Zeichnen.

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Satzes kann man die Ucbung erweitern, indem man zwei Gruppen von je beliebig vielenParallelen zu gegenseitigem Durchschnitt kommen läßt, wobei aber, damit die Figurnicht unschön verwickelt werde, sehr zu rathcn ist, von den entstehenden Parallelogrammennur diejenigen zu beachten, deren keines ein zweites als Theil enthält. Ebenso kannman auf Grund des verallgemeinerten Satzes zwei Strahlbüschel von je beliebig vielenStrahlen, oder einen Strahlbüschel und einen Parallclbüschel sich schneiden lassen, dochwieder unter der vorhin angerathencn Enthaltsamkeit. Auch der reciproke Satz würdesich natürlich zu einer Uebungserwcitcrung benützen lassen; diese muß aber entschiedenwidcrrathcn werden, da der Schüler schon bei der einfachen Form des Satzes schärferachtzugeben hat als bei der zuvor genannten Uebung; dagegen kann man, unter Be-schränkung auf drei und zwei Puncte, Variationen in der Constructiou eintreten lassen,indem man einen der drei p-Puncte, oder einen der beiden ep-Puncte, oder auch einenx-Punct und einen g-Punct unendlich fern annimmt. — Zieht man in einem Parallelegramm die Diagonalen und durch deren Schnittpunct Parallelen mit den Seiten, soergeben sich die Ecken eines zweiten, dem ersten eingeschriebenen Parallelogramms, dessenSeiten den Diagonalen des ersten parallel sind. Die Figur empfiehlt sich zu einerZcichnungsübung, wobei jedoch die sämmtlichen Geraden über die verkommenden Schnitt-punkte hinaus nach beiden Seiten fortgesetzt sein müßcn, damit sich der Parallelismusgenau controliren läßt. Die Nebungsanfgabe erweitert sich, wenn man das zweite Pa-rallelogramm als erstes betrachtet, das dabei auftretende dritte wieder als erstes, und sofort, bis die Parallelogramme zu kleinlich ausfallen. Man kann auch die Figur rück-wärts weiter führen, indem man das ursprüngliche Parallelogramm wie das zweiteansieht, und obwohl hiebei die Figur von derselben Art bleibt, wird doch die Zeichnungs-Übung eine etwas andere; denn während der Schüler zuvor, nachdem einmal die beidenParallelen zu den Seiten des ursprünglichen Parallelogramms gezogen sind, immer nurPuncte zu verbinden und jede Verbindungslinie auf ihre parallele Lage zu prüfen hatte,muß er jetzt wiederholt durch gegebene Puncte Parallelen zu gegebenen Geraden ziehenund Zusehen, ob zwei solche Gerade sich genau auf einer schon vorhandenen Linie begegnen.Läßt man es aber bei der ursprünglichen einfachen Figur (mit nur zwei Parallelogram-men) bewenden und betrachtet dieselbe als Centralprojcction einer andern, so erscheint alsdiese andere ein vollständiges Vierseit mit seinen drei Diagonalen, den zwei vom SchnittMet der beiden inneren Diagonalen nach den noch freien Ecken gehenden Geraden, undeinem zweiten Vierseit, von dessen 6 Ecken vier mit Puncten zusammenfallcn, in denenjene beiden Geraden das ursprüngliche Vierseit schneiden, während die zwei andern Eckendcrt liegen, wo die äußere Diagonale von den beiden inneren geschnitten wird. Manhat also veränderten Uebnngsstcff in der neuen Figur, bei welcher zweimal je vier Ge-rade in einem Punct zusammentreffen müßen; und will man noch weiter gehen, so kanndie Fignr in ganz ähnlicher Weise fortgesetzt werden wie die Parallelogrammfigur; manerhält ein drittes, viertes, fünftes ec. Vierseit, und von jedem solchen fallen die zweiletztcntstehendcn Ecken (abwechselnd) mit zweien der vier festen Puncte zusammen, welchesich (entsprechend den an der Parallelogrammfigur vorkommenden Richtungen der vierParallelbüschel) schon beim ersten Vierseit auf dessen äußerer Diagonale gezeigt habeinVariationen der Constructiou ergeben sich, wenn man zwei Seiten des ersten VierscitsParallel annimmt, oder wenn man dasselbe so gestaltet, daß die äußere Diagonale miteiner innern parallel wird, wo dann in beiden Fällen einer der erwähnten vier festenPuncte in unendlicher Entfernung verschwindet?') — Werden zwei Dreiecke so gezeichnet,daß die Seiten des einen den Seiten des andern parallel sind, so schneiden sich die dreiGeraden, welche je zwei einander entsprechende Ecken verbinden, in einem Punct. Dieserelementare Satz kann einerseits zu ciuer Zeichnungsübung dienen, andererseits zur Lösung") Will mau dabei auch schon den Mcßzirkel zur Verwendung kommen lassen, so muß sicherproben, daß von den drei übrigbleibenden wirklichen Puncten der eine genau die Mitte zwischenden beiden andern einnimmt.