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Trigonometrie.

es keiner besonderen Gedächtnismittel dafür bedarf. Ebenso kann die obige Formel (18)dem Gedächtnis ohne Hilfsmittel anvcrtraut werden; wer ein solches etwa zu brauchenmeint, müßte sich der Neperschen Regel bedienen, wird aber finden, daß die Einprägungund Anwendung der letzteren wol ebenso viel Mühe macht.

Über die Formel (19) ist schon oben das Erforderliche bemerkt worden.

Setzt man in den Gaußschen Gleichungen überall statt des Kosinus der Hälfteeiner Seite oder der Hälfte der Summe oder der Differenz zweier Seiten die Einheit,läßt aber, wo das Sinuszeichen vorangeht, dasselbe einfach fort, so hat man folgendeGruppe:

ck7 . « - /?4-7 a

1 - eos —^— — 1 - sini; 1 - sin —— I - aas - 2 ^

a

cos

§ —72

d -s- o2

n

2"

7

Tie zwei oberen ergeben sich aus «-j-— 180°, die zwei unteren sind mitden Mollweideschen identisch, für welche früher das mnemonische Hilfsmittel angegebenworden ist. Schreiben wir daher die vier Gleichungen in der obigen Anordnung so an,

caß sin über sin ^ und eos über cos zu stehen kommt, so sind nur noch

unten für-^- und -

b c

ihre Sinus, für die Einheiten oben aber die Kosinus zu den

unten eingeführten Sinus zu setzen.

Für die eigentümliche Erscheinung, daß hier immer beim Übergang von der sphäri-schen Trigonometrie auf die ebene für den Kosinus einer Seite oder eines zwei Seitenenthaltenden Ausdrucks die Einheit auftritt, statt des Sinus aber die Seite oder derAusdruck selbst, ist ein innerer Grund anzuführen. Stellt man sich vor, auf einerKugel, deren Halbmesser beständig zunimmt, befinde sich ein sphärisches Dreieck 8 0,das sich so verändert, daß nicht die Gradzahlen der Bögen 8 0, 0^, L.8, die manunter den Seiten des Dreiecks versteht, sondern die Bogenlängen unverändertbleiben, so werden die im Kugelmittelpunkt LI diesen Bögen gegenüberliegenden Centri-winkel 8LI0, 0 LI L., L.LI8, welche die Seiten des zugehörigen Dreikants darstellen,immer kleiner werden, und zwar giebt es keinen noch so kleinen Wert, auf welchen einsolcher Centriwinkel nicht gebracht werden könnte, wenn nur der Kugelhalbmesser großgenug angenommen wird. Läßt man diesen unbegrenzt zunehmen, so wird jeder vonNull verschiedene Zahlenwert, den man einem solchen Centriwinkel oder seinem Sinusoder seiner Tangente, oder jeder von der Einheit verschiedene Zahlenwert, den manseinem Kosinus zuschreibt, unrichtig werden; eine immer noch zwischen den Seiten undden Winkeln bestehende Gleichung kann also nur richtig werden, wenn man die Seitenverschwinden läßt, wobei aber nicht zu vergessen ist, daß bei diesem Vorgang die Winkeldes Dreiecks sich verändert haben. In den Gleichungen (18) und (21), welche 1 — 1,sowie in (> 9), (20) und (22), welche 0 — 0 geben, wenn u, d, o verschwinden, kommen dieWinkel nicht zum Vorschein, die Gleichungen (23) dagegen liefern, wie schon oben ge-zeigt, die für das ebene rechtwinklige Dreieck gültigen Gleichungen, welche ausdrücken,daß die Winkel und / komplementär werden. Schon aus dieser Warnehmung würdenwir schließen, daß bei dem geschilderten Übergang das sphärische Dreieck ein ebenes ge-worden ist. Dieser Schluß liegt aber viel näher: Wird in dem ebenen Dreieck 8 NOder Winkel in N zum Verschwinden gebracht, so muß jeder der Winkel bei 8 und 0nn Rechter werden, die Bogentangenten in 8 und 0 fallen mit der Sehne 8 0 zu-lammen, also muß auch der Bogen selbst, der bisher zwischen der Sehne und den beidenTangenten verlaufen ist, mit der Sehne zusammenfallen. Zugleich sind die als Winkel^ sphärischen Dreiecks eingeführten Neigungswinkel zwischen den Kugeltangenten in die