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Zeichnen.

der Aufgabe: durch einen gegebenen Punct eine Gerade nach dem unzugänglichen (außer-halb des Zcichnungsblattes liegenden) Schnittpunct zweier gegebenen Geraden zu ziehen.Die zum Satze gehörige Figur liefert in ihrer Eentralprojcction eine andere Uebungs-construction mit dem erweiterten Lehrsätze: „liegen zwei Dreiecke so, daß die drei Schnitt-puncte entsprechender Seitenpaare*) auf eine Gerade fallen, so schneiden sich die dreiVerbindungslinien entsprechender Ecken in einem Puncte." Man kann in die Constrnc-tion statt zweier Dreiecke deren beliebig diele aufnehmen, wenn man den Satz formulirtwie folgt: „drehen sich die Seiten eines veränderlichen Dreiecks um drei in gerader Linieliegende Puncte, während zwei Ecken ans festen Geraden fortrückcn, so bleibt auch dasdritte Eck auf einer festen Geraden, welche durch den Schnittpunct der beiden letztgenantcngeht." Dieser Satz ist aber nur ein besonderer Fall des allgemeinen Satzes: „bleibensämmtliche Seiten eines veränderten Polygons nach festen Puncten gerichtet, welche aufeiner Geraden liegen, und verschieben sich dabei alle Ecken bis auf eines in Geraden,welche nach einem Puncte convcrgircn, so bewegt sich auch das letzte Eck in einer durchden nemlichen Punct gehenden Geraden." Wie man leicht cinsicht, müßcn dabei auchdie Diagonalen des veränderlichen Polygons nach festen Puncten auf der die Dreh-chnnctc der Seiten enthaltenden Geraden laufen, so daß sich reicher Stoff zu Hebungendarbietet. — Nicht so einfach zu begründen sind zwei andere, gleichfalls für Zeichnungs-übungen sehr geeignete Lehrsätze. Versteht man unter „Sechseck" jede Figur, welcheentsteht, wenn man von 6 in beliebiger Ordnung numcrirtcn Puncten je zwei benach-barte durch eine Gerade verbindet, und nennt man das erste und vierte Eck „Gegen-ccken," ebenso das zweite und fünfte, das dritte und sechste, so besteht der Satz: „gehenje drei Seiten eines Sechsecks (oder ihre Verlängerungen) durch einen Punct, so schneidensich die drei Verbindungslinien der Gegenecken in einem Punct."**) Und wenn man inentsprechendem Sinne den Ansdruck „Gegenseiten" gebraucht, hat man den rcciprokcnSatz: „liegen je drei Ecken eines Sechsecks in gerader Linie, so liegen die drei Schnitt-puncte je zweier Gegenseiten auf einer Geraden." Die Vorschrift zu einer Figur, anwelcher sich der letzte Satz zweimal erweisen muß, läßt sich auch in folgender Weisegeben. Man zeichne ein beliebiges Viereck und seine beiden Diagonalen, nehme vonzwei gegenüberliegenden Seiten jede als Grundlinie eines Dreiecks, dessen Spitze in derandern liegt, und bestimme die 4 Puncte, in denen sich je zwei der von den Spitzenauslausendcn Drciecksseiten (nöthigenfalls verlängert) schneiden; dann müßen von diesenPuncten zwei in gerader Linie mit dem Schnittpunct der Diagonalen liegen, die zweianderen in gerader Linie mit dem Schnittpunct der nicht zu den Dreiecken gehörigen(verlängerten) Vierecksseiten, und zwar gilt der eine oder der andere Fall, je nachdemjedes Paar der zum Durchschnitt kommenden Dreicckssciten von den Enden einer Seitedes Vierecks ausgeht, oder von den Enden einer Diagonale. (Man sieht, daß dieSeiten des betreffenden Sechsecks, unter denen immer die sich kreuzenden DreiecksseitcnVorkommen, im ersten Falle vervollständigt werden durch die Diagonalen, im zweiten durchdie nicht zu den Dreiecken gehörigen Seiten des Vierecks.) Läßt man den zweiten Fallaus der Figur weg, so kann man dafür in diese, ohne ihre Deutlichkeit zu beeinträch-tigen, beliebig viele Wiederholungen des ersten Falles aufnehmen, indem man eines derDreiecke unverändert beibchält, die Spitze des andern aber ans der bezüglichen Geradenverschiebt.

An diese reinen Linealübungen kann man ähnliche anschließcn, wenn man neben

*) Die „Seiten" sind hier nicht als begrenzte Strecken, sondern erforderlichenfalls in Ver-längerung zu denken.-

") Für eine erste Zeichnung wird man zwei Gruppen von je drei aus einem Puncte ent-springenden Geraden so annehmen, daß die 9 Schnittpuncte sich ohne Rückverlängeruug einerGeraden ergeben; läßt man dann auf jeder Geraden einen der ihr angehörigen Kreuzungs-Puncte außer Betracht, so bestimmen die 6 nbrigbleibenden die Ecken für ein Sechseck der ver-langten Art. (Man hat hiebei die Wahl unter 6 verschiedenen Sechsecken.)