Nutzen in dem jiYetiiodo tmiraitimn^Quaclra,

mehren nach, rermincßt'n. Sichet man, eliefo unendliche kleine. Grö„ße ats eien 'Unterfclacd z weyer endlichen an / oder als eene Größe_nach, welcher die endliche nach und nach attwach/enjo nenet mafi*. eme Difßrenäale : mithin da die heßänduje Großen nicht rer ,,mehrt oder uermindert werden, hohen,, fo laßenfoeh alleine die rer,ändcrliche Größen difßerentiiren . £s hohen aber "die ^ Lgebrehften, 3 tsZeichen d emgeneßneh, die (Dfferentiale damit zu bezeichnen,ß daßman, Z. &■ die Dferentuile, hon, cp ezfojchreibet dcc ; alfo auch dieDferenticde ran, y, wird gejchricben dy. und ß-f-. §.Z.

(DasganzePundament der (Dferetitial(Rcehnung beruhetaufo ehe fern hnzuxn Satze : Phe Dtfferentuilc eines Proelucts auszweireri rerändercicken Größen xifyt = ydx + er d ir; welches

fo ßt cUePhferentiale“x ft-yd x + x dyUmJetzetr

Tab VIII. T

eift die iTiIimtelirncil-Rec'hiiunte/ii.cIereii

□nrentim:

turva.,nnd Rectiiicataoii Tel* mimen Tineen.

Die _

chen Große eine unendlich

lehret aus eener g^ebenen endh„zufinden,, welche unendlich mal

~ i <&%/•

ron aac — exelx ,'temer chewelches aus obigem, Satze leicht herzuleiten,,

~~ oft'enticiLe

= j ßiß~

da, =ydv + ndy

sc

h-

ydr + ccly

cLcc-cedy—ydn~

da^ yd.xfoc3y , welches zu finden war. dif glci t

yzdcc.fferentiale

y"- = ny , ‘-~ J - dy. trenn, man diefes wohl erwogen fo nirdes leicht feyn aas folgende zu rer liehendarinnen der ßvutzen dieferDifferentLn(Rechnung fotlegezeiget werden.

1.3

ne

n

dfen aus ememPunct AL einer krttmen Lmee Pig. z. VAtN 7 ei t

gerade ALT ehrLangens genenet, ehe (Linse TP aber,Io ron demdem.

ms.auf

gerichtet biß an die _ face m S / fo

Stück, der CLace PS aber die Sühnormal Dineegeruhet. (Aien läßetfich erwefen,efoß in allen kruinen dtneen,darmen, cc die ÜbßißeVf,y aber die Semiordinate FiM bedeutet, der Subtangens PT -^-yelx-.elydie Suhnormcd-Lmee PS aber *~ydy; dccfeye,eleh,fetzet Hie Seme,,Ordinate jrm. der andern, PAI uneneß nahe,u.ziehet mo mitpF pareüleLfooft &t. zf jp P =doc, — m o,ßi-O = dy,und wdL Ai tu unetuß klar-fo könet ihr LenBogen Ai mfiir eme gerade Lmee annehmen, und folg ,Och jchbejlen,.

PLo : mo - PÄ : PT .

dcc : dy — y : fdcc , und ferner'

~PT . PÄ = PAL TS"

ycLcc : y <= y : ydfß - ßdgfich wen dir da

oder dy aus der bßoitdem Gleichung emer kr iahen, T, cneeJuchet,uß[

' in. die gefundene Größe ron PT oder PS embringetßo werdet ihrGröße des Subtangenten PT und der Sidmornuil Jiinee PS tn lau,endlichen. Großen bßiahen könen. Z-G- weil m, derHarabeljtac^jß fo ißt (§ . 27)adac = zydydcc — zy dy folglich,

oder weil i/" 3 = aac, foo Jh-

SDen, Sub

dß ßift-

dcc - 2ydy: a ,yd sc ~zy z di,': ady = zy 2

• . _r "~

yi fDie Sulmcrrrnal-J, aiee, PS zitfindettsfe,r (Parabel

in.

Wed wie ror^ ydy = aydijzydy

dcc

das = z ydy: a,ayay — da = PS.

o iftr

In der Eilipii .

(Den SubizingenteTi PT ZufinderL .wed by 3 =- ab sc — a,sc 2 ,Jo ift~z bydy — abdcc — zaccdsc

dcc => z bydy , und yds c = 2 bißul -aase dy ab —2 ax

(zbsc—zccj :(f—zccj = PT .

(Die Subnormal-I,tnee PS zicßruleav.IPed zbydy <= ab Ilse — 2a,ccdsc ,ßo iftripdy =- fs a der — asrd sr , folglich.

y^y

: dcc.

■■ 4-a, ■— a sc~F

PS.

&ine fnumne Lime zu quadrtrert zn, welcher

1 ^. 5 .

lf 3 d 2 Ct: wed men,.

y

f .a 3 sc

ydsc= a^addec folglichJydsc — alsxd i — 3 a% sc 13 dsviT.

oder auf eme andere elrtrIPed y 3 a 2 sc jo Jtgy^dy = a 2 dsc

zydy — adec + zasr d sc

dcc zyd ya + 2a.e e_ l

• ydsc: dy= zfody —(a + zax ) dy

■zy x / = fzasc+ zac cjfo + za s c)

SL + ZOC K b. ~T,

b

(zbsc + zeeß): (h + zsG) = PT

(Die Subnomude PS zifonden, .Weil zydy = adcc + zasc dcc,Jo ift-

ydy: da — fa

+ ascTT

PS.

T 1^.4.

In dem Circrul.

(Den. Sifhtangenten. PT zu beßznien..wed asc — sc 2 = y 2 ß ift-adsc — zscdoc — zydy

zaoc—zsc

dsc = zydip , und ydscrix

PT.

. ystsx

af~— za: gl-z-zc

2zr =

(Die Subnormale P S auszußnden .

wed, zy dy —- adsc —z sc dsc fo iftr—ydy = f adx — zx dsc ßolgendsydy. 3sc=.f a — sc = PS.

(Den, Inhalt des Circul^Stiiekies/ M VBMC zitfindett;

Setzet VP PSI = y, dendadiunb VC = a,fo ißt VP* + PM 2 — Vfö

sc 2 + y 2 ■= a 2 folgende

y-Mß —.sc 2 ) und wenn, ihr aus ad — sc' 1die. Iturzd ziehet nach, der Lab. I. fo findet ihr

y=a— xd - x* - jcj - gx c

u. . w.

za

ßa 3

ifa s

i2ßa r

ödher iß ydx~adx — xdclx — x*dx

Sa*

- x s dxIFa?

- $x s dx1 z Sa r

dsc = sy 2 dy , folgends

ydx 3 y s dy , und' , _ a 2

Jydx si/* = 3adx y . = xy. wie oben .

40.* 4 a 2 *

r ö' r .(Die Länge des CirculGBogens r ldg. ä. C31 zufenden.

Ifed dafillfi x 2 + y 2 — a 2

fo ift zxdx + zy dy — oydy ■= — x dx

x 2 dx 2

folgj, fodx=ax — x s —xd — x 7 — Sx s = VPM.C.

6a e-oad 112 a 7 u$z a 7

welches zufinden war. Setzet men VP-VB=/i = 1 ßo ift der In,Jude des ganzen Qiiadranten VBC—* sl— J —— _g_ undfo weiter unendlich fort.

PT = ydx

PT

dy

= 2y 2 dy = zy-ady2 ax

sh/ 2 — + x 2 dx 2

y x

a 2 —x 2

folglich.

= zx.

Jas iftr: in, der darabel ift der

Subtangens PT allezeit der doppelten tlbfeiße VP gleichferner weil in der 'Parabel

dx = 2ydif ,fo iftr

_ a' '

PS == ydy: dx «= ydy ; zydy = a , oder die SidmormabLjinee -

3 “

PS in. derParabel ift alle zeit fo groß_als der halbe Parameter.gleiche tlrt könet "ihr in andern, krumen. Linern, uerfuhren. ,wie ,

Vßfx 2 4- die 2 ) fffdsc 2 + x 2 dxf ) Df faldxj f) — adx-.dfa, 2 — x, 2 J

die Quadrat Hierzel in derdhat nach

Ziehet mm, sms x _

(a 2 -xf

Lab. 1. indeme ihr m ~ —x, n

kommt heraus

4

cl dx :'\fa z —x 2 ) — d itr +folglich,filxfoa 2 -xf)

P = a 2 , Q = - x 2 fetzet, fod? ' ^

V 2 ) = Ä + X 2

zas

+ 3 xd +

Sx ^ //

daher ift~

TaS 16 a 7

2 dx + 3 x*slx + 6 a’ ßa.* ißa *

3 + gxf + ö X 7 //..

fiOZV 4 ' ldZ CD &

JC

CC + 3C

&CV

CM.

B Pi^.ö . t Hie Lange des CirculfBogens CM. durch,

Ä t Jen(Taoujentett CT zufmclere. Setzet .

VC ■=_!., CT-*:, Tt = dx,foift VT =ßi+jc 2 ), und wenn ihr T n aufyt perpendicularfetzet, fo könnet ihr wegen Ähnlichkeit der

___ A A v CT/T n.t, fchheßen,

V 0 vT . VC = Tt . Ttz.

ifi +xf): 1 — dx : dx ferner wegen

CÜmhekkeit 3er A A VreT undSmM., iftß^ ^

VT: Tn — VÄ‘: M.m.,

xß+x): ^ _dx^ = x : dx* , folglich ift die

Differentiale des Degens CAL = Al m = dx * , und wennihr wiircklich dimdiret, Jo findet ihr x+x

AL m. — dx — x 2 dx + x*dx—x^dx x 8 dx , daher

wenn ihr integrzret fo kamt der Dogen CAL «=

x — sc 3 -\- x 3 — x r + x 3 //. fetzet rum denPanaentcn

3 p 7 9 J ef '

= x, fo kommt fiir den halben Quadranten

1 — f +f~f + f « “Iß

dy = xy, u ß. weiter. Doch hißen, fleh nicht alle gegebene PÜfferenale junliren , Z. £. dx könet ihr nicht anders luihiren als durch

ne unendliche foeihe axff folgende Ort. weh ihr dx Lurch 1 + xwiircklich dwiebret,fo findet ihr Lx - dx — xdx + x 2 Lx —x s d\

2.+ ac

x + x* dx und f. w. unendlich fort, daher ift die integrale ron)dx , weh ihr idle diefe, Glieder befonders integriret, — x —x 2 + x?x+sc _ ' 2 5

— xA-x 3 u.f. w. unendlich fort. ebeußo wird mit andern, Lerglef

eben rerfahren. ,wie daran im, folgenden, unte r fcb xesthchc. fixem, „pel ror kommen, da der SVlctzenJaen IntegrcdfRechnung fotle ror,,gdtcllet werden . (Dabey ihr diefes noch zu mercken Turnt,daß ma,He Lntegrale oder Surhe emer Differentiale , welche ßehwiirckdich integreren läßet mi t f bezeichne . Z.&■ die Lntegrale ronyLx Jchreibet ihr ßydx..

iS • 5'

Dcmehmlich dienet die IntearaKRcchnung zu Quadrcrungder krummen. Dincen ,odet - Leu Jnhalt LerPlache zu finden/wefche fie eoifhließen . Denn wed, tn obiaerLia. x. p J* = m o — Lx,

'■ P pm,o —ydx ,den das A m. o AL ift tn tlnfehung def!eilten rectangiib, — o fß.D)folghchdaßieb LieiLtäehe'Dfi.Y m lauterßolche unendlich, kleaurectangula, zertheilen läßet foo ft der Inhalt VALP fo groß als dieSinne oder Lntegrale ron y Lx ,das ft —fydx, daher weh ihry oder Lx aus der Gietehiaig einer Geametrfchen. heraus juchet,

I

£

y~ — ax ßo ft~y — a* 2 x x 2 folglich

yd.x - a x 2 x* 2 dx und wen ihr diefes mtegrireffifdx —ai 2 x 3 :2 = Vz ax s =--= zxif , Las ift: In der

Parabel ft die Dache Vatp zwifchen der üxe und einer ScnuarLfnate P PL fogro/3 als zwey^drätked, des (Rectanguli aus der tlb #Jcfe Vf in die Semiordinate PAL. duf qleicbe tlrt vei fahret ihrauch mit andern krummenDineen , wie Dyp’tg. g. und o. zur Ge„möge gezeiget worden .

§ : 6.

[helft Liefern, läßet foeh die Integral (Dechmmg fekr nuzliehZur LLectficatton der krummen Limen anwenden, oder die Län,,ge VM. eferßlben zu beftinunen. (Denn wed, m o = dx, M. o — dy,und ihr das A AL o m fiir geradlinicht und bey o recht - wifußhebt annehmen könnet'(ß. zff (0 ft AL m = Lfd x 2 + dy Z J fifoheb die Sume aller diefer m Ä= f Xfdxi 4 - dy 2 f, Daher darJet ihr nur die Giäße ron dx 2 oder dy 2 aus der befonetemGleichung emer krummen Ltneefoubftituiren , hernach, Lie(Differbnhole integnm, f o werdet ihr die Länge des [Bogens VAL in, endlicheGrößen bekommen. Z-, C ■ weil tn der (Parabel.

Hl

fo ft

Hx = zy dy, dx 2 = 4‘y 2 dy 2 , mithina, a 2

M. m =*foßdx 2 \ Lxfj ^\fjy 2 dy 2 + a, 2 dy 2 ) = dylfaß-p^y 2 ),

d a

und wenn ihr aus aj \ *y 2 4fhe Quadrat dDurzel wiirch,,lieh aas ziehet, nach der Lfeutonfchcn (Regel, die in der Ta.B. 1 .rorgeftetlet worden , alfo :tn =1, n = 2 , P = ad, Q = sy 2

P m n A Giß

to AQ = £ ■ a . &y 2 ^+ zxy

B

B Q--j.

sy 2 . 4>y 2 -=

zn. y nt

rn.-an.CQ~- ff —zy*. \*yf ■■

3n

foä 2 + tf) -a. + zy 2 — zy * + *y s\f^Lx 2 + dy foady + zy 2 Ly — z y*dy

' = D ZL . f. U '// y folglich+ 4 y 6 dy

// .

fofffoc 2 * dy*)^y + zy 3 — zy ä, ~30 i 'Ja*

fledie ehe Greif fe des Bogens VAL in der Parabel aus drücket^Wie bey andern krummen T.ineei

und.

öl* a~s~

-+■ * y r // welche unendlicheTa'-

ehe dlig ■ 7- und S.

P,ineen eben diefes zufinden , zeiget-

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