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Trigonometrie.

Winkel zwischen den Sehnen übergegangen, und man kann das Ergebnis des ganzenÜbergangs in die Worte zusammenfassen: Ein ebenes Dreieck kann betrachtet werden alsein sphärisches auf einer unendlich großen Kugel, in welchem die Bogenlängen gleich denSeiten des ebenen Dreiecks, dagegen die Seiten (im Sinne der sphärischen Trigonometrie)Null sind.

Schreibt man nun etwa die Gleichungen des Sinusgesetzes, nachdem man sie mit

dem Kugelhalbmesser r durchmultipliziert und die Bogenlängen der Seiten mit u( i>(

bezeichnet hat, in folgender Form an:

n-k. u »b b „ . o , e

2 r sm n oos 2 r sin i l> oos 2 r sm v eos i

g/ siu« d' sin sin /

und läßt jetzt r — werden, also n, b, o verschwinden, so gehen die Quotienten aus

den Sehnen 2 r sin , 2 r sin , 2 r sin und den zugehörigen Bogenlängen

n', b', in die Einheit über, ebenso die vorkommenden Kosinus, es stellt sich also dasSinusgesetz der ebenen Trigonometrie ein.

In derselben Weise läßt sich jegliche Gleichung für das sphärische Dreieck, wennin jedem Glied ein und nur ein Sinus einer Seite auftritt, in die entsprechende fürdas ebene Dreieck überführen, welche statt des Sinus die Seiten selbst enthält. Statteiner Seite kann auch die Summe oder Differenz zweier Seiten oder eine derartige Zu-sammensetzung aus allen drei Seiten auftreten. Ferner statt eines Sinus auch eine

2 r sin — g/e —

Tangente, weil nach Multiplikation mit r aus tng u der Ausdruck 2 2

g/ oos a

entspringt und auch dieser für r — ->o und u — 0 in ell übergeht.

Das fruchtbarste Gebiet für die Anwendung der sphärischen Trigonometrie eröffnetsich in der speziellen Stereometrie, d. h. in der Lehre von den geometrisch definiertenKörpern und in der mathematischen Geographie. In jener kommen neben den regel-mäßigen Polyedern auch die nach der Weise der Krystallographie definierten Körper inBetracht. Drei sich gegenseitig halbierende Linien im Raume bilden die Achsen einesOktaeders, es sollen aus den Größenverhältnissen und gegenseitigen Neigungen der Achsendie Winkel zwischen den Kanten unv den Flächen des Oktaeders bestimmt werden unsumgekehrt.

In der mathematischen Geographie beziehen sich die Anwendungen zum Teil ausdie Erd-, zum Teil auf die Himmelskugel. In beiden Fällen müssen die zu Grundeliegenden Anschauungen und Begriffe wol erörtert sein, bei den auf die Erdkugel be-züglichen Aufgaben sind dieselben ziemlich einfach, meistens kommt das sphärische Dreieckin Betracht, dessen Ecken in einem Pol und zwei andern Kugelpunkten liegen.

Die sogenannte sphärische Astronomie wird stets eine dankbare Aufgabe für einenLehrer bilden, welcher nach dem Vorgänge von Diesterweg (mathematische Geographieund populäre Himmelskunde) gerne von einfachen unmittelbar sinnlichen, sich immerweiter ausbreitenden Anschauungen ausgeht, um Schritt für Schritt zu einer vollständigenTheorie des Gegenstandes aufzusteigen. Daß der Unterricht bei diesem Gange destobesser gedeihen wird, jemehr die unmittelbare Anschauung des Schülers geweckt und seineVertrautheit mit dem Anblick nicht nur des Globus und der Armillarsphäre, sondernauch des Himmels selbst zustande gebracht wird, unterliegt keinem Zweifel, bleibt aberbei der Ausübung nur zu oft übersehen. Erst wenn diese Vertrautheit mit der geo-metrischen Anschauung des Gegenstandes hergestellt ist, kann mit Erfolg zu den einzelnenAufgaben übergegangen werden, bei denen es sich dann hauptsächlich darum handelt,dasjenige sphärische Dreieck nachzuweisen, auf dessen Bestimmung die Auflösung der