Zeichnen.

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den Geraden auch einen Kreis zuläßt. Der Sah, daß an jedem um einen Kreis be-schriebenen Sechseck die drei Verbindungslinien je zweier Gegenccken sich in einem Puncteschneiden, giebt Anlaß zu mancherlei Figuren, je nachdem man das Sechseck mit lauterausspringenden oder mit zum Thcil einspringendcn Winkeln annimmt oder auch als einverschränktes. Da die Berührnngspnncte der 6 Tangenten dabei außer Spiel bleiben,bat man diese Tangenten nur durch achtsames Anlegen des Lineals zu ziehen. Wohlaber kommt ein Berührnngspunct in Betracht, wenn man denselben als gemeinsamenBerührungspunct zweier, einen flachen Winkel bildenden Seiten ansieht, also dasSeckseck in ein Fünfeck übergehen läßt, welches nur durch Einrechnung eben jenesBcrührungspunctes unter die Ecken noch als Sechseck erscheint. Der Satz nimmt danndie Form an: „zieht man in einem um ,den Kreis beschriebenen Fünfeck auö den End-punctcn einer Seite nach den beiden Nachbareckcn Diagonalen, so trifft eine durch denSchnittpunct dieser Diagonalen und das noch übrige Eck gelegte Gerade in den Bc-riihrungspunct jener Seite." Zur Genanigkeitsprobe ist hier die Beiziehung des rechtenWinkels am Schicbdreieck erforderlich, indem sich bestätigen muß, daß der nach demzuletzt erhaltenen Schnittpunct gerichtete Halbmesser senkrecht auf der Fünfecksseite steht.Durch ähnliche Ausdeutung wie vorhin läßt sich auch ein umschriebenes Viereck als um-schriebenes Sechseck umfassen. Je nachdem man die als Ecken mitzuzählenden Berührungs-punkte auf zwei benachbarten oder auf zwei einander gegenüberliegenden Seiten des VicreckSwählt, ergeben sich für den modificirten Sechseckssatz zwei neue Formen, von denen hier nurdie zweite (unter doppelter Anwendung des Nrsatzcs) Ausspruch finden mag; nemlich: „werdenin einem um den Kreis beschriebenen Viereck je die Berührungspunkte zweier gegenüber-liegenden Seiten verbunden, so gehen beide Verbindungslinien durch den Schnittpunct der Dia-gonalen." (Bei Zeichnung der Figur find nach dem Ziehen der Tangenten zunächst die vierBerührungspunkte mittels des Rcchtwinkels zu bestimmen, und die Probe besteht danndarin, daß vier Gerade sich genau in einem Puncte schneiden.) Endlich kann man dasSechseck auf ein Dreieck reduciren, wobei man zu dem Satze gelangt: „die dreiGeraden, welche die Ecken eines dem Kreise umschriebenen Dreiecks mit den Berührnngs-puncten der gegenüberliegenden Seiten verbinden, treffen in einem Puncte zusammen." —Wird dem Kreise irgend ein Sechseck cinbeschrieben, „so liegen die drei Schnittpunkteje zweier Gegenseiten auf einer Geraden." Aus diesem Lehrsätze entspringen wiederSätze über ein in den Kreis beschriebenes Fünfeck, Viereck, Dreieck, wenn man eine oderzwei oder drei der Sechseckssciten (Kreissecanten) durch ein bis zum Jneinanderfallenfortgesetztes Zusammenrücken ihrer Endpunkte (unter Beachtung der durch die veränder-liche Sccante bczeichnetcn Richtung) in Tangenten übergehen läßt und diese statt derverschwundenen Seiten zählt?) — Werden die zwei Paar Puncte, in denen zwei paralleleSccanten einem Kreise begegnen, durch zwei Paar Gerade verbunden, so liegen die zweiSchnittpunkte dieser Paare auf dem zu den Sccanten senkrechten Durchmesser des Kreises.Durch Hinzufügen einer dritten, vierten rc. Sccante, parallel zu den ersten, erhältman eine ZcichnungSübung, und diese führt auf eine andere, wenn man die parallelenSccanten durch solche ersetzt, welche sämmtlich durch einen Pnnct l? gehen. Man kanndiesen Punct zuerst außerhalb, dann innerhalb des Kreises wählen; im elfteren Falle gehtdie Gerade (l, auf welcher sich die Verbindungslinien schneiden müßcn, durch die Be-rührnngspuncte der vom gewählten Pnnct aus an den Kreis gezogenen Tangenten.In beiden Fällen treffen sich auf der nemlichen Geraden E auch je zwei Tangenten, derenVerührungspuncte auf einer durch ? gehenden Sccante genommen sind. Es ist jedochrathsam, diesen letzteren Satz an neuen Figuren darzustcllcn, da eine Combination beiderSätze die Zeichnung mit Linien überhäufen würde. Der zweite Satz und mithin auch*) Für daö Viereck z. B. erhält man, unter doppelter Benutzung des betreffenden Satzes,den Lehrsatz: „liegen die Ecken eines Vierecks in einem Kreise, so schneiden sich je zwei durch

gegenüberliegende Ecken an den Kreis gezogene Tangenten auf der Geraden, welche die Schnitt-punkte je zweier gegenüberliegenden Seiten verbindet."