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und deren senkrechte Entfernung X des Schwerpunktes von der Rota-tionöare man bereits kennt/ wie dieß z. B. bei) dem Kreise, der Ellipse,bey den regelmäßigen Vielecken u. f. der Fall ist, wo der Schwerpunktbekanntlich in die Mitte derselben fällt. — Dieses Theorem hat derJesuit Guldin i. I. ibsto bekannt gemacht, obschon bereits Pap-pus, der im vierten Jahrhundert n. Eh. in Alerandrien lebte, das-selbe in seinen Schriften erwähnt hatte.

Lx. I. Sep ^1) (Fig-48) ein Rechteck, dessen SeitenOD a und --- Lv d.

Sei) ferner LL — 0 die senkrechte Entfernnng der Seite ODvon der Rotationsare L X und O der Schwerpunkt des Rechteckes.Da dieser Schwerpunkt in dem Durchschnitte der beyden Diagonalendes Rechteckes liegt, so ist seine Entfernung von der RotationsareX----LO---^k>-j-2. Der Umfang des Rechteckes aber ist s2(s-s-d), also ist auch die Oberfläche S deS durch die Rotation diesesRechteckes um die Are ?X entstandenen Körpers

2 . X s ^ 2 ^ ss -s- 8) sk> -s- 2 e).

Für 0—0 ist s 2 k sa-j-d) die Oberfläche eines Cylin-ders, dessen Höhe u und dessen Halbmesser der Basis 8 ist, die bey-den Grundflächen mitgezählt.

Man bemerkt von selbst, daß diese Fläche -ö dieselbe bleibt, wennauch das Rechteck vor seiner Drehung eine andere Lage gegen die AreLX hat, rvenn nur der Ort des Schwerpunktes O derselbe bleibt.

Auch setzt dieser Ausdruck von -s voraus, daß die erzeugendeCurve die Rotationsare LX nicht schneide, weil sonst die zwey Theileder Curve, von welchen der eine über und der andere unter der Rota-tionsare liegt, jeder für sich eine eigene Oberfläche erzeugt, derenDifferenz dann durch die Gleichung

s -7- 2 57 . X 8

ausgedrückt wird. Geht z. B. die mit LX parallele Rotationsaredurch de» Punkt L-, und setzt man wieder LL- — c und wie zuvorOL -7^ ^ I,, so ist s --- 2 (a-s-k») und 8 — OL- — ^ b» — c,also auch

§ 7^7 2 57 . X 8 ^ 2 ss -s- k>) slz — 22),

und dieß ist der Ausdruck der Differenz der beyden Cylinder, die durchdie Rotation der Rechtecke ^VD- und OD- um die Are O-D^ ent-stehen.