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Zeichnen.

einzeln erlangte Gerade nach einem Puncte convergiren sollen. Ta es hiebei sich zu-weilen fügt, daß diese drei Geraden einander parallel werden, oder daß von jenen dreiPunctcn der eine gar nicht wirklich entstehen kann, während die Verbindungslinie derbeiden andern parallel einer Geraden ist, auf welcher der vermißte eigentlich hätte er-scheinen sollen, und doch in beiden Fällen die Controls als zutreffend angesehen werdenmuß, so ist nöthig, daß der Lehrer gleich anfangs vom unendlich fernen Punctspricht und den Begriff ausreichend erläutert, damit der Schüler bereits orientirt sei,wenn späterhin aus dem angcdeutcten Anlaß der unendlich ferne Punct sich ungesucht auf-drängt. Demnach hat der Lehrer zu erklären, daß die Forderung, durch einen Puncteine Gerade parallel einer andern zu ziehen, als speciellcr Fall schon einbegriffen sei inder Forderung, eine Gerade durch zwei gegebene Puncte zu legen, und daß eine Gruppebeliebig vieler durch das Schiebdreieck hergestellter Parallelen (ein „Parallelbüschel")einen besonderen Fall vom „Strahlbüschel" bilde, also die Parallelverschiebung des Drei-ecks einer Drehung des Lineals um eineu Punct entspreche. Damit ist schon gesagt,daß unter die „Linealübungen" auch Uebungen im Ziehen von Parallelen eingereihtwerden müßen.

Den besten Stoff zu den vorhin verlangten Uebungsconstructionen liefern Lehrsätzeaus der neueren Geometrie der Lage. Von den Beweisen ist hier nicht dieRede; der Schüler erkennt die Richtigkeit des bezüglichen Satzes aus dem Zutresfen derConstruction und empfängt vielleicht aus dem Zeichnen eine Anregung zu späterem Stu-dium der neueren Geometrie, wobei ihm dann das vorangegangene Zeichnen sehr zustattenkommen würde. Indes mag Schülern, welche bereits an stereometrische Anschauungen ge-wöhnt sind, als gelegentliche Zugabe auch ein Beweis gegeben werden, falls sich derselbe ausden leicht zu erweisenden Fundamentalsätzen der Centralprojcction in Kürze erstellen läßt; undwenn der Lehrer außer jeneu Fundamentalsätzen noch das Reciprocitätsgesetz mitthellt,kann der Schüler öfters aus einem Lehrsatz der Elementargeometrie die verwandtenLehrsätze selbständig ableiten. Eine einfache Uebung liefert z. B. der elementare Sah:schneidet man drei Parallelen durch zwei andere Parallelen und zieht in jedem der ent-stehenden (drei) Parallelogramme beide Diagonalen, so liegen die drei Schnittpuncte zu-sammengehöriger Diagonalen in einer geraden Linie und diese ist parallel zu den schnei-denden Geraden. Aus diesem Satze folgen sogleich zwei andere Sähe, welche eine ganzeReihe neuer Uebungszeichnungen ergeben. Denkt man sich nemlich die zum ursprüng-lichen Satze gehörige Figur central projicirt, so daß statt der drei geschnittenen Parallelendrei in einen Punct zusammcnlaufende Gerade und statt der zwei schneidenden Parallelenentweder zwei convcrgente oder wieder zwei parallele Gerade auftrcten, so hat man dieVerallgemeinerung des Satzes, welche dann so ausgesprochen werden kann: „läßt manvon einem Puncte ? drei Gerade ausgehen, von einem andern Puncte (j (der auchunendlich fern sein kann) zwei Gerade, und verbindet man in jedem der entstehendenvollständigen Werfest«?) die außer ? und (s noch vorhandenen Ecken paarweise, so liegendie drei Schnittpuncte zusammengehöriger Verbindungslinien auf einer Geraden und diesegeht durch tz." Der reciproke Sah aber lautet: „nimmt man auf einer Geraden p dreiPuncte an, auf einer andern Geraden zwei Puncte, und bringt man in jedem derhiedurch bestimmten vollständigen Vierecke die außer p und noch vorhandenen Seitenpaarweise zum Durchschnitt, so gehen die drei Verbindungslinien zusammengehörigerSchnittpuncte durch einen Punct und dieser liegt auf <p." Auf Grund des ursprünglichen

*) Man tritt noch nicht in die neuere Geometrie ein, wenn man einige von ihr recipirteNamen gebraucht. Ein „vollständiges Vierseit" ist eine durch vier unbegrenzte Gerade dargestellteFigur; diese hat 6 Ecken (die Schnittpuncte der paarweise zusammcngefaßten Geraden) und3 Diagonalen. Ein „vollständiges Viereck" ist die Figur, welche entsteht, wenn man durch jezwei von 4 gegebenen Punctcn eine unbegrenzte Gerade legt; diese Geraden bilden die 6 Seitender Figur; den drei Diagonalen des VicrseitS entsprechen im vollständigem Viereck drei Schnitt-puncte von Seitenpaarcn.