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§ 13. Lote auf derselben Ebene sind parallel.Beweis aus § 12 indirekt.

§ 14. Unter allen Winkeln, die eine Gerade mit einer Ebene bildet, ist derNeigungswinkel der kleinste.

Beweis. (Fig. 8.) Durch den Fufspunkt F der Geraden ziehe man in MN diebeliebige Linie $ß und fälle von einem Punkte A der schrägen Linie das Lot A B auf dieEbene und das Lot A C auf % so ist A C > A B, folglich aAFB<AFC (nach § 2).

§ 15. Fällt man von einem Punkte auf eine Ebene und eine beliebige Geradeder Ebene Lote, so steht die Verbindungslinie der Fufspunkte beider Lote auf der Ge-raden senkrecht.

Voraussetzung (Fig. 8) AB_LMN; AC_L$

Behauptung BCJ_$.

Man errichte CD_LMN, so ist C D || A B (§ 13), also liegen CD, CA, C B ineiner Ebene. Nun ist $_LAC (Voraussetzung 2), $J_ CD (nach Konstruktion), folg-lich $_LCB.

Zusatz 1. Durch eine auf einer Ebene schiefstehende Gerade läfst sich nureine zur ersten senkrechte Ebene legen.

Beweis. Man lege aufser der senkrechten Ebene FAB eine Ebene durch AFund Sß, so ist nach dem eben bewiesenen Satze A ACB deren Neigungswinkel unddieser liegt in einem rechtwinkligen Dreiecke, ist also spitz.

Zusatz 2. Stehen zwei sich schneidende Ebenen auf einer dritten senkrecht,so steht auch ihre Schnittlinie auf der dritten Ebene senkrecht.

Folgt aus Zusatz 1.

§ 16. Zwei gerade Linien einer Ebene, die durch den Fufspunkt einer zurEbene schrägen Geraden gehen und mit deren Projektion gleiche Winkel bilden, bildenauch mit der schrägen Geraden gleiche Winkel.

Beweis. (Fig. 8.) Ist A BFC — BFC, so sind die rechtwinkligen Dreiecke FBCund FBC kongruent, also FC' = FC, folglich FAC'^FAC und somit AAFC' = AFC.

§ 17. Parallele Linien bilden mit parallelen Ebenen gleiche Neigungswinkel.

Beweis. (Fig. 9.) Man ziehe durch den Fufspunkt F in MN eine beliebigeGerade FC und lege durch FC und den anderen Fufspunkt G eine Ebene, die PQ inGD || FC schneidet, so ist A AFC = BGD nach § 11; d. h. jedem beliebigen Winkel amFufspunkte F entspricht ein gleich grofser an G und umgekehrt; folglich müssen auchdie kleinsten Winkel gleich sein; demnach sind nach § 14 die Neigungswinkel gleich.

Specielle Fälle. 1. Parallele Gerade bilden mit einer Ebene gleiche Nei-gungswinkel.

2. Eine Gerade schneidet parallele Ebenen unter gleichen Neigungswinkeln.

3. Steht eine Linie auf einer von mehreren parallelen Ebenen senkrecht, sosteht sie auf allen senkrecht.

Die in diesem Abschnitte bewiesenen Sätze stellen, wie man leicht sieht, keinlückenlos zusammengehöriges Ganzes wie die im trigonometrischen Teile gegebenen dar;