Zeichnen.

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man jetzt nur etwa die Hälfte der früher benützten Lagen zeichnen, auf jeder Lage aberden BerührungSpunct bestimmen läßt.

Wer im Zeichnen gesetzmäßiger Curven Uebung hat, kann mit Hülfe solcher vielegeometrische Aufgaben, deren strenge Lösung ihm nicht gelingt, in völlig befriedigenderAnnäherung lösen. (Vgl. S. 606.) Man findet z. B. die Spitze eines Dreiecks, vonwelchem die Grundlinie, die Summe (oder Differenz) der beiden andern Seiten unddie Höhe gegeben ist, als Schnitt einer Geraden und eines elliptischen (oder hyperbolischen)Bogens. Ein Punct, der von einem gegebenen Puncte und zwei gegebenen Geradengleiche Abstände haben soll, ergiebt sich als Schnitt einer geraden Linie und eines Parabel-bcgcns. Soll durch einen gegebenen Punct eine Gerade so gelegt werden, daß daszwischen die Schenkel eines gegebenen Winkels fallende Stück eine bestimmte Längeerhält, so hat man eine Umhüllungslinie zu zeichnen und an sie eine Tangente ans demgegebenen Punct zu ziehen. Aehnlich löst sich die Aufgabe, durch einen gegebenen Puncteine Gerade zu legen, welche auf den Schenkeln eines gegebenen Winkels Strecken vongegebener Summe abschneidet. Bei andern Aufgaben kann ein Punct durch den Schnittzweier als geometrische Oerter gezeichneten Curven gefunden werden, oder eine GeradeAs gemeinschaftliche Tangente zweier Umhüllungslinicn. Solche Lösungen haben ihrenpraktischen Werth, besonders für Schüler, welche einen technischen Beruf ergreifen wollen.

Unter den Anweisungen zum construirenden Zeichnen verweilen die meistenlange bei den Aufgaben anö der Elementargeometrie, so daß Cnrvcnconstructionen nurwie eine Zugabe erscheinen. Ganz der Elementargcometrie gewidmet sind „GeometrischeConstructioncn" von Hampel (Weimar 1839); ebenso „Sammlung von 574 geome-trischen Aufgaben mit ihren Auflösungen und Beweisen" von A. W. Hertel (Leipzig,1838; mit 546 Figuren). Ein sehr hübsches Werkchei; bilden die „Notizen ans derGeometrie, mit Anwendungen in der Zcichenkunst" von L. Oescher (Wien; auch vonE. Rcusch anerkennend erwähnt in dem früher citirten Spitzbogenwerk). Die „Zeich-nende Geometrie" von Christoph Paulus (Stuttgart, 1866) will nicht bloß Stoffzu Zeichnungsübnngen liefern, sondern zugleich die gewöhnlichen Schulkenntnisse in derGeometrie erweitern. Die „Anfangsgründe des geometrischen Zeichnens" von I. H.Krön au er (Zürich, 1845) und die „Geometrische Zeichnungslehre" von H. Weiß-haupt (München, 1856) nehmen auch Curvenccnstructionen auf. G. Delabar hatin seiner das gesammte technische Zeichnen umfassenden „Anleitung zum Linearzeichnen"(Frcibnrg i. B.) den ersten Theil („Das geometrische Linearzeichncn," 1866) den Ele-mcntarconstructionen bestimmt und gründliche Belehrungen über Zeichenapparate undderen Gebrauch voranSgeschickt. E. F. Kauffmann ließ auf seine „Anleitung zu geo-metrischen Constructionen" (Hcilbronn, 1846) noch „Curvenconstrnctioncn in 21 Por-legcblättern" (Heilbronn, 1853) folgen.*) Von den neueren Anschauungen über Be-

dieser Punct b" (der zweite Brennpunkt der Curve) beigezogen, so findet man ans einer Lagedes umhüllten Schenkels den BerührungSpunct, wenn man auf dem andern Schenkel die von1°bis zum Winkelscheitel reichende Strecke über den Scheitel hinaus verdoppelt und den erlangtenEndpunct mit b" verbindet; die Verbindungslinie schneidet den umhüllten Schenkel im gesuchtenPuncte.

*) Kaufsmann hatte auch (1885) „Das Linearzeichnen und die Elemente des geometrischenZeichnens" als deutsche Bearbeitung des französischen Merkchens von M. L. Lamotte hcraus-gegeben. Unter „Linearzeichncn" ist aber darin Freihandzeichnen ohne Schattirnng ver-standen; das construirende Zeichnen wird nur in einem kurzen Anhang berücksichtigt. Allerdingsist jenes sogenannte Linearzeichncn in geometrischem Sinne behandelt, und wegen dieser Eigen-thümlichkcit verdient das Merkchen eine Erwähnung, als Nachtrag zum Freihandzeichnen. Lamottestellt die Fundamentalaufgaben der Geometrie und läßt sic construircnd lösen, doch nur nachAugenmaß, ohne Lineal und Zirkel. (Soll z. B. ein gleichseitiges Dreieck über einer gegebenenSeite gezeichnet werden, so lautet die Anweisung: man errichte ans der Mitte der Seite ans ihrün Loth und suche in diesem Loth einen Punct, welcher von den Endpnnctcn der Seite gleich-