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Tab-IIII.-t

jLnthalt die Lehre von den a-eoinetrifche Orteiuncl deren Gebrauch in AiulöJurr*' der ^'eometri,

I feilen Aufgaben.

5 .i. ,

Wenn man an einer kntmen fmeedfig. a . VML eine ge»rade C E nach, beheben. Ziehet/ oder fich folche auf zerfchiedeneCLrtgezogen vorftettebrfo tieriet man diefes einen, geometrifchen Ortdfi nun die knane P inee V.AV eine Parabel,fo heißet es ein, Ort 1an der Parabel / iß die kmme eine Hfyperbet/fö bekämet dergeo»metrißhe Ort den, fbßihmen em.es Orts an der dfifperbel, u. fiu’.Paßeif dir noch defes merehen k'önei,daß aue Gleichungen vomZ weiden Grade , dar um nämlich x 2 ,y z oder xy zufinden,,ße mögefonft vermfchtjeyn,,wiefie mallen, allezeit entweder die ZAatureiner Parabel, oder einer j£fperbel,oder Elliqfis, oder des Uirculserklia'en, und ßch rei mitte. Ift der befagtengeometrifchen Örter aneiner flehen krumen dinee. cerßirwren. laßen.. Oder zu aberßuihetman fidi vor allem eine aUge.mecne Gleichung für die geometri/ctieOrter an einer jeden kruhien Jdnee , und nach, diefer kan man ß,,den. auch, die fpecialc dolle aus finden. pßervon mercket ßlgenden.

. 'Beruht.

i S.2.

£/S Jey V K tig. i. die Clxe der Parabel, das Stuck derfetben, ■VB —p, BC fa mit den Seimurdinaten FM parallel ift, = n, CT>,wel,dies mit der ilxe V K parallel, = s, DT. mit PM. gleichlaufend, = r,CE ^g, CF =^a?,Fbl fo ift q:S=x: sx oder CGr,octer auch,

BP/ folgends ift V P =Sa: — p/ Pemer if GP ^rv, irntl q r ** sv: FG =rep / daher iß P 31 — y — rt — rx . Ifed nun in der Parabel., wen derTaxameter' = tft, PM^= t lf~P,fo ffiy 2 —zny —zrxy + 2 rux 4 -n 2 + rfx 2 — stx — tp,folgends die Gleichung flir ‘clengeornetrifche

Ort ßlF, anöder farabet ir z — Znif—zrxu + r hx 2 + znrx + n 2 = O

, , 9 ' ~ 9 r 9

ind.xuj.J.. — s tx -f- tp

woraus ßch. alle andere Orter die ßch, zur'Parabel fchicken,con. ,ftruiren laßen. ^duf gleiche itrt find die allgemeine. Gleichungen fürdie übrige knöhe I.ineen beyßfig. 2 . 5. 4 . 6 . grfmden worden, Pfadwill ich. nun auch ihr -en IMutzen verfetten .

ß-Z -Cr

Oden, euch eine Gleichung für einen geometrifchen Ort verhornet,f rmrßet ihr vor erfi wißen, ob er cm die, Parabel, Gfifperbel oder ’ andie Chipfigehöre. ZDrcßs aber erfahret ihr alf: Iden x 2 und y 2 indervorhandenen Gleichung beyde das Zeichen -f- haben, fo ft tliefelbe ent#weder zur Parabel, oder zur bthpf, oder auch zum. Circul; u. zwarhöret ße zur Parabel, wen x 2 mit dem. Quadrat derjenigen GrößeultipUcirt iß, mit welcher der zxy rmdtiplicirt bcfinüetfßlden aber„ 2 und xy zugleich ,fo gehöret die Gleichung auch zur Parabel;fünfteaber Zur Sllipß oder Circul; es iß aber leicht Zuwißen ob eine folcheGleichung Zum Circul gehöre, narnheh wen ihr daraus t ■=■ v oder denParameter der Zwerchaxe gleich fmdet. it'cnrfrner x 2 und y 2 Zer ..fchiedene Zeichen haben, ßgehöret de, frleicfiung zur Chyperbel umdie dxefFig.z. ßß endlich xy, und nur'x 2 oder y 2 allein dabey vor,handenjo ißt che Gleichungßir einen Ort an der Jfperbel zwyeheden aßpnptoten Pig- 3 . das weitere gebenfolgende Gaempel:

S- 4 .

Zwifhen zweyen LineenPßg. ß. AB/ und C D zwey mittleregeometrifch -propor'ßonale ztißnden . Os ßy die kleinere AB -= b, diegrößere C D = a, die hachße mittlere nach der ’ kleinen y, die nachße ar,der großen — x,Jo ft. '

a : x = x : g

und. (i .ja y — x 2 , ferner iß auchx : y = z/ / hdaher (il) bx *= y 2weiter ft a,: x = y : bjolghck (llt)ab = xy

addiret nun che I. und. II. Gleichung, nämlichay —x 2bx =■ y 2

forftßv^ ay + bx=y+x 2Wenn ihr Jte aber ßdrirahtret/rfo komtr

(f) au— bx=x z —y 2 , und ß könnet ihr noch viel

j’ip'.i. Gletchumß für aeometrifche, Ocrter

v PheruiV B=p, BC =n,, CD=s / DE = /~,

CE —g, CF =x, EM =y, da'Paramtter- 1 ;/oft

c n, B Glnrfntruj fut' ßetmieb'ißh& ÖtPej 1j tat der Hyperbel unt rfxre CLooe.

x>

y

, W—znif-zrxz/ + r 2 x , 2 +2nrx +n? = o

V 9 W <?

— stx +tp

P

/E r

G

K

ÖGcrub me heyCPrg. x.

YB = p, CF = x,

BC — iv, FM=y,

CD = s, der Parameter = tr,

CE = q, die Zwerchax,e=v;

DF =rv rf }ß 7

y 2 -zny-2rxy — tsfxö — tsx — tp = 0+ r 2 x 2 +2tpsx> -f tp+ znrx + rv 2

pöp GLdekimg^ fia-geametrpehe Ortet

v_ der H yperhel Zitjfchat

D

C Tb B

dort Öißfmptateti,.

Gsfey wie vorVB =p~, CF=x,

BC =A y FM=y y

CD - s , Phc Seite derPotenz Her

CE = g, ihi'pcrbcl = t;

DE= r, fofidetjich

xy—Tp nx — El}f t pan — o+ t>rx

r S~ — at

~ t s

tr aeamedrilche Örterari dem, Circul.

6 sJey VB -p, CP =05 .

BC -n,, FM=y,

CD = ^/ Pkr PliameterCF~q, VK«t/ fo ftDE = r /

u 2 —zn if—xrxv -t 5 2 x z — s tx + p z = o' 1 ' l 2 9

+ röc 2 -2vsx + n 2E 9

+ 2nrx + pt9

EVt c « b Glaefumg fer germelm/clie, Örterc ^ " r an, Ser Ellipn.

^ PTean, DE =?’,

VB=^/ CP=^ yBC — 7 t , EW=y yCD =5-/ Pier Parameter' = tr,y j CE=^ y Phe Zwerchaxe'VK. *=v,

1 so ift

Iif z — 2 ny - 2 rxu + s 2 txt — stx + tp 2 = o9 9*0 9 V

+ T ’ Z ß Z — 2 ps tx + Tb 2

IK l^l 1 '

+ 2 nrx + pt-~~T

-D

et

City. 8 .

Ö

E S-

7 .

UH

Fi

'S-9-

K

n/

Fi^. 12.

y; ■ V

s' b E f x \

^ D B

i

y

s'

ö F^1^.

! 3 - \

K

fV.i.y

FiV. 14.

mg

y

\

N

K

K

andere Gleichungen- durch addir'en und Jubtrahiren heraus fm‘Ohm bringet affe Glieder diefer Gleichungen, auf eine hexte, u.gebtacht,nachdem, S- 3. Zu welcher krurnen X mee ßegehören,, fo ßn,,riet ihr'

("IJ) x 2 — ay = 0 , an der außem Parabel.

(II) y 2 — bx - o, an der Parabel.

(Ht) xy — ab = o, an, der Öfßperbel zwifchen den. dfqmptoten

(IV) y 2 +x 2 —ay — bx=.o,an der GPhrfi. oder an. dem, Circul

(V) y 2 —x 2 t ay—bx = 0 , an der dßfperbel um, ihre Clxe.

S- 5 -

dfün. ft, ohne, daß der die geoTnetrifche Orter Zier Pfand netymet,hekant,daß die crße Gleichung ßir eine äußere PaxabeL feye ,an welcher nJünlic.h die Übfcißen Pig■ 8 ■ CP = y, die Semiordirußenpm^X/ßhfhch wenn ihr auf die Clxe C b ße andere CR rmtpmparallel ziehet, fo ft CmFi die Ifinee oder der Ort für die vyßeGleichmut, ebenfogibt die zweyty. Gleichungy 2 —bx =~o emetara#bei F. 18 lfig 7 .darab b der Parameter rund, CE die öxe : die vierte Glez^dtung aber gehöret zwar Zum. Circul, (®. 3) es muß aber der Pfa, tdüts und die ubrtgenl,ineen daran mit Pfidfß der Gleichungbe^rftg. 6 ■ alfo befiinzmet werden,. / 7 Oßl y 2 —ay -f x 3 —bx =• o, ß Sk— a = - 2 n , (yülPfig. 3 .) ferner — zr == o

i) tz. = 4 BC. -2-

e r — o

icrutj^ iÖ “=2/ = ßlglieh g — s

— - 1 - — S£_ — 2 ps ~f- znr = — b

1 P ~ 9 ~

+ tq- zp

p z +n z +pb .

2 ß p-ib-rj-t'o,das ft fb 2 —ihg -t-ja, 2 + tbt—ft*= o

ßfa 2

it 2 ~ib>

5 .) ft= V(fb z 4 ja 2 ) ,

4 r)p^fb-y(§b z +iar).

Perowegen, maehetPfig. y. HI = 1 a, und darauf CI normal ^ßb,\fo ft HC = V^- b 2j rf alj oder der Pdadius ries Ccrculs, imd, weiln ^fa,ßiß BC-=tz /folglich CIE die ilxe; ferner ft VB = ffb 2 +f af) — fl>, = —p, daher ft C der Ott wo die übfcißen, anßzngen, ,oiler der Scheitel. IPeh. da- nun. endlich den. Circul taut derPyrabelOfig. 7 . oder 8 . afo zufunen fetzet, daß C und, C, mgleichen,die Clxen, CK y FPL,aufeinander faßen, wßftig. 10 . und 11 . zagen,,fo gibt flöh ein Phirclfchnitt in IS, und wird folglich die dar zugehörige Semiordinate, PM. = y oder der einen.,die CLbJciße CP aber= x oder der andern gefußten, mitdem proportionale gleich ßynEben fo könnet ihr die tihrige aeometrifche Orter (f. 4) con ftruiren,und durch dem ^iißiuunenjetz ung die Größe von x unÄ u fm *den.

ön einemte BC, und Her ’

AD—BD = .AE/ man rmll das Stiick BD nelfi demPerpendicid CDwißen. ? Setzet daher BC = /z / AE = b, BD =x, CD =y y fo ftr

: ö) a 2 =y 2 +x 2 , oder y 2 +x 2 — a. 2 =ofiir einen, Ort aal dctA ICircid.fS- 5 -) ferner ift

BD . CD = CD . ADf+x

PL L

JL

(II) y 2= hr -+x 2 ,oder y s —x 2 —bx = o, an der PfyperbeLum ihre üxe, woraus ihr den. noch andere Gleichungen, auf obigeOrt (ß>- f) finden, köntet, doch wollen wir nur hier hey daefen bey„den, bleiben : aus der erßeti findet dir nachPßg . $.n=?o, r= o, q = s,ft — a, — b C.Pag. 14.

-~-p = a, rflQ.fF1g.14, ■ tlus der andern, aber ft nach der Gtet,,dntng bey Ohg. 2 ■

n — o, r=o, g =s, p =*ot = b

Pig. 13. zeiget, 1f CK «..CR auj

\irdijcknitt A\ die Semiordinate PM — CD Puj. 12 ., che ilbßfle

CP aber =x = BD fig.xz .feirri, wie es zu finden, verlanget war. wo „raus denn, der A fetbfi kan verzeichnet werden .

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