entweder um den innern oder um denäußern Aehnlichkeitspunct, je nachdem sich jene Radien gleichläufig oder gegenläufig ent-sprechen." EmpfehlenSwerth sind ferner die beiden Figuren zu dem Satze: „Zieht manin dem einen Kreise parallele Sehnen, bestimmt zu jeder die im andern Kreise ihr nachdem äußern (innern) Aehnlichkeitspunct entsprechende und verbindet an jedem Paar ent-sprechender Sehnen die einander nicht entsprechenden Endpuncte, so fallen die Schnitt-puncte zusammengehöriger Verbindungslinien auf eine Gerade, welche durch den innern(äußern) Aehnlichkeitspunct geht." Selbstverständlich sind auch die Sätze zu brauchen,welche sich ergeben, wenn man neben die Kreise zwei nach dem einen oder dem andernAehnlichkeitspunct sich entsprechende Polygone stellt. — Bei Hinzunahme eines drittenKreises**) hat man Anlaß, die Figur zu dein Satze zeichnen zu lassen, daß von den dreiPaar Aehnlichkeitspuncten viermal je drei Puncte ans einer Geraden liegen. Fernerkann man bei drei Kreisen an die Potenzlinien für je zwei derselben denken, indemdiese drei Potenzlinien sich in einem Puncte schneiden müßen; und hiezu gehören ver-schiedene Figuren, je nachdem die Kreise sämmtlich außereinandcr liegen oder Schnitt-puncte liefern.

2) Zirkelübungen. — Hier liegen passende Beispiele in großer Anzahl so nahe,daß besondere Hinweisungen fast entbehrlich sind, wenigstens sehr beschränkt werden können.Diese Uebungen zerfallen übrigens in zwei wesentlich verschiedene Gruppen, sofern derZirkel entweder zum Kreisschlagen oder bloß als Meßinstrument verwendet wird.

Unter den Uebungen im Kreisschlagen darf eine der einfachsten aber wichtigstennicht fehlen: das Zeichnen einer Anzahl concentrischer Kreise. Mit derselben solltebegonnen werden, damit der Schüler möglichst bald erlerne, einen Druck auf die dasCentrum bezeichnende Zirkelspitze zu vermeiden svgl. S. 609), der sich durch ein gebohrtesLoch straft. Die späteren Uebungen werden hauptsächlich nach richtigem Schneiden oder

*) Ein mit Geometrie vertrauter Zeichnungslehrer erkennt in den zuletzt angeführten Sätzensofort die Polaritätösätz e, welche, gleich den Sechsecks-Sätzen, für jeden Kegelschnitt gelten,selbst wenn derselbe durch zwei Gerade oder auch durch eine doppelt gedachte Gerade vertretenist, wie es weiter oben (vor Beiziehung eines Kreises) bei den entsprechenden Sätzen der Fallwar. — Ein solcher Lehrer wird die Zahl der zu Uebungen benützbaren Sätze aus der Geometrieder Lage selbständig vermehren können.

**) Solange man nur zwei Kreise betrachtet, können dem Schüler (wenn man ihm über-haupt Nachwcisnngen als Zugabe zu den Constructioncn gönnt) alle ans die Aehnlichkcit bezüg-lichen Sätze leicht bewiesen oder vielmehr aus bloßer räumlicher Anschauung hergeleitet werden,indem man ihm einen aufrechten KreiScylindcr und dessen Centralprojcction auf eine zu denbegrenzenden Kreisen parallele Ebene vor Augen stellt. Der Halbiruugspunct der Cylinderareprojicirt sich als innerer, der unendlich ferne Pnnct der Are als äußerer Aehnlichkeitspunct fürdie beiden Kreise, welche die Projectionen jener Grcnzkreise darstellcn.